Trang 76 — Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Bài tập

Bài 1

Giải tam giác ABCABC trong các trường hợp sau: a) a=17.4;B^=44∘30′;C^=64∘a = 17.4; \widehat{B} = 44^{\circ}30'; \widehat{C} = 64^{\circ}.

Lời giải:

Ta có A^=180∘−B^−C^=180∘−44∘30′−64∘=71∘30′\widehat{A} = 180^{\circ} - \widehat{B} - \widehat{C} = 180^{\circ} - 44^{\circ}30' - 64^{\circ} = 71^{\circ}30'.

Áp dụng định lý sin⁡\sin, ta có:

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C.\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.

Từ đó:

b=asin⁡Bsin⁡A=17.4sin⁡44∘30′sin⁡71∘30′≈12.9,c=asin⁡Csin⁡A=17.4sin⁡64∘sin⁡71∘30′≈16.5.\begin{aligned} b &= \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{17.4 \sin 44^{\circ}30'}{\sin 71^{\circ}30'} \approx 12.9, \\ c &= \frac{a \sin C}{\sin A} = \frac{17.4 \sin 64^{\circ}}{\sin 71^{\circ}30'} \approx 16.5. \end{aligned}

Kết quả: b≈12.9;c≈16.5;A^=71∘30′b \approx 12.9; c \approx 16.5; \widehat{A} = 71^{\circ}30'.

Bài 2

b) a=10;b=6;c=8a = 10; b = 6; c = 8.

Lời giải:

Áp dụng định lý \cosin\cosin, ta có:

cos⁡A=b2+c2−a22bc=62+82−1022⋅6⋅8=0  ⟹  A^=90∘.\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{6^2 + 8^2 - 10^2}{2 \cdot 6 \cdot 8} = 0 \implies \widehat{A} = 90^{\circ}.

Từ đó:

B^=arcsin⁡b2R=arcsin⁡610≈36∘52′,C^=180∘−90∘−36∘52′=53∘8′.\begin{aligned} \widehat{B} &= \arcsin \frac{b}{2R} = \arcsin \frac{6}{10} \approx 36^{\circ}52', \\ \widehat{C} &= 180^{\circ} - 90^{\circ} - 36^{\circ}52' = 53^{\circ}8'. \end{aligned}

Kết quả: A^=90∘;B^=36∘52′;C^=53∘8′\widehat{A} = 90^{\circ}; \widehat{B} = 36^{\circ}52'; \widehat{C} = 53^{\circ}8'.

Trang 76 —

Trang này không có BÀI TẬP / CÂU HỎI / LUYỆN TẬP / VÍ DỤ cần giải.

SKIP

Trang 78 — Giải Toán 10

Bài 1. Giải tam giác ABCABC trong các trường hợp sau:
a) AB=14,AC=23,A^=125∘AB = 14, AC = 23, \widehat{A} = 125^\circ;

Lời giải:
Sử dụng định lý sin trong tam giác:
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$
và
$$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A $$

a) AB=14,AC=23,A^=125∘AB = 14, AC = 23, \widehat{A} = 125^\circ

  • AB=c=14AB = c = 14, AC=b=23AC = b = 23, A^=125∘\widehat{A} = 125^\circ.
  • Áp dụng định lý sin: BCsin⁡125∘=14sin⁡B=23sin⁡C\frac{BC}{\sin 125^\circ} = \frac{14}{\sin B} = \frac{23}{\sin C}

  1. Tính B^\widehat{B}:

    \sin B = \frac{14 \sin B}{BC} \quad \text{và} \quad \sin C = \frac{23 \sin C}{BC} $$ Nhưng ta có thể dùng công thức:

    BC^2 = 14^2 + 23^2 - 2 \cdot 14 \cdot 23 \cdot \cos 125^\circ $$

    BC^2 = 196 + 529 - 644 \cdot (-0.5736) $$

    BC^2 = 725 + 369.51 = 1094.51 $$
    $$ BC = \sqrt{1094.51} \approx 33.07 $$

  2. Tính B^\widehat{B} và C^\widehat{C}:

    \sin B = \frac{23 \sin 125^\circ}{33.07} \approx \frac{23 \cdot 0.8192}{33.07} \approx 0.5697 $$

    \widehat{B} = \arcsin(0.5697) \approx 34.7^\circ $$

    C^=180∘−125∘−34.7∘=20.3∘\widehat{C} = 180^\circ - 125^\circ - 34.7^\circ = 20.3^\circ

Kết quả: BC≈33.07BC \approx 33.07, B^≈34.7∘\widehat{B} \approx 34.7^\circ, C^≈20.3∘\widehat{C} \approx 20.3^\circ

b) BC=22,B^=64∘,C^=38∘BC = 22, \widehat{B} = 64^\circ, \widehat{C} = 38^\circ;

Lời giải:
$$ \widehat{A} = 180^\circ - 64^\circ - 38^\circ = 78^\circ $$
$$ \frac{AB}{\sin 38^\circ} = \frac{22}{\sin 78^\circ} \implies AB = \frac{22 \sin 38^\circ}{\sin 78^\circ} \approx \frac{22 \cdot 0.6157}{0.9781} \approx 13.86 $$
$$ \frac{AC}{\sin 64^\circ} = \frac{22}{\sin 78^\circ} \implies AC = \frac{22 \sin 64^\circ}{\sin 78^\circ} \approx \frac{22 \cdot 0.8988}{0.9781} \approx 20.23 $$

Kết quả: AB≈13.86AB \approx 13.86, AC≈20.23AC \approx 20.23

c) AC=22,B^=120∘,C^=28∘AC = 22, \widehat{B} = 120^\circ, \widehat{C} = 28^\circ;

Lời giải:
$$ \widehat{A} = 180^\circ - 120^\circ - 28^\circ = 32^\circ $$
$$ \frac{AB}{\sin 28^\circ} = \frac{22}{\sin 120^\circ} \implies AB = \frac{22 \sin 28^\circ}{\sin 120^\circ} \approx \frac{22 \cdot 0.4695}{0.866} \approx 11.93 $$
$$ \frac{BC}{\sin 32^\circ} = \frac{22}{\sin 120^\circ} \implies BC = \frac{22 \sin 32^\circ}{\sin 120^\circ} \approx \frac{22 \cdot 0.5299}{0.866} \approx 13.46 $$

Kết quả: AB≈11.93AB \approx 11.93, BC≈13.46BC \approx 13.46

d) AB=23,AC=32,BC=44AB = 23, AC = 32, BC = 44.

Lời giải:
$$ \cos A = \frac{23^2 + 32^2 - 44^2}{2 \cdot 23 \cdot 32} = \frac{529 + 1024 - 1936}{1472} = \frac{-383}{1472} \approx -0.260 $$
$$ \widehat{A} = \arccos(-0.260) \approx 105.1^\circ $$
$$ \widehat{B} = \arcsin\left(\frac{44 \sin 105.1^\circ}{23}\right) \approx 64.9^\circ $$
$$ \widehat{C} = 180^\circ - 105.1^\circ - 64.9^\circ = 10^\circ $$

Kết quả: A^≈105.1∘\widehat{A} \approx 105.1^\circ, B^≈64.9∘\widehat{B} \approx 64.9^\circ, C^≈10∘\widehat{C} \approx 10^\circ

Bài 2. Để lắp đường dây điện cao thế từ vị trí AA đến vị trí BB, do phải tránh một ngọn núi nên người ta phải nối đường dây từ vị trí AA đến vị trí CC dài 1010 km, sau đó nối đường dây từ vị trí CC đến vị trí BB dài 88 km. Góc tạo bởi hai đoạn dây ACAC và CBCB là 70∘70^\circ. Tính chiều dài tăng thêm vì không thể nối trực tiếp từ AA đến BB.

Lời giải:
$$ AB^2 = 10^2 + 8^2 - 2 \cdot 10 \cdot 8 \cdot \cos 70^\circ $$
$$ AB^2 = 100 + 64 - 160 \cdot 0.342 = 164 - 54.72 = 109.28 $$
$$ AB = \sqrt{109.28} \approx 10.46 $$
Chiều dài tăng thêm:
$$ 10 + 8 - 10.46 = 7.54 \text{ km} $$

Kết quả: 7.547.54 km

Bài 3. Một người đứng cách thân một cái quạt gió 1616 m và nhìn thấy tâm của cánh quạt với góc nâng 56.5∘56.5^\circ (Hình 8). Tính khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất. Cho biết khoảng cách từ mắt của người đó đến mặt đất là 1.51.5 m.

Lời giải:
$$ \tan 56.5^\circ = \frac{h}{16} \implies h = 16 \tan 56.5^\circ \approx 16 \cdot 1.5 = 24 \text{ m} $$
$$ h_{\text{tâm đến đất}} = 24 - 1.5 = 22.5 \text{ m} $$

Kết quả: 22.522.5 m

Trang 79 — Bài tập cuối chương IV

Bài 1

Bài 1. Cho tam giác ABCABC. Biết a=49,4;b=26,4;C^=47∘20′a = 49,4; b = 26,4; \widehat{C} = 47^\circ20'. Tính hai góc A^,B^\widehat{A}, \widehat{B} và cạnh cc.

Lời giải:

Ta có thể sử dụng định lý Cosine để tìm cạnh cc:

$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) $$

Thay số:

c2=49,42+26,42−2⋅49,4⋅26,4⋅cos⁡(47∘20′)c2≈2443,36+696,96−2606,592⋅0,682c2≈3140,32−1777,69c2≈1362,63c≈1362,63≈36,9\begin{aligned} c^2 &= 49,4^2 + 26,4^2 - 2 \cdot 49,4 \cdot 26,4 \cdot \cos(47^\circ20') \\ c^2 &\approx 2443,36 + 696,96 - 2606,592 \cdot 0,682 \\ c^2 &\approx 3140,32 - 1777,69 \\ c^2 &\approx 1362,63 \\ c &\approx \sqrt{1362,63} \approx 36,9 \end{aligned}

Tiếp theo, sử dụng định lý Sine để tìm góc A^\widehat{A}:

asin⁡(A)=csin⁡(C)\frac{a}{\sin(A)} = \frac{c}{\sin(C)} ⇒sin⁡(A)=asin⁡(C)c\Rightarrow \sin(A) = \frac{a \sin(C)}{c}

Thay số:

sin⁡(A)=49,4⋅sin⁡(47∘20′)36,9≈49,4⋅0,73336,9≈36,236,9≈0,981⇒A≈arcsin⁡(0,981)≈78,5∘\begin{aligned} \sin(A) &= \frac{49,4 \cdot \sin(47^\circ20')}{36,9} \\ &\approx \frac{49,4 \cdot 0,733}{36,9} \\ &\approx \frac{36,2}{36,9} \\ &\approx 0,981 \\ \Rightarrow A &\approx \arcsin(0,981) \approx 78,5^\circ \end{aligned}

Từ đó:

B^=180∘−A^−C^≈180∘−78,5∘−47,33∘≈54,17∘\widehat{B} = 180^\circ - \widehat{A} - \widehat{C} \approx 180^\circ - 78,5^\circ - 47,33^\circ \approx 54,17^\circ

Kết quả: A^≈78,5∘;B^≈54,17∘;c≈36,9\widehat{A} \approx 78,5^\circ; \widehat{B} \approx 54,17^\circ; c \approx 36,9.

Bài 2

Bài 2. Cho tam giác ABCABC. Biết a=24,b=13,c=15a = 24, b = 13, c = 15. Tính các góc A^,B^,C^\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C}.

Lời giải:

Sử dụng định lý Cosine để tìm A^\widehat{A}:

cos⁡(A)=b2+c2−a22bc\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

Thay số:

cos⁡(A)=132+152−2422⋅13⋅15=169+225−576390=−182390≈−0,467⇒A≈arccos⁡(−0,467)≈118∘\begin{aligned} \cos(A) &= \frac{13^2 + 15^2 - 24^2}{2 \cdot 13 \cdot 15} \\ &= \frac{169 + 225 - 576}{390} \\ &= \frac{-182}{390} \\ &\approx -0,467 \\ \Rightarrow A &\approx \arccos(-0,467) \approx 118^\circ \end{aligned}

Từ đó:

B^=arccos⁡(a2+c2−b22ac)=arccos⁡(242+152−1322⋅24⋅15)≈28,4∘\widehat{B} = \arccos\left(\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\right) = \arccos\left(\frac{24^2 + 15^2 - 13^2}{2 \cdot 24 \cdot 15}\right) \approx 28,4^\circ C^=180∘−A^−B^≈180∘−118∘−28,4∘≈33,6∘\widehat{C} = 180^\circ - \widehat{A} - \widehat{B} \approx 180^\circ - 118^\circ - 28,4^\circ \approx 33,6^\circ

Kết quả: A^≈118∘;B^≈28,4∘;C^≈33,6∘\widehat{A} \approx 118^\circ; \widehat{B} \approx 28,4^\circ; \widehat{C} \approx 33,6^\circ.

Bài 3

Bài 3. Cho tam giác ABCABC có a=8,b=10,c=13a = 8, b = 10, c = 13.

a. Tam giác ABCABC có góc tù không?

Lời giải:

Xét cos⁡(C)=a2+b2−c22ab\cos(C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

cos⁡(C)=82+102−1322⋅8⋅10=64+100−169160=−5160=−0,03125<0\begin{aligned} \cos(C) &= \frac{8^2 + 10^2 - 13^2}{2 \cdot 8 \cdot 10} \\ &= \frac{64 + 100 - 169}{160} \\ &= \frac{-5}{160} = -0,03125 < 0 \end{aligned}

Vì cos⁡(C)<0\cos(C) < 0 thì C^\widehat{C} là góc tù.

Kết quả: Có.

b. Tính độ dài trung tuyến AMAM, diện tích tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Lời giải:

  • Độ dài trung tuyến AMAM:
AM2=2AB2+2AC2−BC24AM^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4} AM2=2(82+102)−1324=2(64+100)−1694=328−1694=1594⇒AM≈39,75≈6,3\begin{aligned} AM^2 &= \frac{2(8^2 + 10^2) - 13^2}{4} \\ &= \frac{2(64 + 100) - 169}{4} \\ &= \frac{328 - 169}{4} \\ &= \frac{159}{4} \\ \Rightarrow AM &\approx \sqrt{39,75} \approx 6,3 \end{aligned}
  • Diện tích tam giác:

Sử dụng công thức Heron:

p=a+b+c2=8+10+132=15,5p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{8 + 10 + 13}{2} = 15,5 S=p(p−a)(p−b)(p−c)≈15,5⋅7,5⋅5,5⋅2,5≈31,2S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \approx \sqrt{15,5 \cdot 7,5 \cdot 5,5 \cdot 2,5} \approx 31,2
  • Bán kính đường tròn ngoại tiếp:
R=abc4S=8⋅10⋅134⋅31,2≈8,3R = \frac{abc}{4S} = \frac{8 \cdot 10 \cdot 13}{4 \cdot 31,2} \approx 8,3

Kết quả: AM≈6,3;S≈31,2;R≈8,3AM \approx 6,3; S \approx 31,2; R \approx 8,3.

c. Lấy điểm DD đối xứng với AA qua CC. Tính độ dài BDBD.

Lời giải:

BD2=BC2+CD2−2⋅BC⋅CD⋅cos⁡(BCD^)=132+82−2⋅13⋅8⋅cos⁡(180∘−C^)=169+64+208⋅cos⁡(C^)=233+208⋅(−0,03125)=233−6,5=226,5⇒BD≈226,5≈15\begin{aligned} BD^2 &= BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\widehat{BCD}) \\ &= 13^2 + 8^2 - 2 \cdot 13 \cdot 8 \cdot \cos(180^\circ - \widehat{C}) \\ &= 169 + 64 + 208 \cdot \cos(\widehat{C}) \\ &= 233 + 208 \cdot (-0,03125) \\ &= 233 - 6,5 \\ &= 226,5 \\ \Rightarrow BD &\approx \sqrt{226,5} \approx 15 \end{aligned}

Kết quả: BD≈15BD \approx 15.