Trang 65 — Bài 4. Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc
Bài tập:
Tìm góc α \alpha α ( 0 ∘ ≤ α ≤ 180 ∘ ) \left( 0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ \right) ( 0 ∘ ≤ α ≤ 18 0 ∘ ) sin α = 3 2 \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} sin α = 2 3 cos α = − 2 2 \cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} cos α = − 2 2 tan α = − 1 \tan \alpha = -1 tan α = − 1 cot α = − 3 \cot \alpha = -\sqrt{3} cot α = − 3
Lời giải:
a) Để tìm góc α \alpha α sin α = 3 2 \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} sin α = 2 3
Ấn liên tiếp các phím: SHIFT sin − 1 3 2 \boxed{\text{SHIFT} \sin^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}} SHIFT sin − 1 2 3
Kết quả: α = 60 ∘ \alpha = 60^\circ α = 6 0 ∘
b) Để tìm góc α \alpha α cos α = − 2 2 \cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} cos α = − 2 2
Ấn liên tiếp các phím: SHIFT cos − 1 − 2 2 \boxed{\text{SHIFT} \cos^{-1} -\frac{\sqrt{2}}{2}} SHIFT cos − 1 − 2 2
Kết quả: α = 135 ∘ \alpha = 135^\circ α = 13 5 ∘
c) Để tìm góc α \alpha α tan α = − 1 \tan \alpha = -1 tan α = − 1
Ấn liên tiếp các phím: SHIFT tan − 1 − 1 \boxed{\text{SHIFT} \tan^{-1} -1} SHIFT tan − 1 − 1
Kết quả: α = 135 ∘ \alpha = 135^\circ α = 13 5 ∘
d) Để tìm góc α \alpha α cot α = − 3 \cot \alpha = -\sqrt{3} cot α = − 3
Ta có: cot α = − 3 ⇒ tan α = − 1 3 \cot \alpha = -\sqrt{3} \Rightarrow \tan \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}} cot α = − 3 ⇒ tan α = − 3 1
Ấn liên tiếp các phím: SHIFT tan − 1 − 1 3 \boxed{\text{SHIFT} \tan^{-1} -\frac{1}{\sqrt{3}}} SHIFT tan − 1 − 3 1
Kết quả: α = 150 ∘ \alpha = 150^\circ α = 15 0 ∘
Kết quả:
a) α = 60 ∘ \alpha = 60^\circ α = 6 0 ∘ α = 135 ∘ \alpha = 135^\circ α = 13 5 ∘ α = 135 ∘ \alpha = 135^\circ α = 13 5 ∘ α = 150 ∘ \alpha = 150^\circ α = 15 0 ∘
Trang 66 — Bài tập
Bài 1. Cho biết sin 30 ∘ = 1 2 ; sin 60 ∘ = 3 2 ; tan 45 ∘ = 1. \sin 30^\circ = \frac{1}{2}; \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}; \tan 45^\circ = 1. sin 3 0 ∘ = 2 1 ; sin 6 0 ∘ = 2 3 ; tan 4 5 ∘ = 1. E = 2 cos 30 ∘ + sin 150 ∘ + tan 135 ∘ E = 2\cos 30^\circ + \sin 150^\circ + \tan 135^\circ E = 2 cos 3 0 ∘ + sin 15 0 ∘ + tan 13 5 ∘
Lời giải:
Ta có:
cos 30 ∘ = sin ( 90 ∘ − 30 ∘ ) = sin 60 ∘ = 3 2 \cos 30^\circ = \sin (90^\circ - 30^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} cos 3 0 ∘ = sin ( 9 0 ∘ − 3 0 ∘ ) = sin 6 0 ∘ = 2 3 sin 150 ∘ = sin ( 180 ∘ − 30 ∘ ) = sin 30 ∘ = 1 2 \sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} sin 15 0 ∘ = sin ( 18 0 ∘ − 3 0 ∘ ) = sin 3 0 ∘ = 2 1 tan 135 ∘ = tan ( 180 ∘ − 45 ∘ ) = − tan 45 ∘ = − 1 \tan 135^\circ = \tan (180^\circ - 45^\circ) = -\tan 45^\circ = -1 tan 13 5 ∘ = tan ( 18 0 ∘ − 4 5 ∘ ) = − tan 4 5 ∘ = − 1
Do đó:
$$
\begin{aligned}
E &= 2\cos 30^\circ + \sin 150^\circ + \tan 135^\circ \
&= 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - 1 \
&= \sqrt{3} + \frac{1}{2} - 1 \
&= \sqrt{3} - \frac{1}{2}.
\end{aligned}
$$
Kết quả: 3 − 1 2 \sqrt{3} - \frac{1}{2} 3 − 2 1
Bài 2. Chứng minh rằng:
a) sin 20 ∘ = sin 160 ∘ \sin 20^\circ = \sin 160^\circ sin 2 0 ∘ = sin 16 0 ∘
Lời giải:
Ta có:
$$
\begin{aligned}
\sin 20^\circ &= \sin (180^\circ - 160^\circ) \
&= \sin 160^\circ.
\end{aligned}
$$
Vậy sin 20 ∘ = sin 160 ∘ \sin 20^\circ = \sin 160^\circ sin 2 0 ∘ = sin 16 0 ∘
Bài 2. Chứng minh rằng:
b) cos 50 ∘ = − cos 130 ∘ \cos 50^\circ = -\cos 130^\circ cos 5 0 ∘ = − cos 13 0 ∘
Lời giải:
Ta có:
$$
\begin{aligned}
\cos 50^\circ &= -\cos (180^\circ - 50^\circ) \
&= -\cos 130^\circ.
\end{aligned}
$$
Vậy cos 50 ∘ = − cos 130 ∘ \cos 50^\circ = -\cos 130^\circ cos 5 0 ∘ = − cos 13 0 ∘
Bài 3. Tìm góc α ( 0 ∘ ≤ α ≤ 180 ∘ ) \alpha \space (0^\circ \le \alpha \le 180^\circ) α ( 0 ∘ ≤ α ≤ 18 0 ∘ ) cos α = − 2 2 \cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} cos α = − 2 2
Lời giải:
Ta có cos α = − 2 2 \cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} cos α = − 2 2
Vì 0 ∘ ≤ α ≤ 180 ∘ 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ 0 ∘ ≤ α ≤ 18 0 ∘ α = 135 ∘ \alpha = 135^\circ α = 13 5 ∘
Kết quả: α = 135 ∘ \alpha = 135^\circ α = 13 5 ∘
Bài 3. Tìm góc α ( 0 ∘ ≤ α ≤ 180 ∘ ) \alpha \space (0^\circ \le \alpha \le 180^\circ) α ( 0 ∘ ≤ α ≤ 18 0 ∘ ) sin α = 0 \sin \alpha = 0 sin α = 0
Lời giải:
Ta có sin α = 0 \sin \alpha = 0 sin α = 0
Vì 0 ∘ ≤ α ≤ 180 ∘ 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ 0 ∘ ≤ α ≤ 18 0 ∘ α = 0 ∘ \alpha = 0^\circ α = 0 ∘ α = 180 ∘ \alpha = 180^\circ α = 18 0 ∘
Kết quả: α = 0 ∘ \alpha = 0^\circ α = 0 ∘ α = 180 ∘ \alpha = 180^\circ α = 18 0 ∘
Bài 3. Tìm góc α ( 0 ∘ ≤ α ≤ 180 ∘ ) \alpha \space (0^\circ \le \alpha \le 180^\circ) α ( 0 ∘ ≤ α ≤ 18 0 ∘ ) tan α = 1 \tan \alpha = 1 tan α = 1
Lời giải:
Ta có tan α = 1 \tan \alpha = 1 tan α = 1
Vì 0 ∘ ≤ α ≤ 180 ∘ 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ 0 ∘ ≤ α ≤ 18 0 ∘ α ≠ 90 ∘ \alpha \ne 90^\circ α = 9 0 ∘ α = 45 ∘ \alpha = 45^\circ α = 4 5 ∘
Kết quả: α = 45 ∘ \alpha = 45^\circ α = 4 5 ∘
Bài 3. Tìm góc α ( 0 ∘ ≤ α ≤ 180 ∘ ) \alpha \space (0^\circ \le \alpha \le 180^\circ) α ( 0 ∘ ≤ α ≤ 18 0 ∘ ) cot α \cot \alpha cot α
Lời giải:
cot α \cot \alpha cot α α = 90 ∘ \alpha = 90^\circ α = 9 0 ∘
Kết quả: α = 90 ∘ \alpha = 90^\circ α = 9 0 ∘
Bài 4. Cho tam giác A B C ABC A B C sin A = sin ( B + C ) \sin A = \sin (B + C) sin A = sin ( B + C )
Lời giải:
Trong tam giác A B C ABC A B C A ^ + B ^ + C ^ = 180 ∘ \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ A + B + C = 18 0 ∘
Do đó A ^ = 180 ∘ − ( B ^ + C ^ ) \widehat{A} = 180^\circ - (\widehat{B} + \widehat{C}) A = 18 0 ∘ − ( B + C )
Suy ra
$$
\begin{aligned}
\sin A &= \sin [180^\circ - (B + C)] \
&= \sin (B + C).
\end{aligned}
$$
Bài 4. Cho tam giác A B C ABC A B C cos A = − cos ( B + C ) \cos A = -\cos (B + C) cos A = − cos ( B + C )
Lời giải:
Trong tam giác A B C ABC A B C A ^ + B ^ + C ^ = 180 ∘ \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ A + B + C = 18 0 ∘
Do đó A ^ = 180 ∘ − ( B ^ + C ^ ) \widehat{A} = 180^\circ - (\widehat{B} + \widehat{C}) A = 18 0 ∘ − ( B + C )
Suy ra
$$
\begin{aligned}
\cos A &= \cos [180^\circ - (B + C)] \
&= -\cos (B + C).
\end{aligned}
$$
Bài 5. Chứng minh rằng với mọi góc α ( 0 ∘ ≤ α ≤ 180 ∘ ) \alpha \space (0^\circ \le \alpha \le 180^\circ) α ( 0 ∘ ≤ α ≤ 18 0 ∘ ) cos 2 α + sin 2 α = 1 \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 cos 2 α + sin 2 α = 1
Lời giải:
Với mọi góc α ( 0 ∘ ≤ α ≤ 180 ∘ ) \alpha \space (0^\circ \le \alpha \le 180^\circ) α ( 0 ∘ ≤ α ≤ 18 0 ∘ )
Bài 5. Chứng minh rằng với mọi góc α ( 0 ∘ ≤ α ≤ 180 ∘ ) \alpha \space (0^\circ \le \alpha \le 180^\circ) α ( 0 ∘ ≤ α ≤ 18 0 ∘ ) tan α ⋅ cot α = 1 ( 0 ∘ < α < 180 ∘ , α ≠ 90 ∘ ) \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1 \space (0^\circ < \alpha < 180^\circ, \alpha \ne 90^\circ) tan α ⋅ cot α = 1 ( 0 ∘ < α < 18 0 ∘ , α = 9 0 ∘ )
Lời giải:
Với mọi góc α ( 0 ∘ < α < 180 ∘ , α ≠ 90 ∘ ) \alpha \space (0^\circ < \alpha < 180^\circ, \alpha \ne 90^\circ) α ( 0 ∘ < α < 18 0 ∘ , α = 9 0 ∘ )
Bài 5. Chứng minh rằng với mọi góc α ( 0 ∘ ≤ α ≤ 180 ∘ ) \alpha \space (0^\circ \le \alpha \le 180^\circ) α ( 0 ∘ ≤ α ≤ 18 0 ∘ ) 1 + tan 2 α = 1 cos 2 α ( α ≠ 90 ∘ ) 1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \space (\alpha \ne 90^\circ) 1 + tan 2 α = c o s 2 α 1 ( α = 9 0 ∘ )
Lời giải:
Với mọi góc α ( 0 ∘ ≤ α ≤ 180 ∘ , α ≠ 90 ∘ ) \alpha \space (0^\circ \le \alpha \le 180^\circ, \alpha \ne 90^\circ) α ( 0 ∘ ≤ α ≤ 18 0 ∘ , α = 9 0 ∘ )
Bài 5. Chứng minh rằng với mọi góc α ( 0 ∘ ≤ α ≤ 180 ∘ ) \alpha \space (0^\circ \le \alpha \le 180^\circ) α ( 0 ∘ ≤ α ≤ 18 0 ∘ ) 1 + cot 2 α = 1 sin 2 α ( 0 ∘ < α < 180 ∘ ) 1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \space (0^\circ < \alpha < 180^\circ) 1 + cot 2 α = s i n 2 α 1 ( 0 ∘ < α < 18 0 ∘ )
Lời giải:
Với mọi góc α ( 0 ∘ < α < 180 ∘ ) \alpha \space (0^\circ < \alpha < 180^\circ) α ( 0 ∘ < α < 18 0 ∘ )
Bài 6. Cho góc α \alpha α cos α = − 1 2 \cos \alpha = -\frac{1}{2} cos α = − 2 1 A = 2 sin α + 5 cos 2 α A = 2\sin \alpha + 5\cos^2 \alpha A = 2 sin α + 5 cos 2 α
Lời giải:
Ta có cos α = − 1 2 \cos \alpha = -\frac{1}{2} cos α = − 2 1
Suy ra sin α = ± 3 2 \sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} sin α = ± 2 3
Do 0 ∘ ≤ α ≤ 180 ∘ 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ 0 ∘ ≤ α ≤ 18 0 ∘ sin α ≥ 0 \sin \alpha \ge 0 sin α ≥ 0 sin α = 3 2 \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} sin α = 2 3
Khi đó
$$
\begin{aligned}
A &= 2\sin \alpha + 5\cos^2 \alpha \
&= 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 5 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right)^2 \
&= \sqrt{3} + \frac{5}{4} \
&= \frac{4\sqrt{3} + 5}{4}.
\end{aligned}
$$
Kết quả: 4 3 + 5 4 \frac{4\sqrt{3} + 5}{4} 4 4 3 + 5
Bài 7. Dùng máy tính cầm tay, hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:
a) Tính: sin 168 ∘ 45 ′ 33 ′ ′ ; cos 18 ∘ 22 ′ 35 ′ ′ ; tan 156 ∘ 26 ′ 39 ′ ′ ; cot 56 ∘ 36 ′ 42 ′ ′ \sin 168^\circ 45' 33''; \cos 18^\circ 22' 35''; \tan 156^\circ 26' 39''; \cot 56^\circ 36' 42'' sin 16 8 ∘ 4 5 ′ 3 3 ′′ ; cos 1 8 ∘ 2 2 ′ 3 5 ′′ ; tan 15 6 ∘ 2 6 ′ 3 9 ′′ ; cot 5 6 ∘ 3 6 ′ 4 2 ′′
Lời giải:
Dùng máy tính cầm tay, ta có:
sin 168 ∘ 45 ′ 33 ′ ′ ≈ 0 , 1951 \sin 168^\circ 45' 33'' \approx 0,1951 sin 16 8 ∘ 4 5 ′ 3 3 ′′ ≈ 0 , 1951 cos 18 ∘ 22 ′ 35 ′ ′ ≈ 0 , 9487 \cos 18^\circ 22' 35'' \approx 0,9487 cos 1 8 ∘ 2 2 ′ 3 5 ′′ ≈ 0 , 9487 tan 156 ∘ 26 ′ 39 ′ ′ ≈ − 0 , 4057 \tan 156^\circ 26' 39'' \approx -0,4057 tan 15 6 ∘ 2 6 ′ 3 9 ′′ ≈ − 0 , 4057 cot 56 ∘ 36 ′ 42 ′ ′ ≈ 0 , 6597 \cot 56^\circ 36' 42'' \approx 0,6597 cot 5 6 ∘ 3 6 ′ 4 2 ′′ ≈ 0 , 6597
Bài 7. Dùng máy tính cầm tay, hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:
b) Tìm α ( 0 ∘ ≤ α ≤ 180 ∘ ) \alpha \space (0^\circ \le \alpha \le 180^\circ) α ( 0 ∘ ≤ α ≤ 18 0 ∘ ) sin α = 0 , 862 \sin \alpha = 0,862 sin α = 0 , 862
Lời giải:
Dùng máy tính cầm tay, ta có α = arcsin 0 , 862 ≈ 60 ∘ \alpha = \arcsin 0,862 \approx 60^\circ α = arcsin 0 , 862 ≈ 6 0 ∘
Kết quả: α ≈ 60 ∘ \alpha \approx 60^\circ α ≈ 6 0 ∘
Bài 7. Dùng máy tính cầm tay, hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:
b) Tìm α ( 0 ∘ ≤ α ≤ 180 ∘ ) \alpha \space (0^\circ \le \alpha \le 180^\circ) α ( 0 ∘ ≤ α ≤ 18 0 ∘ ) cos α = − 0 , 567 \cos \alpha = -0,567 cos α = − 0 , 567
Lời giải:
Dùng máy tính cầm tay, ta có α = arccos ( − 0 , 567 ) ≈ 124 ∘ \alpha = \arccos (-0,567) \approx 124^\circ α = arccos ( − 0 , 567 ) ≈ 12 4 ∘
Kết quả: α ≈ 124 ∘ \alpha \approx 124^\circ α ≈ 12 4 ∘
Bài 7. Dùng máy tính cầm tay, hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:
b) Tìm α ( 0 ∘ ≤ α ≤ 180 ∘ ) \alpha \space (0^\circ \le \alpha \le 180^\circ) α ( 0 ∘ ≤ α ≤ 18 0 ∘ ) tan α = 0 , 334 \tan \alpha = 0,334 tan α = 0 , 334
Lời giải:
Dùng máy tính cầm tay, ta có α = arctan 0 , 334 ≈ 18 ∘ \alpha = \arctan 0,334 \approx 18^\circ α = arctan 0 , 334 ≈ 1 8 ∘
Kết quả: α ≈ 18 ∘ \alpha \approx 18^\circ α ≈ 1 8 ∘
Trang 67 — Định lí côsin trong tam giác
Bài tập:
Cho tam giác A B C ABC A B C C ^ = 115 ∘ , A C = 8 \widehat{C} = 115^{\circ}, AC = 8 C = 11 5 ∘ , A C = 8 B C = 12 BC = 12 B C = 12 A B AB A B A , B A, B A , B
Lời giải:
Áp dụng định lí côsin trong tam giác A B C ABC A B C
$$
AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C
$$
Thay số vào, ta được:
$$
AB^2 = 8^2 + 12^2 - 2 \cdot 8 \cdot 12 \cdot \cos 115^{\circ}
$$
Tính cos 115 ∘ \cos 115^{\circ} cos 11 5 ∘
$$
\cos 115^{\circ} = -\cos (180^{\circ} - 115^{\circ}) = -\cos 65^{\circ}
$$
Sử dụng máy tính, ta có:
$$
\cos 65^{\circ} \approx 0,423
$$
$$
\Rightarrow \cos 115^{\circ} \approx -0,423
$$
Thay vào:
$$
AB^2 = 64 + 144 - 2 \cdot 8 \cdot 12 \cdot (-0,423)
$$
$$
AB^2 = 208 + 2 \cdot 96 \cdot 0,423
$$
$$
AB^2 = 208 + 81,216
$$
$$
AB^2 = 289,216
$$
$$
AB \approx \sqrt{289,216}
$$
$$
AB \approx 17
$$
Tiếp theo, ta tính góc A A A
$$
\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
$$
$$
\cos A = \frac{8^2 + 17^2 - 12^2}{2 \cdot 8 \cdot 17}
$$
$$
\cos A = \frac{64 + 289 - 144}{272}
$$
$$
\cos A = \frac{209}{272}
$$
$$
\cos A \approx 0,768
$$
$$
\Rightarrow A \approx \arccos (0,768)
$$
$$
A \approx 39,7^{\circ}
$$
Cuối cùng, ta tính góc B B B
$$
\widehat{B} = 180^{\circ} - \widehat{A} - \widehat{C}
$$
$$
\widehat{B} = 180^{\circ} - 39,7^{\circ} - 115^{\circ}
$$
$$
\widehat{B} = 25,3^{\circ}
$$
Kết quả: A B ≈ 17 , A ≈ 39 , 7 ∘ , B ≈ 25 , 3 ∘ AB \approx 17, A \approx 39,7^{\circ}, B \approx 25,3^{\circ} A B ≈ 17 , A ≈ 39 , 7 ∘ , B ≈ 25 , 3 ∘
Trang 68 —
Bài 1. Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác A B C ABC A B C
Lời giải:
Theo định lí cos \cos cos
Theo hệ quả của định lí cos \cos cos
Ta có:
$$
\widehat{C} = 180^\circ - 62^\circ - 70.7^\circ
$$
$$
\widehat{C} \approx 47.3^\circ
$$
Kết quả: A B ≈ 16.84 AB \approx 16.84 A B ≈ 16.84 B ^ ≈ 70.7 ∘ \widehat{B} \approx 70.7^\circ B ≈ 70. 7 ∘ C ^ ≈ 47.3 ∘ \widehat{C} \approx 47.3^\circ C ≈ 47. 3 ∘
Bài 2. Tính khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu của một hồ nước. Biết từ một điểm cách hai đầu hồ lần lượt là 800 800 800 900 900 900 70 ∘ 70^\circ 7 0 ∘
Lời giải:
Gọi A A A B B B C C C
Theo định lí cos \cos cos
Kết quả: khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu hồ nước là 978.53 978.53 978.53
2. Định lí sin trong tam giác
a) Cho tam giác A B C ABC A B C B C = a BC = a B C = a A C = b AC = b A C = b A B = c AB = c A B = c R R R B D BD B D
i) Tính sin B D C ^ \sin \widehat{BDC} sin B D C a a a R R R
Lời giải:
Ta có B D C ^ = 90 ∘ \widehat{BDC} = 90^\circ B D C = 9 0 ∘
$$
\sin \widehat{BDC} = \sin 90^\circ = 1
$$
Ta lại có a sin A = 2 R \frac{a}{\sin A} = 2R s i n A a = 2 R
$$
\sin \widehat{BDC} = 1 = \frac{a}{2R}
$$
Kết quả: sin B D C ^ = a 2 R \sin \widehat{BDC} = \frac{a}{2R} sin B D C = 2 R a