Giải Toán 10 Tập 1 trang 13-16 - Chân trời sáng tạo

Trang 13 — Mệnh đề đảo. Hai mệnh đề tương đương

Bài 4. Xét hai mệnh đề:

$P$: "Hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ bằng nhau";

$Q$: "Hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ có diện tích bằng nhau".

a) Phát biểu mệnh đề $P ⇒ Q$.

b) Mệnh đề $P ⇒ Q$ có phải là một định lí không? Nếu có, sử dụng thuật ngữ "điều kiện cần", "điều kiện đủ" để phát biểu định lí này theo hai cách khác nhau.

Lời giải:

a) Mệnh đề $P ⇒ Q$ được phát biểu là: "Nếu hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ bằng nhau thì hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ có diện tích bằng nhau".

b) Mệnh đề $P ⇒ Q$ là một định lí.

• Sử dụng thuật ngữ "điều kiện cần và đủ":

  • "Hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ bằng nhau là điều kiện đủ để hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ có diện tích bằng nhau".

  • "Hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ bằng nhau".

Kết quả:

• Mệnh đề $P ⇒ Q$ đúng.
• Mệnh đề $P ⇒ Q$ là một định lí.

Bài 5. Mệnh đề đảo. Hai mệnh đề tương đương

Xét hai mệnh đề dạng $P ⇒ Q$ sau:

• "Nếu tam giác $ABC$ là đều thì nó có hai góc bằng $60°$";

• "Nếu $a^2 - 4 = 0$ thì $a = 2$".

a) Chỉ ra $P, Q$ và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề trên.

b) Với mỗi mệnh đề đã cho, phát biểu mệnh đề $Q ⇒ P$ và xét tính đúng sai của nó.

Lời giải:

a)

• Mệnh đề 1:

  • $P$: "Tam giác $ABC$ là đều".
  • $Q$: "Tam giác $ABC$ có hai góc bằng $60°$".
  • Mệnh đề $P ⇒ Q$ đúng.

• Mệnh đề 2:

  • $P$: "$a^2 - 4 = 0$".
  • $Q$: "$a = 2$".
  • Mệnh đề $P ⇒ Q$ sai.

b)

• Mệnh đề 1: Mệnh đề $Q ⇒ P$ được phát biểu là: "Nếu tam giác $ABC$ có hai góc bằng $60°$ thì tam giác $ABC$ là đều". Mệnh đề này đúng.

• Mệnh đề 2: Mệnh đề $Q ⇒ P$ được phát biểu là: "Nếu $a = 2$ thì $a^2 - 4 = 0$". Mệnh đề này đúng.

Kết quả:

• Mệnh đề 1: $P ⇒ Q$ đúng và $Q ⇒ P$ đúng.
• Mệnh đề 2: $P ⇒ Q$ sai và $Q ⇒ P$ đúng.

Bài 6. Xét hai mệnh đề:

$P$: "Tam giác $ABC$ vuông tại $A$".

$Q$: "Tam giác $ABC$ có $AB^2 + AC^2 = BC^2$".

Hai mệnh đề $P$ và $Q$ có tương đương không? Nếu có, hãy phát biểu một định lí thể hiện điều này, trong đó có sử dụng thuật ngữ "khi và chỉ khi" hoặc "điều kiện cần và đủ".

Lời giải:

Theo định lý Pythagore, ta có:

• Nếu tam giác $ABC$ vuông tại $A$ thì $AB^2 + AC^2 = BC^2$.

• Nếu $AB^2 + AC^2 = BC^2$ thì tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

Do đó, hai mệnh đề $P$ và $Q$ tương đương.

Phát biểu định lí:

• "Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ khi và chỉ khi $AB^2 + AC^2 = BC^2$".

• "Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ là điều kiện cần và đủ để $AB^2 + AC^2 = BC^2$".

Kết quả: Hai mệnh đề $P$ và $Q$ tương đương.

---

Trang 14 — Mệnh đề

Bài tập 1. Xét hai mệnh đề:

$P$: "Tứ giác $ABCD$ là hình vuông";

$Q$: "Tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau".

a) Phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và mệnh đề đảo của nó.

b) Hai mệnh đề $P$ và $Q$ có tương đương không? Nếu có, sử dụng thuật ngữ "điều kiện cần và đủ" hoặc "khi và chỉ khi" để phát biểu định lý $P \Leftrightarrow Q$ theo hai cách khác nhau.

Lời giải:

a) Mệnh đề $P \Rightarrow Q$: "Nếu tứ giác $ABCD$ là hình vuông thì tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau".

Mệnh đề đảo của nó là: "Nếu tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác $ABCD$ là hình vuông".

b) Hai mệnh đề $P$ và $Q$ có tương đương.

• Điều kiện cần và đủ để tứ giác $ABCD$ là hình vuông là tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau.

• Tứ giác $ABCD$ là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Kết quả: Hai mệnh đề $P$ và $Q$ tương đương.

Bài tập 2. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

$(1)$ Với mọi số tự nhiên $x$, $\sqrt{x}$ là số vô tỉ;

$(2)$ Bình phương của mọi số thực đều không âm;

$(3)$ Có số nguyên cộng với chính nó bằng $0$;

$(4)$ Có số tự nhiên $n$ sao cho $2n - 1 = 0$.

Lời giải:

$(1)$ Mệnh đề này sai vì khi $x = 4$, $\sqrt{4} = 2$ là số hữu tỉ.

$(2)$ Mệnh đề này đúng vì bình phương của mọi số thực đều không âm.

$(3)$ Mệnh đề này đúng vì có số nguyên $0$ cộng với chính nó bằng $0$.

$(4)$ Mệnh đề này sai vì $2n - 1 = 0 \Rightarrow n = \frac{1}{2}$ không là số tự nhiên.

Kết quả: $(1)$ sai, $(2)$ đúng, $(3)$ đúng, $(4)$ sai.

---

Trang 15 —

Bài 1.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là mệnh đề, khẳng định nào là mệnh đề chứa biến? a) $3 + 2 > 5$; b) $1 - 2x = 0$; c) $x - y = 2$; d) $1 - \sqrt{2} < 0$.

Lời giải:

• Mệnh đề là một khẳng định có thể xác định được tính đúng hoặc sai.
• Mệnh đề chứa biến là một khẳng định có chứa biến, tính đúng hoặc sai phụ thuộc vào giá trị của biến.

a) $3 + 2 > 5$

• Ta có: $3 + 2 = 5$ nên $3 + 2 > 5$ là sai.
• Đây là một mệnh đề.

b) $1 - 2x = 0$

• Đây là một khẳng định chứa biến, tính đúng hoặc sai phụ thuộc vào giá trị của $x$.
• Đây là một mệnh đề chứa biến.

c) $x - y = 2$

• Đây là một khẳng định chứa biến, tính đúng hoặc sai phụ thuộc vào giá trị của $x$ và $y$.
• Đây là một mệnh đề chứa biến.

d) $1 - \sqrt{2} < 0$

• Ta có: $1 - \sqrt{2} \approx 1 - 1.414 = -0.414 < 0$
• Đây là một mệnh đề.

Bài 2.

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của chúng. a) 2019 chia hết cho 3; b) $\pi < 3,15$; c) Nước ta hiện nay có 5 thành phố trực thuộc Trung ương; d) Tam giác có hai góc bằng $45^\circ$ là tam giác vuông cân.

Lời giải: a) 2019 chia hết cho 3

• Ta có: $2019 = 3 \times 673$ nên 2019 chia hết cho 3.
• Mệnh đề này đúng.
• Phủ định: 2019 không chia hết cho 3.

b) $\pi < 3,15$

• Ta có: $\pi \approx 3.14159 < 3.15$
• Mệnh đề này đúng.
• Phủ định: $\pi \geq 3.15$

c) Nước ta hiện nay có 5 thành phố trực thuộc Trung ương

• Các thành phố trực thuộc Trung ương: Hà Nội, Hải Phòng, Đà Nẵng, TP Hồ Chí Minh, Cần Thơ.
• Mệnh đề này sai vì nước ta có 5 thành phố trực thuộc Trung ương.
• Phủ định: Nước ta hiện nay không có 5 thành phố trực thuộc Trung ương.

d) Tam giác có hai góc bằng $45^\circ$ là tam giác vuông cân.

• Tổng các góc trong tam giác là $180^\circ$.
• Giả sử một tam giác có hai góc bằng $45^\circ$ thì góc còn lại là $180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$.
• Mệnh đề này đúng.
• Phủ định: Tam giác có hai góc bằng $45^\circ$ không là tam giác vuông cân.

Bài 3.

Xét hai mệnh đề: $P$: "Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành", $Q$: "Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường".

a) Phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và xét tính đúng sai của nó. b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q$.

Lời giải: a) Mệnh đề $P \Rightarrow Q$:

• Nếu tứ giác $ABCD$ là hình bình hành thì tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
• Mệnh đề này đúng.

b) Mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q$:

• Nếu tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
• Mệnh đề này đúng.

---

Trang 16 — Các bài tập về mệnh đề và logic

Bài 4. Cho các mệnh đề sau: $P$: “Giá trị tuyệt đối của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng chính nó”; $Q$: “Có số tự nhiên sao cho bình phương của nó bằng $10$”; $R$: “Có số thực $x$ sao cho $x^2 + 2x - 1 = 0$”.

a) Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề trên.

b) Sử dụng kí hiệu $\forall$, $\exists$ để viết lại các mệnh đề đã cho.

Lời giải:

a) Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề:

• Mệnh đề $P$: “Giá trị tuyệt đối của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng chính nó”.

  • Ta có: $\forall x \in \mathbb{R}, |x| \geq x$. Điều này đúng vì giá trị tuyệt đối của một số luôn lớn hơn hoặc bằng chính nó.
  • Đúng.

• Mệnh đề $Q$: “Có số tự nhiên sao cho bình phương của nó bằng $10$”.

  • Ta có: $\exists x \in \mathbb{N}, x^2 = 10$. Không có số tự nhiên nào thỏa mãn điều này vì $\sqrt{10} \notin \mathbb{N}$.
  • Sai.

• Mệnh đề $R$: “Có số thực $x$ sao cho $x^2 + 2x - 1 = 0$”.

  • Ta có: $\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x - 1 = 0$. Phương trình này có nghiệm $x = -1 \pm \sqrt{2} \in \mathbb{R}$.
  • Đúng.

b) Sử dụng kí hiệu $\forall$, $\exists$ để viết lại các mệnh đề:

• $P$: $\forall x \in \mathbb{R}, |x| \geq x$.
• $Q$: $\exists x \in \mathbb{N}, x^2 = 10$.
• $R$: $\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x - 1 = 0$.

Kết quả: $P$ đúng, $Q$ sai, $R$ đúng.

Bài 5. Xét tính đúng sai và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau đây:

a) $\exists x \in \mathbb{N}, x + 3 = 0$;

b) $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \geq 2x$.

c) $\forall a \in \mathbb{R}, \sqrt{a^2} = a$.

Lời giải:

a) $\exists x \in \mathbb{N}, x + 3 = 0$:

• Xét $x \in \mathbb{N}$, ta có $x \geq 0 \Rightarrow x + 3 > 0$.

• Sai, vì không tồn tại số tự nhiên $x$ thỏa mãn $x + 3 = 0$.

• Phủ định: $\forall x \in \mathbb{N}, x + 3 \neq 0$.

b) $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \geq 2x$:

• Ta có: $x^2 + 1 \geq 2x \Leftrightarrow (x - 1)^2 \geq 0$ (đúng với $\forall x \in \mathbb{R}$).

• Đúng.

• Phủ định: $\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 < 2x$.

c) $\forall a \in \mathbb{R}, \sqrt{a^2} = a$:

• Nếu $a < 0$, thì $\sqrt{a^2} = -a \neq a$.

• Sai.

• Phủ định: $\exists a \in \mathbb{R}, \sqrt{a^2} \neq a$.

Kết quả: a) Sai; b) Đúng; c) Sai.

Bài 6. Cho các định lí:

$P$: “Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau”.

$Q$: “Nếu $a < b$ thì $a + c < b + c$” $(a, b, c \in \mathbb{R})$.

a) Chỉ ra giả thiết và kết luận của mỗi định lí.

b) Phát biểu lại mỗi định lí đã cho, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” hoặc “điều kiện đủ”.

c) Mệnh đề đảo của mỗi định lí đó có là định lí không?

Lời giải:

a) Giả thiết và kết luận:

• Định lí $P$:

  • Giả thiết: Hai tam giác bằng nhau.
  • Kết luận: Diện tích của chúng bằng nhau.

• Định lí $Q$:

  • Giả thiết: $a < b$.
  • Kết luận: $a + c < b + c$.

b) Phát biểu lại:

• Định lí $P$:

  • “Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích của chúng bằng nhau.”

• Định lí $Q$:

  • “$a < b$ là điều kiện đủ để $a + c < b + c$.”

c) Mệnh đề đảo:

• Mệnh đề đảo của $P$:

  • “Nếu diện tích của hai tam giác bằng nhau thì hai tam giác bằng nhau.”
  • Không phải định lí, vì hai tam giác có diện tích bằng nhau nhưng không cần bằng nhau.

• Mệnh đề đảo của $Q$:

  • “Nếu $a + c < b + c$ thì $a < b$.”
  • Là định lí, vì mệnh đề này đúng.

Kết quả: a) đã nêu; b) đã nêu; c) đã nêu.

Bài 7. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ”, phát biểu lại các định lí sau:

a) Một phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương;

b) Một hình bình hành là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau và ngược lại.

Lời giải:

a) Một phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương:

• “Điều kiện cần và đủ để một phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là biệt thức của nó dương.”

b) Một hình bình hành là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau và ngược lại:

• “Điều kiện cần và đủ để một hình bình hành là hình thoi là nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.”

Kết quả: a) đã nêu; b) đã nêu.