Trang 87 — Chương 5

Bài 6

Gọi OO là tâm hình lục giác đều ABCDEFABCDEF.

a) Tìm các vecto khác vecto 0→\overrightarrow{0} và cùng hướng với vecto OA→\overrightarrow{OA}.

b) Tìm các vecto bằng vecto AB→\overrightarrow{AB}.

Lời giải:

Ta có hình minh họa $$ \begin{array}{c} \includegraphics{image.png} \end{array} $$

a) Các vecto khác vecto 0→\overrightarrow{0} và cùng hướng với vecto OA→\overrightarrow{OA} là: BC→,EF→,DO→,AD→,FE→,CB→,OD→.\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{EF}, \overrightarrow{DO}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{FE}, \overrightarrow{CB}, \overrightarrow{OD}.

b) Các vecto bằng vecto AB→\overrightarrow{AB} là: ED→,FO→,OC→.\overrightarrow{ED}, \overrightarrow{FO}, \overrightarrow{OC}.

Kết quả: BC→,EF→,DO→,AD→,FE→,CB→,OD→;ED→,FO→,OC→\boxed{\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{EF}, \overrightarrow{DO}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{FE}, \overrightarrow{CB}, \overrightarrow{OD}; \overrightarrow{ED}, \overrightarrow{FO}, \overrightarrow{OC}}

Bài 7

Tìm các lực cùng hướng và ngược hướng trong số các lực đẩy được biểu diễn bằng các vecto trong Hình 18.

Lời giải:

Dựa vào hình vẽ, ta có

  • Các lực cùng hướng: a→\overrightarrow{a} và b→.\overrightarrow{b}.
  • Các lực ngược hướng: c→\overrightarrow{c} và d→.\overrightarrow{d}.

Kết quả: a→,b→;c→,d→\boxed{\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}; \overrightarrow{c}, \overrightarrow{d}}

Trang 88 — Bài 2. Tổng và hiệu của hai vectơ

Luyện tập

Luyện tập 1. Cho hình bình hành ABCDABCD với tâm OO. Hãy viết các vectơ AB→+AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} và AB→−AD→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}.

Lời giải: Ta có: AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} (theo quy tắc hình bình hành).

Vì OO là tâm của hình bình hành ABCDABCD nên OO là trung điểm của ACAC. Do đó, AC→=2AO→\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AO}.

Vậy AB→+AD→=2AO→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AO}.

Lại có: AB→−AD→=DB→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}.

Vậy AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} và AB→−AD→=DB→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}.

Kết quả: AB→+AD→=AC→;AB→−AD→=DB→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}; \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}.

Trang 89 — Bài 2. Tổng và hiệu của hai vectơ

Luyện tập

Luyện tập 2. Cho tứ giác ABCDABCD. Gọi E,F,G,HE, F, G, H lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB,BC,CD,DAAB, BC, CD, DA. Trong mỗi trường hợp sau, hãy tìm một phép cộng vectơ tương ứng:

a) AB→+BC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC};

b) AD→+DC→\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC};

c) AB→+AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}.

Lời giải:

a) Vì E,FE, F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB,BCAB, BC nên EFEF là đường trung bình của △ABC\triangle ABC, do đó EF→=12AC→\overrightarrow{EF} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} và EF∥ACEF \parallel AC.

Ta có: AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.

Mà AC→=2EF→\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{EF}.

Vậy AB→+BC→=2EF→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{EF}.

b) Vì G,HG, H lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng CD,DACD, DA nên GHGH là đường trung bình của △ADC\triangle ADC, do đó GH→=12AC→\overrightarrow{GH} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} và GH∥ACGH \parallel AC.

Ta có: AD→+DC→=AC→\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}.

Mà AC→=2GH→\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{GH}.

Vậy AD→+DC→=2GH→\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{GH}.

c) Vì E,HE, H lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB,ADAB, AD nên EHEH là đường trung bình của △ABD\triangle ABD, do đó EH→=12BD→\overrightarrow{EH} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BD} và EH∥BDEH \parallel BD.

Ta có: AB→+AD→=AE→+EB→+AH→+HD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HD}.

=(AE→+AH→)+(EB→+HD→)= \left(\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AH}\right) + \left(\overrightarrow{EB} + \overrightarrow{HD}\right).

=AH→+EB→=2EH→= \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{EB} = 2\overrightarrow{EH}.

Vậy AB→+AD→=2EH→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{EH}.

Kết quả: a) AB→+BC→=2EF→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{EF};

b) AD→+DC→=2GH→\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{GH};

c) AB→+AD→=2EH→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{EH}.

Trang 90 —

Vídụ 1

Cho các điểm E,F,G,H,KE, F, G, H, K. Thực hiện các phép cộng vector: EF→+FH→;FK→+KG→;EH→+HE→\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FH}; \overrightarrow{FK} + \overrightarrow{KG}; \overrightarrow{EH} + \overrightarrow{HE}.

Lời giải: Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có: EF→+FH→=EH→\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FH} = \overrightarrow{EH}; FK→+KG→=FG→\overrightarrow{FK} + \overrightarrow{KG} = \overrightarrow{FG}; EH→+HE→=EE→=0→\overrightarrow{EH} + \overrightarrow{HE} = \overrightarrow{EE} = \overrightarrow{0}.

Vídụ 2

Tìm tổng của hai vector a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} trong Hình 6.

Lời giải: Ta có: a→=AB→,b→=AD→\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{b}=\overrightarrow{AD}, suy ra a→+b→=AB→+AD→\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}.

Vậy a→+b→=AC→\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{AC}.

Chú ý

Để áp dụng quy tắc hình bình hành, ta cần đưa bài toán tìm tổng hai vector về bài toán tìm tổng của hai vector có chung điểm đầu.

Bài tập

  1. Cho hình thang ABCDABCD có hai cạnh đáy là ABAB và DCDC. Cho biết a→=AC→+CB→;b→=DB→+BC→\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}; \overrightarrow{b} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BC}. Chứng minh hai vector a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} cùng hướng.

Lời giải: Ta có a→=AC→+CB→=AB→\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} và b→=DB→+BC→=DC→\overrightarrow{b} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DC}.

Lại có

  • ABCDABCD là hình thang có ABAB và DCDC là hai cạnh đáy ⇒AB∥DC\Rightarrow AB \parallel DC và AB<DCAB < DC.

⇒AB→\Rightarrow \overrightarrow{AB} và DC→\overrightarrow{DC} cùng hướng.

Vậy a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} cùng hướng.

  1. Cho tam giác đều ABCABC có cạnh bằng aa. Tìm độ dài của vector AB→+AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}.

Lời giải: Gọi DD là trung điểm của BCBC.

⇒AD⊥BC\Rightarrow AD \perp BC và BD=DC=BC2=a2BD = DC = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}.

Áp dụng định lý Pythagoras vào tam giác ADBADB vuông tại DD, ta có AD2+BD2=AB2AD^2 + BD^2 = AB^2 ⇒AD=AB2−BD2=a2−(a2)2=a2−a24=3a24=a32\Rightarrow AD = \sqrt{AB^2-BD^2} = \sqrt{a^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \dfrac{a^2}{4}} = \sqrt{\dfrac{3a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}.

Lại có AB→+AC→=AD→+DB→+AD→+DC→=2AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{AD}.

⇒∣AB→+AC→∣=∣2AD→∣=2AD=2⋅a32=a3\Rightarrow \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right| = \left| 2\overrightarrow{AD} \right| = 2AD = 2 \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}.

Kết quả: a3a\sqrt{3}

Trang 91 — Vectơ

Bài 1. Một máy bay có vecto vận tốc chỉ theo hướng bắc, vận tốc gió là một vecto theo hướng đông như Hình 7. Tính độ dài vecto tổng của hai vecto nói trên.

Lời giải: Vecto vận tốc của máy bay: vmb→=150 km/h\overrightarrow{v_{mb}} = 150\,\text{km/h} (theo hướng bắc). Vecto vận tốc của gió: vg→=30 km/h\overrightarrow{v_g} = 30\,\text{km/h} (theo hướng đông).

Độ lớn của vecto tổng là: $$ \begin{aligned} |\overrightarrow{v_{mb}} + \overrightarrow{v_g}| &= \sqrt{|\overrightarrow{v_{mb}}|^2 + |\overrightarrow{v_g}|^2} \ &= \sqrt{150^2 + 30^2} \ &= \sqrt{22500 + 900} \ &= \sqrt{23400} \ &= 153,\text{km/h}. \end{aligned} $$

Kết quả: 153 km/h153\,\text{km/h}.

Bài 2. Hai người cùng kéo một con thuyền với hai lực F1→=OA→, F2→=OB→\overrightarrow{F_1} = \overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{F_2} = \overrightarrow{OB} có độ lớn lần lượt là 400 N400\,\text{N}, 600 N600\,\text{N} (Hình 8). Cho biết góc giữa hai vecto là 60∘60^\circ. Tìm độ lớn của vecto hợp lực F→\overrightarrow{F} là tổng của hai lực F1→\overrightarrow{F_1} và F2→\overrightarrow{F_2}.

Lời giải: Độ lớn của vecto hợp lực F→\overrightarrow{F} là: $$ \begin{aligned} |\overrightarrow{F}| &= \sqrt{|\overrightarrow{F_1}|^2 + |\overrightarrow{F_2}|^2 + 2|\overrightarrow{F_1}||\overrightarrow{F_2}|\cos(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2})} \ &= \sqrt{400^2 + 600^2 + 2\cdot 400\cdot 600\cdot \cos 60^\circ} \ &= \sqrt{160000 + 360000 + 240000} \ &= \sqrt{760000} \ &= 872,\text{N}. \end{aligned} $$

Kết quả: 872 N872\,\text{N}.

Bài 3. Cho ba vecto a→\overrightarrow{a}, b→\overrightarrow{b}, c→\overrightarrow{c} được biểu diễn như Hình 9. Hãy hoàn thành các phép cộng vecto sau và so sánh các kết quả tìm được: a) a→+b→=AB→+BC→=\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} =
b→+a→=AE→+EC→=\overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EC} = b) (a→+b→)+c→=(AB→+BC→)+CD→=(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{CD} =
a→+(b→+c→)=AB→+(BC→+CD→)=\overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}) =

Lời giải: a) Dựa vào hình vẽ ta có:

  • a→+b→=AB→+BC→=AC→\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC},
  • b→+a→=AE→+EC→=AC→\overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EC} = \overrightarrow{AC}.

b) Dựa vào hình vẽ ta có:

  • (a→+b→)+c→=(AB→+BC→)+CD→=AD→,(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD},
  • a→+(b→+c→)=AB→+(BC→+CD→)=AD→.\overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}) = \overrightarrow{AD}.

Kết quả: AC→=AC→=AD→=AD→.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AD}.

Ví dụ 3. Cho tứ giác ABCD.ABCD. Thực hiện các phép cộng vecto sau: a) (AB→+CA→)+BC→;(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}) + \overrightarrow{BC}; b) AB→+CD→+BC→+DA→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA}.

Lời giải: a) Ta có: $$ \begin{aligned} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}) + \overrightarrow{BC} &= (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}) + \overrightarrow{BC} \ &= \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC} \ &= \overrightarrow{0}. \end{aligned} $$

b) Ta có: $$ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA} &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} \ &= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} \ &= \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA} \ &= \overrightarrow{0}. \end{aligned} $$

Kết quả: 0→=0→.\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}.