Giải Toán 10 Tập 1 trang 120-123 - Chân trời sáng tạo

Trang 120 —

Bài 6. Có ý kiến cho rằng điểm thi của đội tuyển giai đoạn $2001 - 2010$ cao hơn giai đoạn $2011 - 2020$. Hãy sử dụng số trung bình và trung vị để kiểm nghiệm xem ý kiến trên có đúng không.

Lời giải:

Dữ liệu từ bảng:

Giai đoạn 2001 - 2010:

• $2001: 139$, $2002: 166$, $2003: 172$, $2004: 196$, $2005: 143$, $2006: 131$, $2007: 168$, $2008: 159$, $2009: 161$, $2010: 133$

Giai đoạn 2011 - 2020:

• $2011: 113$, $2012: 148$, $2013: 180$, $2014: 157$, $2015: 151$, $2016: 151$, $2017: 155$, $2018: 148$, $2019: 177$, $2020: 150$

1. Tính số trung bình:

Giai đoạn 2001 - 2010:

$$\bar{x}_{2001-2010} = \frac{139 + 166 + 172 + 196 + 143 + 131 + 168 + 159 + 161 + 133}{10}$$

Tính toán: $$ \bar{x}_{2001-2010} = \frac{1508}{10} = 150.8 $$

Giai đoạn 2011 - 2020:

$$\bar{x}_{2011-2020} = \frac{113 + 148 + 180 + 157 + 151 + 151 + 155 + 148 + 177 + 150}{10}$$

Tính toán: $$ \bar{x}_{2011-2020} = \frac{1470}{10} = 147 $$

2. Tính trung vị:

Giai đoạn 2001 - 2010:

Sắp xếp: $131, 133, 139, 143, 159, 161, 166, 168, 172, 196$

• Trung vị:
  • $\frac{159 + 161}{2} = 160$

Giai đoạn 2011 - 2020:

Sắp xếp: $113, 148, 148, 150, 151, 151, 155, 157, 177, 180$

• Trung vị:
  • $\frac{151 + 151}{2} = 151$

3. So sánh:

• Số trung bình:

  • $150.8 > 147$
  • Giai đoạn $2001 - 2010$ cao hơn.

• Trung vị:

  • $160 > 151$
  • Giai đoạn $2001 - 2010$ cao hơn.

Kết luận:

Ý kiến cho rằng điểm thi của đội tuyển giai đoạn $2001 - 2010$ cao hơn giai đoạn $2011 - 2020$ là đúng.

Kết quả: Ý kiến đúng.

---

Bài 7. Kết quả bài kiểm tra giữa kì của các bạn học sinh lớp $10A$, $10B$, $10C$ được thống kê ở các biểu đồ dưới đây.

a) Hãy lập bảng thống kê số lượng học sinh theo điểm số ở mỗi lớp.

b) Hãy so sánh điểm số của học sinh các lớp đó theo số trung bình, trung vị và mốt.

Lời giải:

a) Lập bảng thống kê:

Lớp 10A:

Điểm số	5	6	7	8	9	10
Số học sinh	1	2	4	6	5	2

Lớp 10B:

Điểm số	5	6	7	8	9	10
Số học sinh	1	3	4	4	3	5

Lớp 10C:

Điểm số	5	6	7	8	9	10
Số học sinh	2	4	6	8	6	4

b) So sánh theo số trung bình, trung vị và mốt:

Lớp 10A:

• Trung bình:

  $$\bar{x}_{10A} = \frac{5 \cdot 1 + 6 \cdot 2 + 7 \cdot 4 + 8 \cdot 6 + 9 \cdot 5 + 10 \cdot 2}{20}$$

  Tính toán:

  $$\bar{x}_{10A} = \frac{5 + 12 + 28 + 48 + 45 + 20}{20} = \frac{158}{20} = 7.9$$

• Trung vị: Sắp xếp: $5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10$

  • Trung vị: $8$

• Mốt: $8$

Lớp 10B:

• Trung bình:

  $$\bar{x}_{10B} = \frac{5 + 18 + 28 + 32 + 27 + 50}{20}$$

  Tính toán:

  $$\bar{x}_{10B} = \frac{160}{20} = 8$$

• Trung vị: Sắp xếp: $5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10$

  • Trung vị: $\frac{8+8}{2} = 8$

• Mốt: $10$

Lớp 10C:

• Trung bình:

  $$\bar{x}_{10C} = \frac{10 + 24 + 42 + 64 + 54 + 40}{20}$$

  Tính toán:

  $$\bar{x}_{10C} = \frac{234}{20} = 11.7$$

• Trung vị: Sắp xếp: $5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10$

  • Trung vị: $\frac{7+8}{2} = 7.5$

• Mốt: $8$

So sánh:

• Trung bình: $7.9 < 8 < 11.7$
• Trung vị: $8 = 8 < 7.5$
• Mốt: $8, 10, 8$

Kết luận:

• Lớp $10B$ có điểm số tập trung cao nhất, lớp $10C$ có điểm số trung bình cao nhất nhưng phân tán rộng.

Kết quả: Bảng thống kê và so sánh chi tiết.

---

Trang 121 — Bài 4. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu

Bài 1. Thời gian hoàn thành bài chạy $5$ km (tính theo phút) của hai nhóm thanh niên được cho ở bảng sau:

| Nhóm 1 | 30 | 32 | 47 | 31 | 32 | 30 | 32 | 29 | 17 | 29 | 32 | 31 | | Nhóm 2 | 29 | 32 | 30 | 32 | 31 | 29 | 32 | 30 | 31 | 29 | |

a) Hãy tính độ chênh lệch giữa thời gian chạy của người nhanh nhất và người chậm nhất trong từng nhóm.

b) Nhóm nào có thành tích chạy đồng đều hơn?

Lời giải:

a)

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

• Nhóm 1: $17, 29, 29, 30, 30, 31, 31, 32, 32, 32, 32, 47$

• Nhóm 2: $29, 29, 30, 30, 31, 31, 32, 32, 32, 32$

• Khoảng biến thiên của một mẫu số liệu, kí hiệu là $R$, là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó, tức là:

$$ R = x_n - x_1 $$

• Khoảng biến thiên của nhóm 1 là: $R_1 = 47 - 17 = 30$

• Khoảng biến thiên của nhóm 2 là: $R_2 = 32 - 29 = 3$

b)

• Nhóm 1 có khoảng biến thiên lớn hơn nhóm 2, nên nhóm 2 có thành tích chạy đồng đều hơn.

Kết quả:

• Độ chênh lệch giữa thời gian chạy của người nhanh nhất và người chậm nhất trong nhóm 1 là $30$ phút.

• Độ chênh lệch giữa thời gian chạy của người nhanh nhất và người chậm nhất trong nhóm 2 là $3$ phút.

• Nhóm 2 có thành tích chạy đồng đều hơn.

---

Trang 122 —

Vídụ1

Bài tập:
Hãy tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu: $10; 20; 3; 1; 3; 4; 7; 4; 9.$

Lời giải:

• Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần: $1; 3; 3; 4; 4; 7; 9; 10; 20.$
• Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: $R = 20 - 1 = 19.$
• Vì cỡ mẫu $n = 9$ là số lẻ nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: $Q_2 = 4.$
• Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: $1; 3; 3; 4.$ Do đó $Q_1 = 3.$
• Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: $7; 9; 10; 20.$ Do đó $Q_3 = 9,5.$
• Khoảng tứ phân vị của mẫu là: $\Delta_Q = 9,5 - 3 = 6,5.$

Kết quả: $\Delta_Q = 6,5.$

Bài tập

Bài 1. Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của các mẫu số liệu sau:
a) $10; 13; 15; 2; 10; 19; 2; 5; 7.$
b) $15; 19; 10; 5; 9; 10; 1; 2; 5; 15.$

Lời giải:

a) $10; 13; 15; 2; 10; 19; 2; 5; 7$

• Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần: $2; 2; 5; 7; 10; 10; 13; 15; 19.$
• Khoảng biến thiên: $R = 19 - 2 = 17.$
• Cỡ mẫu $n = 9$ (số lẻ), nên $Q_2 = 10.$
• Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của $2; 2; 5; 7:$
  $Q_1 = \frac{2 + 5}{2} = 3,5.$
• Tứ phân vị thứ ba là trung vị của $10; 13; 15; 19:$
  $Q_3 = \frac{13 + 15}{2} = 14.$
• Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q = 14 - 3,5 = 10,5.$

b) $15; 19; 10; 5; 9; 10; 1; 2; 5; 15$

• Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần: $1; 2; 5; 5; 9; 10; 10; 15; 15; 19.$
• Khoảng biến thiên: $R = 19 - 1 = 18.$
• Cỡ mẫu $n = 10$ (số chẵn), nên $Q_2 = \frac{9 + 10}{2} = 9,5.$
• Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của $1; 2; 5; 5; 9:$
  $Q_1 = 5.$
• Tứ phân vị thứ ba là trung vị của $10; 10; 15; 15; 19:$
  $Q_3 = 15.$
• Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q = 15 - 5 = 10.$

Kết quả:
a) $\Delta_Q = 10,5$
b) $\Delta_Q = 10$

Bài 2. Dưới đây là bảng số liệu thống kê của Biểu đồ nhiệt độ trung bình các tháng trong năm $2019$ của hai tỉnh Lai Châu và Lâm Đồng (được đề cập đến ở hoạt động khởi động của bài học).

Tháng	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
Lai Châu	$14,8$	$18,8$	$20,3$	$23,5$	$24,7$	$24,2$	$23,6$	$24,6$	$22,7$	$21,0$	$18,6$	$14,2$
Lâm Đồng	$16,3$	$17,4$	$18,7$	$19,8$	$20,2$	$20,3$	$19,5$	$19,3$	$18,6$	$18,5$	$17,5$	$16,0$

a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của nhiệt độ trung bình mỗi tháng của tỉnh Lai Châu và Lâm Đồng.

Lời giải:

Lai Châu:

• Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần:
  $14,2; 14,8; 18,6; 18,8; 20,3; 21,0; 22,7; 23,5; 23,6; 24,2; 24,6; 24,7.$

• Khoảng biến thiên:
  $R = 24,7 - 14,2 = 10,5.$

• Tứ phân vị thứ nhất:
  Trung vị của $14,2; 14,8; 18,6; 18,8; 20,3$ là $18,8.$
  $Q_1 = 18,8.$

• Tứ phân vị thứ ba:
  Trung vị của $21,0; 22,7; 23,5; 23,6; 24,2; 24,6; 24,7$ là $23,6.$
  $Q_3 = 23,6.$

• Khoảng tứ phân vị:
  $\Delta_Q = 23,6 - 18,8 = 4,8.$

Lâm Đồng:

• Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần:
  $16,0; 16,3; 17,4; 17,5; 18,5; 18,6; 18,7; 19,3; 19,5; 19,8; 20,2; 20,3.$

• Khoảng biến thiên:
  $R = 20,3 - 16,0 = 4,3.$

• Tứ phân vị thứ nhất:
  Trung vị của $16,0; 16,3; 17,4; 17,5; 18,5; 18,6$ là $17,5.$
  $Q_1 = 17,5.$

• Tứ phân vị thứ ba:
  Trung vị của $18,7; 19,3; 19,5; 19,8; 20,2; 20,3$ là $19,75.$
  $Q_3 = 19,75.$

• Khoảng tứ phân vị:
  $\Delta_Q = 19,75 - 17,5 = 2,25.$

b) Hãy cho biết trong một năm, nhiệt độ ở địa phương nào ít thay đổi hơn.

Lời giải:

• Tỉnh Lai Châu có $\Delta_Q = 4,8$ và $R = 10,5.$
• Tỉnh Lâm Đồng có $\Delta_Q = 2,25$ và $R = 4,3.$

Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của Lâm Đồng nhỏ hơn Lai Châu, điều này cho thấy nhiệt độ ở Lâm Đồng ít thay đổi hơn.

Kết quả:
Lai Châu: $R = 10,5; \Delta_Q = 4,8$
Lâm Đồng: $R = 4,3; \Delta_Q = 2,25$
Nhiệt độ ở Lâm Đồng ít thay đổi hơn.

---

Trang 123 — Giá trị ngoại lệ. Phương sai và độ lệch chuẩn

Bài tập:

1. Hãy tìm giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu: $37; 12; 3; 9; 10; 9; 12; 3; 10.$

Lời giải:

• Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $3; 3; 9; 9; 10; 10; 12; 12; 37.$

• Bước 2: Tính các tứ phân vị.

  • Số phần tử $n = 9$ (lẻ).
  • $\dfrac{n+1}{4} = \dfrac{9+1}{4} = 2.5$.
  • Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ là trung bình giữa giá trị thứ 2 và thứ 3: $$Q_1 = \frac{3 + 9}{2} = 6.$$
  • $\dfrac{3(n+1)}{4} = \dfrac{3.10}{4} = 7.5$.
  • Tứ phân vị thứ ba $Q_3$ là trung bình giữa giá trị thứ 7 và thứ 8: $$Q_3 = \frac{12 + 12}{2} = 12.$$

• Bước 3: Tính khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 12 - 6 = 6$.

• Bước 4: Kiểm tra các giá trị ngoại lệ.

  • Giá trị ngoại lệ là các giá trị $x$ thỏa: $$\left[ \begin{aligned} &x > Q_3 + 1.5\Delta_Q, \\ &x < Q_1 - 1.5\Delta_Q. \end{aligned} \right.$$
  • Ta có:$$\begin{aligned} &Q_3 + 1.5\Delta_Q = 12 + 1.5 \cdot 6 = 21, \\ &Q_1 - 1.5\Delta_Q = 6 - 1.5 \cdot 6 = -3. \end{aligned}$$
  • Vậy giá trị ngoại lệ là: $37.$

Kết quả: Giá trị ngoại lệ là $37.$

2. Hai cung thủ $A$ và $B$ đã ghi lại kết quả từng lần bắn của mình ở bảng sau:

Cung thủ A	$8$	$9$	$10$	$7$	$6$	$10$	$6$	$7$	$9$	$8$
Cung thủ B	$10$	$6$	$8$	$7$	$9$	$9$	$8$	$7$	$8$	$8$

$a)$ Tính kết quả trung bình của mỗi cung thủ trên.

Lời giải:

• Cung thủ A:

  • Tổng điểm: $8 + 9 + 10 + 7 + 6 + 10 + 6 + 7 + 9 + 8 = 80$.
  • Số lần bắn: $10$.
  • Điểm trung bình: $$\bar{x}_A = \frac{80}{10} = 8.$$

• Cung thủ B:

  • Tổng điểm: $10 + 6 + 8 + 7 + 9 + 9 + 8 + 7 + 8 + 8 = 80$.
  • Số lần bắn: $10$.
  • Điểm trung bình: $$\bar{x}_B = \frac{80}{10} = 8.$$

Kết quả: $\bar{x}_A = 8; \bar{x}_B = 8$.

$b)$ Cung thủ nào có kết quả các lần bắn ổn định hơn?

Lời giải:

• Cung thủ A:

  • Tính phương sai:$$\begin{aligned} s_A^2 &= \frac{1}{10} \left[ (8-8)^2 + (9-8)^2 + (10-8)^2 + (7-8)^2 + (6-8)^2 + (10-8)^2 + (6-8)^2 + (7-8)^2 + (9-8)^2 + (8-8)^2 \right] \\ &= \frac{1}{10} \left[ 0 + 1 + 4 + 1 + 4 + 4 + 4 + 1 + 1 + 0 \right] \\ &= \frac{20}{10} = 2. \end{aligned}$$
  • Độ lệch chuẩn: $$s_A = \sqrt{2} \approx 1.41.$$

• Cung thủ B:

  • Tính phương sai:$$\begin{aligned} s_B^2 &= \frac{1}{10} \left[ (10-8)^2 + (6-8)^2 + (8-8)^2 + (7-8)^2 + (9-8)^2 + (9-8)^2 + (8-8)^2 + (7-8)^2 + (8-8)^2 + (8-8)^2 \right] \\ &= \frac{1}{10} \left[ 4 + 4 + 0 + 1 + 1 + 1 + 0 + 1 + 0 + 0 \right] \\ &= \frac{12}{10} = 1.2. \end{aligned}$$
  • Độ lệch chuẩn: $$s_B = \sqrt{1.2} \approx 1.10.$$

• Kết luận:

  • Cung thủ $B$ có độ lệch chuẩn nhỏ hơn cung thủ $A$, nên cung thủ $B$ có kết quả các lần bắn ổn định hơn.

Kết quả: Cung thủ $B$.