Trang 21 — Một số tập con của tập hợp số thực

Bài 1. Viết các tập hợp sau đây dưới dạng liệt kê các phần tử.

a) A={x∈Z∣∣x∣<5}A = \{x \in \mathbb{Z} | |x| < 5\};

Lời giải:

Tập AA gồm các số nguyên xx thỏa mãn ∣x∣<5|x| < 5.

Điều này có nghĩa là −5<x<5-5 < x < 5.

Các số nguyên thỏa mãn điều kiện này là: −4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Vậy A={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}A = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}.

Kết quả: A={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}A = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}.

b) B={x∈R∣2x2−x−1=0}B = \{x \in \mathbb{R} | 2x^2 - x - 1 = 0\};

Lời giải:

Ta có: 2x2−x−1=02x^2 - x - 1 = 0

Δ=b2−4ac=(−1)2−4⋅2⋅(−1)=1+8=9\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9

⇒Δ=3\Rightarrow \sqrt{\Delta} = 3

x1=−(−1)+32⋅2=1x_1 = \frac{-(-1) + 3}{2 \cdot 2} = 1

x2=−(−1)−32⋅2=−12x_2 = \frac{-(-1) - 3}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}

Vậy B={1;−12}B = \{1; -\frac{1}{2}\}.

Kết quả: B={1;−12}B = \{1; -\frac{1}{2}\}.

c) C={x∈N∣xC = \{x \in \mathbb{N} | x có hai chữ số}\}.

Lời giải:

Các số tự nhiên có hai chữ số là các số từ 1010 đến 9999.

Vậy C={10,11,12,…,98,99}C = \{10, 11, 12, \ldots, 98, 99\}.

Kết quả: C={10,11,12,…,98,99}C = \{10, 11, 12, \ldots, 98, 99\}.

Trang 22 — Bài 3. Các phép toán trên tập hợp

Bài 2. Viết các tập hợp sau đây dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử.

a) Tập hợp A={1;2;3;6;9;18}A = \{1; 2; 3; 6; 9; 18\};

b) Tập hợp BB các nghiệm của bất phương trình 2x+1>02x + 1 > 0;

c) Tập hợp CC các nghiệm của phương trình 2x−y=62x - y = 6.

Lời giải:

a) Các phần tử của tập hợp AA là các số tự nhiên chia hết cho 1,2,3,6,91, 2, 3, 6, 9 và 1818. Do đó, tập hợp AA có thể được viết dưới dạng:

$$ A = {x \in \mathbb{N} ,|, x , \text{là bội của } , 1, 2, 3, 6, 9 , \text{và} , 18} $$

Tuy nhiên, cách viết trên không rõ ràng. Ta có thể viết lại như sau:

$$ A = {x \in \mathbb{N} ,|, x , \vdots , 18} $$

b) Tập hợp BB là tập hợp các số thực xx thỏa mãn bất phương trình 2x+1>02x + 1 > 0. Giải bất phương trình này ta có:

$$ 2x + 1 > 0 \iff 2x > -1 \iff x > -\frac{1}{2} $$

Do đó:

$$ B = {x \in \mathbb{R} ,|, x > -\frac{1}{2}} $$

c) Tập hợp CC là tập hợp các cặp số (x,y)(x, y) thỏa mãn phương trình 2x−y=62x - y = 6. Ta có:

$$ 2x - y = 6 \iff y = 2x - 6 $$

Do đó:

$$ C = {(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} ,|, y = 2x - 6} $$

Kết quả:

  • A={x∈N ∣ x ⋮ 18}A = \{x \in \mathbb{N} \,|\, x \, \vdots \, 18\}
  • B={x∈R ∣ x>−12}B = \{x \in \mathbb{R} \,|\, x > -\frac{1}{2}\}
  • C={(x,y)∈R×R ∣ y=2x−6}C = \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \,|\, y = 2x - 6\}

Bài 3. Trong mỗi cặp tập hợp sau đây, tập hợp nào là tập con của tập còn lại? Chúng có bằng nhau không?

a) A={x∈N ∣ x<2}A = \{x \in \mathbb{N} \,|\, x < 2\} và B={x∈R ∣ x2−x=0}B = \{x \in \mathbb{R} \,|\, x^2 - x = 0\};

b) CC là tập hợp các hình thoi và DD là tập hợp các hình vuông;

c) E=(−1,1]E = (-1, 1] và F=(−∞,2]F = (-\infty, 2].

Lời giải:

a) Ta có:

$$ A = {0, 1} $$

và

$$ B = {0, 1} $$

Do đó A=BA = B và A⊂BA \subset B.

b) Ta có:

  • Tập hợp CC gồm các hình thoi.
  • Tập hợp DD gồm các hình vuông.

Mọi hình vuông đều là hình thoi, nhưng không phải mọi hình thoi đều là hình vuông. Do đó:

$$ D \subset C $$

nhưng C⊄DC \not\subset D.

c) Ta có:

$$ E = (-1, 1] $$

và

$$ F = (-\infty, 2] $$

Ta thấy rằng E⊂FE \subset F nhưng F⊄EF \not\subset E.

Kết quả:

  • A=BA = B và A⊂BA \subset B
  • D⊂CD \subset C nhưng C⊄DC \not\subset D
  • E⊂FE \subset F nhưng F⊄EF \not\subset E

Bài 4. Hãy viết tất cả các tập con của tập hợp B={0;1;2}B = \{0; 1; 2\}.

Lời giải:

Các tập con của tập hợp BB là:

  • ∅\emptyset
  • {0}\{0\}
  • {1}\{1\}
  • {2}\{2\}
  • {0,1}\{0, 1\}
  • {0,2}\{0, 2\}
  • {1,2}\{1, 2\}
  • {0,1,2}\{0, 1, 2\}

Kết quả:

  • ∅\emptyset, {0}\{0\}, {1}\{1\}, {2}\{2\}, {0,1}\{0, 1\}, {0,2}\{0, 2\}, {1,2}\{1, 2\}, {0,1,2}\{0, 1, 2\}.

Bài 5. Dùng các kí hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng, viết các tập hợp sau đây:

a) {x∈R ∣ −2π<x≤2π}\{x \in \mathbb{R} \,|\, -2\pi < x \le 2\pi\};

b) {x∈R ∣ ∣x∣≤3}\{x \in \mathbb{R} \,|\, |x| \le \sqrt{3}\};

c) {x∈R ∣ x<0}\{x \in \mathbb{R} \,|\, x < 0\};

d) {x∈R ∣ 1−3x≤0}\{x \in \mathbb{R} \,|\, 1 - 3x \le 0\}.

Lời giải:

a) Ta có:

$$ {x \in \mathbb{R} ,|, -2\pi < x \le 2\pi} = (-2\pi, 2\pi] $$

b) Ta có:

$$ {x \in \mathbb{R} ,|, |x| \le \sqrt{3}} = {x \in \mathbb{R} ,|, -\sqrt{3} \le x \le \sqrt{3}} = [-\sqrt{3}, \sqrt{3}] $$

c) Ta có:

$$ {x \in \mathbb{R} ,|, x < 0} = (-\infty, 0) $$

d) Ta có:

$$ {x \in \mathbb{R} ,|, 1 - 3x \le 0} = {x \in \mathbb{R} ,|, 3x \ge 1} = {x \in \mathbb{R} ,|, x \ge \frac{1}{3}} = [\frac{1}{3}, +\infty) $$

Kết quả:

  • (−2π,2π](-2\pi, 2\pi]
  • [−3,3][-\sqrt{3}, \sqrt{3}]
  • (−∞,0)(-\infty, 0)
  • [13,+∞)[\frac{1}{3}, +\infty)

Trang 23 — Các phép toán trên tập hợp

Bài 1. Xác định tập hợp AA gồm các ứng viên đạt yêu cầu về chuyên môn, tập hợp BB gồm các ứng viên đạt yêu cầu về ngoại ngữ.

Lời giải: Không có dữ liệu cụ thể về các ứng viên, nên không thể xác định chính xác tập hợp AA và BB. Tuy nhiên, có thể định nghĩa:

  • Tập hợp AA gồm các ứng viên đạt yêu cầu về chuyên môn.
  • Tập hợp BB gồm các ứng viên đạt yêu cầu về ngoại ngữ.

Bài 2. Xác định tập hợp CC gồm các ứng viên đạt yêu cầu cả về chuyên môn và ngoại ngữ.

Lời giải: Tập hợp CC gồm các ứng viên đạt yêu cầu cả về chuyên môn và ngoại ngữ, chính là giao của tập hợp AA và BB, ký hiệu là:

C=A∩B={x∣x∈A vaˋ x∈B}C = A \cap B = \{x | x \in A \text{ và } x \in B\}

Bài 3. Xác định tập hợp DD gồm các ứng viên đạt ít nhất một trong hai yêu cầu về chuyên môn và ngoại ngữ.

Lời giải: Tập hợp DD gồm các ứng viên đạt ít nhất một trong hai yêu cầu về chuyên môn và ngoại ngữ, chính là hợp của tập hợp AA và BB, ký hiệu là:

D=A∪B={x∣x∈A hoặc x∈B}D = A \cup B = \{x | x \in A \text{ hoặc } x \in B\}

Ví dụ 1. Cho hai tập hợp AA và BB.

Tập hợp các phần tử thuộc AA hoặc thuộc BB gọi là hợp của hai tập hợp AA và BB, kí hiệu A∪BA \cup B.

A∪B={x∣x∈A hoặc x∈B}A \cup B = \{x | x \in A \text{ hoặc } x \in B\}

Tập hợp các phần tử thuộc cả hai tập hợp AA và BB gọi là giao của hai tập hợp AA và BB, kí hiệu A∩BA \cap B.

A∩B={x∣x∈A vaˋ x∈B}A \cap B = \{x | x \in A \text{ và } x \in B\}

Luyện tập

Ví dụ 1. Xác định A∪BA \cup B và A∩BA \cap B trong mỗi trường hợp sau:

a) A={2;3;5;7},B={1;3;5;15}A = \{2; 3; 5; 7\}, B = \{1; 3; 5; 15\};

Lời giải:

a) Ta có:

  • A∪B={1;2;3;5;7;15}A \cup B = \{1; 2; 3; 5; 7; 15\}
  • A∩B={3;5}A \cap B = \{3; 5\}

b) A={x∈R∣x(x+2)=0},B={x∈R∣x2+2=0}A = \{x \in \mathbb{R} | x(x + 2) = 0\}, B = \{x \in \mathbb{R} | x^2 + 2 = 0\};

Lời giải:

b) Ta có:

  • Phương trình x(x+2)=0x(x + 2) = 0 có hai nghiệm là 00 và −2-2, nên A={−2;0}A = \{-2; 0\}.
  • Phương trình x2+2=0x^2 + 2 = 0 vô nghiệm, nên B=∅B = \emptyset.

Từ đó:

  • A∪B=A∪∅=A={−2;0}A \cup B = A \cup \emptyset = A = \{-2; 0\}
  • A∩B=A∩∅=∅A \cap B = A \cap \emptyset = \emptyset.

c) AA là tập hợp các hình bình hành, BB là tập hợp các hình thoi.

Lời giải:

c) Vì mọi hình thoi cũng là hình bình hành nên B⊂AB \subset A. Từ đó:

  • A∪B=AA \cup B = A
  • A∩B=BA \cap B = B.

Ví dụ 2. Lớp 10D10D có 2222 bạn chơi bóng đá, 2525 bạn chơi cầu lông và 1515 bạn chơi cả hai môn thể thao này. Hỏi lớp 10D10D có bao nhiêu học sinh chơi ít nhất một trong hai môn thể thao bóng đá và cầu lông?

Lời giải: Kí hiệu A,BA, B lần lượt là tập hợp các học sinh của lớp 10D10D chơi bóng đá, chơi cầu lông.

Theo giả thiết, n(A)=22,n(B)=25,n(A∩B)=15n(A) = 22, n(B) = 25, n(A \cap B) = 15.

Số học sinh chơi ít nhất một trong hai môn thể thao bóng đá và cầu lông là:

n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)=22+25−15=32n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 22 + 25 - 15 = 32

Kết quả: 3232

Trang 24 —

Trang này không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hay ví dụ cần giải. Toàn bộ nội dung trên trang là lý thuyết.

SKIP