Giải Toán 10 Tập 1 trang 33-36 - Chân trời sáng tạo

Trang 33 — Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1. Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x - 2y + 6 > 0$.

a) $(0; 0)$ có phải là một nghiệm của bất phương trình đã cho không?

b) Chỉ ra ba cặp số $(x, y)$ là nghiệm của bất phương trình đã cho.

c) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình đã cho trên mặt phẳng $Oxy$.

Lời giải:

a) Ta có: $0 - 2 \cdot 0 + 6 = 6 > 0$. Vậy $(0; 0)$ là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

b)

• Chọn $x = 0$ ta có bất phương trình $0 - 2y + 6 > 0 \Leftrightarrow y < 3$. Do đó cặp số $(0; 2)$ là một nghiệm của bất phương trình đã cho.
• Chọn $y = 0$ ta có bất phương trình $x + 6 > 0 \Leftrightarrow x > -6$. Do đó cặp số $(-1; 0)$ là một nghiệm của bất phương trình đã cho.
• Chọn $y = 1$ ta có bất phương trình $x - 2 + 6 > 0 \Leftrightarrow x > -4$. Do đó cặp số $(-3; 1)$ là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

c) Vẽ đường thẳng $\Delta: x - 2y + 6 = 0$ đi qua hai điểm $A(-6; 0)$ và $B(0; 3)$.

Xét gốc tọa độ $O(0; 0)$. Ta thấy $O \notin \Delta$ và $0 - 2 \cdot 0 + 6 > 0$.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ $O$, không kể đường thẳng $\Delta$.

Bài 2. Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$:

a) $-x + y + 2 > 0$;

b) $y + 2 \geq 0$;

c) $-x + 2 \leq 0$.

Lời giải:

a) Vẽ đường thẳng $\Delta: -x + y + 2 = 0$ đi qua hai điểm $A(2; 0)$ và $B(0; -2)$.

Xét gốc tọa độ $O(0; 0)$. Ta thấy $O \notin \Delta$ và $-0 + 0 + 2 > 0$.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ $O$, không kể đường thẳng $\Delta$.

b) Vẽ đường thẳng $\Delta: y + 2 = 0$ đi qua điểm $A(0; -2)$ và song song với trục $Ox$.

Xét điểm $(0; 0)$. Ta có: $0 + 2 > 0$.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm $(0; 0)$, kể cả đường thẳng $\Delta$.

c) Vẽ đường thẳng $\Delta: -x + 2 = 0$ đi qua điểm $A(2; 0)$ và song song với trục $Oy$.

Xét điểm $(0; 0)$. Ta có: $-0 + 2 > 0$ không đúng.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm $(0; 0)$, kể cả đường thẳng $\Delta$.

Bài 3. Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$:

a) $-x + 2 + 2(y - 2) < 2(1 - x)$;

b) $3(x - 1) + 4(y - 2) < 5x - 3$.

Lời giải:

a) Biến đổi bất phương trình $-x + 2 + 2(y - 2) < 2(1 - x)$ thành $x + 2y - 6 < 0$.

Vẽ đường thẳng $\Delta: x + 2y - 6 = 0$ đi qua hai điểm $A(6; 0)$ và $B(0; 3)$.

Xét gốc tọa độ $O(0; 0)$. Ta thấy $O \notin \Delta$ và $0 + 2 \cdot 0 - 6 < 0$.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ $O$, không kể đường thẳng $\Delta$.

b) Biến đổi bất phương trình $3(x - 1) + 4(y - 2) < 5x - 3$ thành $-2x + 4y - 5 < 0$.

Vẽ đường thẳng $\Delta: -2x + 4y - 5 = 0$ đi qua điểm $A(\frac{5}{2}; 0 )$ và $B(0; \frac{5}{4})$.

Xét gốc tọa độ $O(0; 0)$. Ta thấy $O \notin \Delta$ và $-2 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 5 < 0$.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ $O$, không kể đường thẳng $\Delta$.

Bài 4. Bạn Cúc muốn pha hai loại nước cam. Để pha một lít nước cam loại I cần $30$ g bột cam, còn một lít nước cam loại II cần $20$ g bột cam. Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số lít nước cam loại I và II pha được. Biết rằng Cúc chỉ có thể dùng không quá $100$ g bột cam. Hãy lập các bất phương trình mô tả số lít nước cam loại I và II mà bạn Cúc có thể pha chế được và biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình đó trên cùng một mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

Lời giải:

Ta có:

• Để pha một lít nước cam loại I cần $30$ g bột cam, còn một lít nước cam loại II cần $20$ g bột cam. Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số lít nước cam loại I và II pha được.
• Ta có bất phương trình $30x + 20y \leq 100 \Leftrightarrow 3x + 2y - 10 \leq 0$.

Vẽ đường thẳng $\Delta: 3x + 2y - 10 = 0$ đi qua hai điểm $(\frac{10}{3}; 0)$ và $(0; 5)$.

Xét gốc tọa độ $O(0; 0)$. Ta thấy $O \notin \Delta$ và $3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 10 \leq 0$.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ $O$, kể cả đường thẳng $\Delta$.

Bài 5. Miền không gạch chéo (không kể bờ $d$) trong mỗi hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình nào?

Lời giải:

a) Miền không gạch chéo là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ $O$, không kể đường thẳng $d$.

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $(0; 2)$ và $(1; 0)$ nên phương trình đường thẳng $d$ là $2x + y - 2 = 0$.

Xét điểm $O(0; 0)$. Ta có $2 \cdot 0 + 0 - 2 < 0$.

Vậy miền không gạch chéo là miền nghiệm của bất phương trình $2x + y - 2 < 0$.

b) Miền không gạch chéo là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ $O$, không kể đường thẳng $d$.

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $(0; 1)$ và $(3; 0)$ nên phương trình đường thẳng $d$ là $x + 3y - 3 = 0$.

Xét điểm $O(0; 0)$. Ta có $0 + 3 \cdot 0 - 3 < 0$.

Vậy miền không gạch chéo là miền nghiệm của bất phương trình $x + 3y - 3 > 0$.

---

Trang 34 — Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập

1. Khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Một người nông dân dự định quy hoạch $x$ sào đất trồng cà tim và $y$ sào đất trồng cà chua. Biết rằng người đó chỉ có tối đa $9$ triệu đồng để mua hạt giống và giá tiền hạt giống cho mỗi sào đất trồng cà tim là $200000$ đồng, mỗi sào đất trồng cà chua là $100000$ đồng.

a) Viết các bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc đối với $x$, $y$.

b) Cặp số nào sau đây thỏa mãn đồng thời tất cả các bất phương trình nêu trên?

$(20; 40)$, $(40; 20)$, $(-30; 10)$.

Lời giải:

a) Số tiền người nông dân dùng để mua hạt giống là

$200000x + 100000y$ (đồng).

Vì người đó chỉ có tối đa $9$ triệu đồng để mua hạt giống nên

$$200000x + 100000y \leq 9000000$$

hay $2x + y \leq 90$.

Ngoài ra, $x \geq 0$, $y \geq 0$.

Vậy các bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc đối với $x$, $y$ là

$$\begin{cases} 2x + y \leq 90 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$

b) Ta có:

• Với $(20; 40)$:

$$\begin{cases} 2(20) + 40 = 80 \leq 90 \\ 20 \geq 0 \\ 40 \geq 0 \end{cases}$$

$\Rightarrow$ Thỏa mãn.

• Với $(40; 20)$:

$$\begin{cases} 2(40) + 20 = 100 > 90 \\ 40 \geq 0 \\ 20 \geq 0 \end{cases}$$

$\Rightarrow$ Không thỏa mãn.

• Với $(-30; 10)$:

$$\begin{cases} 2(-30) + 10 = -50 \leq 90 \\ -30 < 0 \\ 10 \geq 0 \end{cases}$$

$\Rightarrow$ Không thỏa mãn.

Kết quả: $(20; 40)$

Ví dụ 1. Tìm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong các hệ sau:

a) $\begin{cases} 3x + y - 1 \leq 0 \\ 2x - y + 2 \geq 0 \end{cases}$;

b) $\begin{cases} 5x + y - 9 = 0 \\ 4x - 7y + 3 = 0 \end{cases}$;

c) $\begin{cases} y - 1 < 0 \\ x + 2 \geq 0 \end{cases}$;

d) $\begin{cases} x + y - 3 \leq 0 \\ -2x + y + 3 \geq 0 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$.

Lời giải:

a) Hệ bất phương trình $\begin{cases} 3x + y - 1 \leq 0 \\ 2x - y + 2 \geq 0 \end{cases}$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Hệ $\begin{cases} 5x + y - 9 = 0 \\ 4x - 7y + 3 = 0 \end{cases}$ không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì hệ gồm các phương trình bậc nhất hai ẩn.

c) Hệ $\begin{cases} y - 1 < 0 \\ x + 2 \geq 0 \end{cases}$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

d) Hệ $\begin{cases} x + y - 3 \leq 0 \\ -2x + y + 3 \geq 0 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

---

Trang 35 — Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Trang này có Ví dụ và Bài tập cần giải.

Bài tập.

1. Giải

Các hệ a), c), d) là các hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ b) không phải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì hệ này chỉ gồm các phương trình.

Hãy chỉ ra hai nghiệm của mỗi hệ bất phương trình trong Ví dụ 1.

Lời giải:

Hệ a) $$ \begin{cases} x \geq 0 \ y \geq 0 \ x + y \leq 100 \end{cases} $$

• Ta có: $(x, y) = (0, 0)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình.
• Ta có: $(x, y) = (1, 1)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình.

Hệ c) $$ \begin{cases} x \geq 0 \ y \geq 0 \ 2x - 3y + 1 \geq 0 \end{cases} $$

• Ta có: $(x, y) = (0, 0)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình.
• Ta có: $(x, y) = (1, 1)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình.

Hệ d) $$ \begin{cases} x \geq 0 \ y \geq 0 \ x - 2y + 1 \geq 0 \ x - y \leq 0 \end{cases} $$

• Ta có: $(x, y) = (0, 0)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình.
• Ta có: $(x, y) = (1, 1)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình.

2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hệ bất phương trình: $$ \begin{cases} x + y - 3 \leq 0 \ -2x + y + 3 \geq 0 \end{cases} $$

Miền nào trong Hình 1 biểu diễn phần giao các miền nghiệm của hai bất phương trình trong hệ đã cho?

Lời giải:

Kết quả: $\boxed{2}$

Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, ta thực hiện như sau:

• Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ.
• Phần giao của các miền nghiệm là miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Ví dụ 2

Biểu diễn miền nghiệm của hệ: $$ \begin{cases} 2x - y - 3 \leq 0 \ 2x - y + 2 \leq 0 \end{cases} $$

Lời giải:

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng $Oxy$.

Miền không gạch chéo (kể cả bờ) trong Hình 2 là phần giao của hai miền nghiệm của hai bất phương trình và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

---

Trang 36 — Chương 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập

Bài 1

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình: [ \begin{cases} x + y \le 8 \ 2x + 3y \le 18 \ x \ge 0 \ y \ge 0. \end{cases} ]

Lời giải:

Bước 1: Vẽ các đường thẳng

• Đường thẳng $d_1: x + y = 8$ đi qua điểm $(0,8)$ và $(8,0)$.
• Đường thẳng $d_2: 2x + 3y = 18$ đi qua điểm $(0,6)$ và $(9,0)$.

Bước 2: Xác định miền nghiệm

• Miền nghiệm của $x + y \le 8$ là nửa mặt phẳng có bờ $d_1$, chứa điểm $(0,0)$.
• Miền nghiệm của $2x + 3y \le 18$ là nửa mặt phẳng có bờ $d_2$, chứa điểm $(0,0)$.
• Miền nghiệm của $x \ge 0$ là nửa mặt phẳng bên phải trục $Oy$, bao gồm trục $Oy$.
• Miền nghiệm của $y \ge 0$ là nửa mặt phẳng bên trên trục $Ox$, bao gồm trục $Ox$.

Bước 3: Biểu diễn miền nghiệm

• Miền không bị gạch chéo (miền tứ giác $OABC$, bao gồm cả các cạnh) là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Kết quả: Miền tứ giác $OABC$.

Bài 2

Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F = ax + by$ trên một miền đa giác

Hệ bất phương trình giúp ta mô tả được nhiều bài toán thực tế để tìm ra cách giải quyết tối ưu. Chứng thường được đưa về bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức $F = ax + by$ trên một miền đa giác.

Người ta chứng minh được $F$ đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của đa giác.

Ví dụ 4

Bác Năm dự định trồng ngô và đậu xanh trên một mảnh đất có diện tích 8 ha. Nếu trồng 1 ha ngô thì cần 20 ngày công và thu được 40 triệu đồng. Nếu trồng 1 ha đậu xanh thì cần 30 ngày công và thu được 50 triệu đồng. Bác Năm cần trồng bao nhiêu hecta cho mỗi loại cây để thu được nhiều tiền nhất? Biết rằng, bác Năm chỉ có thể sử dụng không quá 180 ngày công cho việc trồng ngô và đậu xanh.

Gọi $x$ là số hecta đất trồng ngô và $y$ là số hecta đất trồng đậu xanh.

Lời giải:

Bước 1: Thiết lập hệ bất phương trình

• Diện tích đất: $x + y \le 8$
• Số ngày công: $20x + 30y \le 180$
• Điều kiện không âm: $x \ge 0, y \ge 0$

Hệ bất phương trình: [ \begin{cases} x + y \le 8 \ 20x + 30y \le 180 \ x \ge 0 \ y \ge 0. \end{cases} ]

Bước 2: Biểu diễn miền nghiệm

• Vẽ các đường thẳng:
  • $d_1: x + y = 8$
  • $d_2: 20x + 30y = 180$ hay $2x + 3y = 18$

Bước 3: Tìm giao điểm của $d_1$ và $d_2$

• Giải hệ phương trình:$$\begin{cases} x + y = 8 \\ 2x + 3y = 18 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 6 \\ y = 2 \end{cases}$$
• Giao điểm là $(6, 2)$.

Bước 4: Xác định giá trị $F = 40x + 50y$ tại các đỉnh

• Tại $(0,0)$: $F = 40 \cdot 0 + 50 \cdot 0 = 0$
• Tại $(0,6)$: $F = 40 \cdot 0 + 50 \cdot 6 = 300$
• Tại $(6,2)$: $F = 40 \cdot 6 + 50 \cdot 2 = 340$
• Tại $(9,0)$: Không thuộc miền nghiệm.

Bước 5: Kết luận

Giá trị lớn nhất $F = 340$ tại $(6,2)$.

Kết quả: Bác Năm nên trồng $6$ ha ngô và $2$ ha đậu xanh.