Trang 92 —

Trang này có các phần lý thuyết và ví dụ về hiệu của hai vectơ, không có bài tập cụ thể cần giải.

Tuy nhiên, có thể tóm tắt và giải thích lại một số phần quan trọng bằng Markdown và LaTeX như sau:

3. Hiệu của hai vectơ

Cho hai vectơ a⃗\vec{a} và b⃗\vec{b}. Hiệu của hai vectơ a⃗\vec{a} và b⃗\vec{b} là vectơ a⃗+(−b⃗)\vec{a} + (-\vec{b}) và kí hiệu a⃗−b⃗\vec{a} - \vec{b}.

Ví dụ 4

Cho các điểm M,N,P,QM, N, P, Q. Thực hiện các phép trừ vectơ sau: MN→−PN→;PM→−PQ→\overrightarrow{MN} - \overrightarrow{PN}; \overrightarrow{PM} - \overrightarrow{PQ}.

Lời giải:

Ta có:

MN→−PN→=MN→+NP→=MP→;\overrightarrow{MN} - \overrightarrow{PN} = \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MP};

PM→−PQ→=PM→+QP→=QP→+PM→=QM→.\overrightarrow{PM} - \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PM} + \overrightarrow{QP} = \overrightarrow{QP} + \overrightarrow{PM} = \overrightarrow{QM}.

Kết quả: MP→;QM→\overrightarrow{MP}; \overrightarrow{QM}

Trang này không có bài tập cụ thể cần giải, chủ yếu là phần lý thuyết và ví dụ minh họa.

Vậy, câu trả lời cuối cùng là:

SKIP

Trang 93 — Tính chất vecto của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

Phần 4. Tính chất vecto của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

Luyện tập

Luyện tập. Cho hình vuông ABCDABCD có cạnh bằng 11 và một điểm OO tùy ý. Tính độ dài của các vecto sau:

a) a→=OB→−OD→\overrightarrow{a} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OD};

b) b→=(OC→−OA→)+(DB→−DC→)\overrightarrow{b} = (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}) + (\overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DC}).

Lời giải:

a) Ta có: a→=OB→−OD→=DB→\overrightarrow{a} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{DB}.

Do hình vuông ABCDABCD có cạnh bằng 11 nên ∣DB→∣=12+12=2.|\overrightarrow{DB}| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}.

Vậy ∣a→∣=2.|\overrightarrow{a}|= \sqrt{2}.

b) Ta có: b→=(OC→−OA→)+(DB→−DC→)=AC→+CB→=AB→.\overrightarrow{b} = (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}) + (\overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DC}) = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}.

Mà ∣AB→∣=1|\overrightarrow{AB}|=1 nên ∣b→∣=1.|\overrightarrow{b}|=1.

Kết quả: 2,1.\sqrt{2}, 1.

Phần 4. Tính chất vecto của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

Ví dụ 5

Cho tứ giác ABCDABCD có I,JI, J lần lượt là trung điểm của AB,CDAB, CD và OO là trung điểm của IJIJ. Chứng minh OA→+OB→+OC→+OD→=0→\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}.

Lời giải:

Do I,J,OI, J, O lần lượt là trung điểm của AB,CDAB, CD và IJIJ nên:

IA→+IB→=0→;JC→+JD→=0→;OI→+OJ→=0→.\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}; \overrightarrow{JC} + \overrightarrow{JD} = \overrightarrow{0}; \overrightarrow{OI} + \overrightarrow{OJ} = \overrightarrow{0}.

Ta có: OA→+OB→+OC→+OD→=(OI→+IA→)+(OI→+IB→)+(OJ→+JC→)+(OJ→+JD→)\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = (\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{IA}) + (\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{IB}) + (\overrightarrow{OJ} + \overrightarrow{JC}) + (\overrightarrow{OJ} + \overrightarrow{JD}) =2OI→+2OJ→+(IA→+IB→)+(JC→+JD→)=2(OI→+OJ→)=0→.= 2\overrightarrow{OI} + 2\overrightarrow{OJ} + (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}) + (\overrightarrow{JC} + \overrightarrow{JD}) = 2(\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{OJ}) = \overrightarrow{0}.

Kết quả: 0→.\overrightarrow{0}.

Trang 94 — Chương Vecto

Bài 1. Cho hình bình hành ABCDABCD có OO là giao điểm hai đường chéo và một điểm MM tùy ý. Chứng minh rằng:

a) BA→+DC→=0→\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0};

Lời giải:

a) Vì ABCDABCD là hình bình hành nên AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}.

Suy ra BA→=−AB→=−DC→\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{DC}, do đó BA→+DC→=0→\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}.

Kết quả: 0→\overrightarrow{0}

Bài 1 (tiếp).

b) MA→+MC→=MB→+MD→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}.

Lời giải:

b) Ta có:

MA→+MC→=MB→+BA→+MD→+DC→=MB→+MD→+BA→+DC→=MB→+MD→+BA→+AB→=MB→+MD→\begin{aligned} \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} &= \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DC}\\ &= \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DC} \\ &= \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB} \\ &= \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD} \end{aligned}

Kết quả: MA→+MC→=MB→+MD→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}

Bài 2. Cho tứ giác ABCDABCD, thực hiện các phép cộng và trừ vecto sau:

a) AB→+BC→+CD→+DA→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA};

Lời giải:

a) Ta có:

AB→+BC→+CD→+DA→=AC→+CD→+DA→=AD→+DA→=AD→−AD→=0→\begin{aligned} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} &= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} \\ &= \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA} \\ &= \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AD} \\ &= \overrightarrow{0} \end{aligned}

Kết quả: 0→\overrightarrow{0}

Bài 2 (tiếp).

b) AB→−AD→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD};

Lời giải:

b) Ta có: AB→−AD→=DB→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}.

Kết quả: DB→\overrightarrow{DB}

Bài 2 (tiếp).

c) CB→−CD→\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CD}.

Lời giải:

c) Ta có: CB→−CD→=DB→\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DB}.

Kết quả: DB→\overrightarrow{DB}

Bài 3. Cho tam giác đều ABCABC cạnh bằng aa. Tính độ dài của các vector:

a) BA→+AC→\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC};

Lời giải:

a) Ta có: BA→+AC→=BC→\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}.

Do đó ∣BA→+AC→∣=BC=a|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}| = BC = a.

Kết quả: aa

Bài 3 (tiếp).

b) AB→+AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC};

Lời giải:

b) Gọi DD là điểm sao cho ABDCABDC là hình bình hành.

Khi đó AB→+AC→=AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}.

Do AB=AC=aAB = AC = a và BAC^=60∘\widehat{BAC} = 60^\circ nên ABDCABDC là hình thoi.

Từ đó suy ra AD=2AH=2⋅32a=3aAD = 2AH = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a = \sqrt{3} a.

Vậy ∣AB→+AC→∣=3a|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{3} a.

Kết quả: 3a\sqrt{3} a

Bài 3 (tiếp).

c) BA→−BC→\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC}.

Lời giải:

c) Ta có: BA→−BC→=CA→\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}.

Do đó ∣BA→−BC→∣=CA=a|\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC}| = CA = a.

Kết quả: aa

Bài 4. Cho hình bình hành ABCDABCD có OO là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh rằng:

a) OA→−OB→=OD→−OC→\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC};

Lời giải:

a) Ta có:

OA→−OB→=BA→=CD→=OD→−OC→\begin{aligned} \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} &= \overrightarrow{BA} \\ &= \overrightarrow{CD} \\ &= \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC} \end{aligned}

Kết quả: OA→−OB→=OD→−OC→\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}

Bài 4 (tiếp).

b) OA→−OB→+DC→=0→\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}.

Lời giải:

b) Ta có:

OA→−OB→+DC→=BA→+DC→=CD→+DC→=0→\begin{aligned} \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{DC} &= \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DC} \\ &= \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DC} \\ &= \overrightarrow{0} \end{aligned}

Kết quả: 0→\overrightarrow{0}

Bài 5. Cho ba lực F1→=MA→\overrightarrow{F_1} = \overrightarrow{MA}, F2→=MB→\overrightarrow{F_2} = \overrightarrow{MB} và F3→=MC→\overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{MC} cùng tác động vào một vật tại điểm MM và vật đứng yên. Cho biết cường độ của F1→\overrightarrow{F_1}, F2→\overrightarrow{F_2} đều là 10 N10\ \text{N} và AMB^=90∘\widehat{AMB} = 90^\circ. Tính độ lớn của lực F3→\overrightarrow{F_3}.

Lời giải:

Ta có: F1→+F2→+F3→=0→\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{0}.

Từ đó F3→=−(F1→+F2→)\overrightarrow{F_3} = - (\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}).

Do AMB^=90∘\widehat{AMB} = 90^\circ nên ∣F1→+F2→∣=∣F1→∣2+∣F2→∣2=102+102=102|\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}| = \sqrt{|\overrightarrow{F_1}|^2 + |\overrightarrow{F_2}|^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2}.

Vậy ∣F3→∣=102|\overrightarrow{F_3}| = 10\sqrt{2}.

Kết quả: 102 N10\sqrt{2}\ \text{N}

Trang 95 — Tích của một số với một vecto

Bài tập:

1.

Cho tam giác ABCABC có M,NM, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,ACAB, AC (Hình 2). Tìm trong hình các vecto bằng:

2MN→;−12AB→;−2CN→.2\overrightarrow{MN}; -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}; -2\overrightarrow{CN}.

Lời giải:

Ta có:

  • AB→+BM→=AM→=MB→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}, do đó MB→=12CB→\overrightarrow{MB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CB}.

Theo tính chất trung điểm, ta có:

  • MN→=12BC→\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.

Từ đó:

  • 2MN→=BC→2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BC}.

Ta có:

  • −12AB→=BM→=MA→-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{MA}.

Ta lại có:

  • −2CN→=AC→-2\overrightarrow{CN} = \overrightarrow{AC}.

Kết quả:

  • 2MN→=BC→2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BC}.
  • −12AB→=BM→=MA→-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{MA}.
  • −2CN→=AC→-2\overrightarrow{CN} = \overrightarrow{AC}.