Giải Toán 10 Bài 1 Mệnh đề - Kết nối tri thức

Bài 1. Mệnh đề (SGK Toán 10 – Kết nối tri thức, Tập 1, trang 5–11)

A. Luyện tập trong bài

Luyện tập 1 (trang 6). Thay dấu "?" bằng dấu ✓ ở ô thích hợp trong bảng sau:

Câu	Không phải mệnh đề	Mệnh đề đúng
13 là số nguyên tố		✓
Bội của 2 là số chẵn		✓
Bạn đã học bài chưa?	✓
Thời tiết hôm nay thật đẹp	✓

Giải thích:

"13 là số nguyên tố": $13$ chỉ chia hết cho $1$ và $13$ , nên $13$ là số nguyên tố → mệnh đề đúng.
"Bội của 2 là số chẵn": Mọi bội của $2$ có dạng $2k$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ), tức là số chẵn → mệnh đề đúng.
"Bạn đã học bài chưa?": Câu hỏi, không thể xác định đúng/sai → không phải mệnh đề.
"Thời tiết hôm nay thật đẹp": Câu cảm thán mang tính chủ quan, không xác định được đúng/sai → không phải mệnh đề.

Luyện tập 2 (trang 7). Phát biểu mệnh đề phủ định $\overline{P}$ của mỗi mệnh đề $P$ và xác định tính đúng sai của $\overline{P}$ :

a) $P$ : " $17$ không phải là số chính phương."
b) $P$ : " $2022$ chia hết cho $5$ ."

Giải:

a) $P$ : " $17$ không phải là số chính phương" — đúng (vì $\sqrt{17}$ là số vô tỉ, không phải số nguyên).

$\overline{P}: \text{"17 là số chính phương"} \quad \Rightarrow \text{sai.}$

b) $P$ : " $2022$ chia hết cho $5$ " — sai (vì $2022 = 5 \times 404 + 2$ , dư $2$ ).

$\overline{P}: \text{"2022 không chia hết cho 5"} \quad \Rightarrow \text{đúng.}$

Luyện tập 3 (trang 8). Cho mệnh đề $P \Rightarrow Q$ :

$P$ : "Hình bình hành $ABCD$ có hai đường chéo bằng nhau."
$Q$ : "Hình bình hành $ABCD$ là hình chữ nhật."

Phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và xác định tính đúng sai.

Giải:

$P \Rightarrow Q$ : "Nếu hình bình hành $ABCD$ có hai đường chéo bằng nhau thì $ABCD$ là hình chữ nhật."

Mệnh đề này đúng, vì trong hình bình hành, hai đường chéo bằng nhau là dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.

Mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$ : "Nếu hình bình hành $ABCD$ là hình chữ nhật thì $ABCD$ có hai đường chéo bằng nhau."

Mệnh đề đảo cũng đúng (tính chất của hình chữ nhật).

Kết luận: Cả $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đều đúng, nên $P \Leftrightarrow Q$ là mệnh đề đúng.

Luyện tập 4 (trang 9). Cho tam giác $ABCD$ (tứ giác):

$P$ : "Tứ giác $ABCD$ có tổng số đo hai góc đối bằng $180°$ ."
$Q$ : "Tứ giác $ABCD$ là tứ giác nội tiếp đường tròn."

Phát biểu mệnh đề đảo của $P \Rightarrow Q$ và xác định tính đúng sai.

Giải:

$P \Rightarrow Q$ : "Nếu tứ giác $ABCD$ có tổng số đo hai góc đối bằng $180°$ thì $ABCD$ là tứ giác nội tiếp đường tròn." → Đúng (định lí).

Mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$ : "Nếu tứ giác $ABCD$ là tứ giác nội tiếp đường tròn thì tổng số đo hai góc đối bằng $180°$ ." → Đúng (định lí đảo).

Luyện tập 5 (trang 10). Phát biểu điều kiện đủ và điều kiện cần đủ giữa hai mệnh đề:

$P$ : " $n$ chia hết cho $2$ ."
$Q$ : " $n$ là số chẵn." (với $n \in \mathbb{N}$ )

Giải:

Điều kiện đủ để $Q$ : " $n$ chia hết cho $2$ là điều kiện đủ để $n$ là số chẵn."
(tức là $P \Rightarrow Q$ , đúng).
Điều kiện cần đủ: " $n$ chia hết cho $2$ khi và chỉ khi $n$ là số chẵn."
( $P \Leftrightarrow Q$ , đúng vì $n$ chẵn $\Leftrightarrow$ $n = 2k$ $\Leftrightarrow$ $n \vdots 2$ ).

Luyện tập 6 (trang 11). Xét mệnh đề:

$P: \forall\, n \in \mathbb{N},\; n^2 \geq n.$

a) Phát biểu mệnh đề $P$ bằng lời.
b) Xác định tính đúng sai của $P$ .

Giải:

a) $P$ : "Với mọi số tự nhiên $n$ , ta có $n^2 \geq n$ ."

b) Xét hiệu $n^2 - n = n(n-1)$ .

Với $n \geq 1$ : $n \geq 1$ và $n - 1 \geq 0$ nên $n(n-1) \geq 0$ , tức $n^2 \geq n$ ✓
Với $n = 0$ : $0^2 = 0 \geq 0$ ✓

Vậy $P$ đúng với mọi $n \in \mathbb{N}$ .

B. Bài tập (trang 11–12)

Bài 1.1. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?

a) Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới;
b) Bạn học trường nào?
c) Không được làm việc riêng trong giờ học;
d) Tôi sẽ sút bóng vào lưới.

Lời giải:

a) "Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới" — Câu khẳng định có thể xác định đúng/sai → là mệnh đề. (Mệnh đề đúng, Trung Quốc có dân số lớn nhất thế giới.)

b) "Bạn học trường nào?" — Câu hỏi, không thể xác định đúng/sai → không phải mệnh đề.

c) "Không được làm việc riêng trong giờ học" — Câu mệnh lệnh/cấm đoán, không xác định được đúng/sai → không phải mệnh đề.

d) "Tôi sẽ sút bóng vào lưới" — Câu hứa hẹn về tương lai, không thể xác định ngay đúng/sai → không phải mệnh đề.

Kết quả: Chỉ có câu a) là mệnh đề.

Bài 1.2. Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau:

a) $1 < \dfrac{10}{3}$ ;
b) Phương trình $2x + 7 = 0$ có nghiệm;
c) Có ít nhất một số cộng với chính nó bằng $0$ ;
d) $2022$ là hợp số.

Lời giải:

a) $\dfrac{10}{3} \approx 3{,}33 > 1$ , nên $1 < \dfrac{10}{3}$ → đúng.

b) Phương trình $2x + 7 = 0$ có nghiệm $x = -\dfrac{7}{2}$ → đúng.

c) Lấy $x = 0$ : $0 + 0 = 0$ → tồn tại số $0$ cộng với chính nó bằng $0$ → đúng.

d) $2022 = 2 \times 1011 = 2 \times 3 \times 337$ , có ước nguyên dương khác $1$ và chính nó, nên $2022$ là hợp số → đúng.

Kết quả: Tất cả bốn mệnh đề đều đúng.

Bài 1.3. Cho hai câu:

$P$ : "Tam giác $ABC$ là tam giác vuông."
$Q$ : "Tam giác $ABC$ có một góc bằng tổng hai góc còn lại."

Phát biểu mệnh đề tương đương $P \Leftrightarrow Q$ và xác định tính đúng sai.

Lời giải:

$P \Leftrightarrow Q$ : "Tam giác $ABC$ là tam giác vuông khi và chỉ khi tam giác $ABC$ có một góc bằng tổng hai góc còn lại."

Chứng minh $P \Leftrightarrow Q$ đúng:

Trong tam giác $ABC$ : $\angle A + \angle B + \angle C = 180°$ .

( $P \Rightarrow Q$ ): Nếu $\angle A = 90°$ thì $\angle B + \angle C = 90° = \angle A$ . Vậy $Q$ đúng.
( $Q \Rightarrow P$ ): Nếu $\angle A = \angle B + \angle C$ , thay vào tổng: $\angle A + \angle A = 180°$ , suy ra $\angle A = 90°$ . Vậy $P$ đúng.

Kết quả: $P \Leftrightarrow Q$ là mệnh đề đúng.

Bài 1.4. Phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề sau và xác định tính đúng sai của mệnh đề đảo:

$P$ : "Nếu số tự nhiên $n$ chia hết cho $2$ và $n$ chia hết cho $3$ thì $n$ chia hết cho $6$ ."
$Q$ : "Nếu tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật thì $ABCD$ có hai đường chéo bằng nhau."

Lời giải:

Mệnh đề đảo của P:

$P'$ : "Nếu $n$ chia hết cho $6$ thì $n$ chia hết cho $2$ và $n$ chia hết cho $3$ ."

$P'$ đúng: $n \vdots 6 \Rightarrow n = 6k$ ( $k \in \mathbb{N}$ ) $\Rightarrow n = 2 \cdot (3k)$ nên $n \vdots 2$ ; $n = 3 \cdot (2k)$ nên $n \vdots 3$ .

Mệnh đề đảo của Q:

$Q'$ : "Nếu tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo bằng nhau thì $ABCD$ là hình chữ nhật."

$Q'$ sai: hình thang cân cũng có hai đường chéo bằng nhau nhưng không phải hình chữ nhật (là phản ví dụ).

Kết quả: Mệnh đề đảo $P'$ đúng; mệnh đề đảo $Q'$ sai.

Bài 1.5. Với hai số thực $a$ và $b$ , xét các mệnh đề:

$P$ : " $a > b$ ."
$Q$ : " $a - b > 0$ ."

a) Phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$ .
b) Phát biểu mệnh đề đảo của $P \Rightarrow Q$ .
c) Xác định tính đúng sai của mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và mệnh đề đảo của nó.

Lời giải:

a) $P \Rightarrow Q$ : "Nếu $a > b$ thì $a - b > 0$ ."

b) Mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$ : "Nếu $a - b > 0$ thì $a > b$ ."

$P \Rightarrow Q$ đúng: $a > b \Leftrightarrow a - b > 0$ (tính chất bất đẳng thức).
$Q \Rightarrow P$ đúng: $a - b > 0 \Leftrightarrow a > b$ .

Vậy $P \Leftrightarrow Q$ là mệnh đề đúng: " $a > b$ khi và chỉ khi $a - b > 0$ ."

Kết quả: Cả $P \Rightarrow Q$ và mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$ đều đúng.

Bài 1.6. Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau:

a) $Q$ : " $\exists\, n \in \mathbb{N},\; n \text{ chia hết cho } (n+1)$ ."

Lời giải:

Mệnh đề $Q$ phát biểu: "Tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho $n$ chia hết cho $n + 1$ ."

$n \vdots (n+1)$ nghĩa là $(n+1)$ là ước của $n$ . Vì $n+1 > n \geq 0$ , nên $n+1$ chỉ có thể là ước của $n$ khi $n = 0$ (vì $1 \mid 0$ ).

Kiểm tra: $n = 0$ : $n + 1 = 1$ , và $0 \vdots 1$ ✓ (mọi số đều chia hết cho $1$ ).

Vậy mệnh đề $Q$ đúng (chứng minh bằng ví dụ $n = 0$ ).

Kết quả: $Q$ đúng.

Bài 1.7. Dùng ký hiệu $\forall$ , $\exists$ để viết các mệnh đề sau:

a) "Mọi số tự nhiên đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng chính nó."
b) "Có một số cộng với chính nó bằng $0$ ."

Lời giải:

a) Mệnh đề phát biểu: $\forall n \in \mathbb{N}$ , bình phương của $n$ không nhỏ hơn $n$ .

$\forall\, n \in \mathbb{N},\; n^2 \geq n.$

Xác định tính đúng sai: $n^2 - n = n(n-1) \geq 0$ với mọi $n \in \mathbb{N}$ (vì $n \geq 0$ và $n - 1 \geq -1$ , nhưng với $n \in \mathbb{N}$ : $n = 0 \Rightarrow 0$ ; $n \geq 1 \Rightarrow n(n-1) \geq 0$ ). Mệnh đề đúng.

b) Mệnh đề phát biểu: tồn tại $x$ sao cho $x + x = 0$ .

$\exists\, x \in \mathbb{R},\; x + x = 0.$

Xác định tính đúng sai: $x + x = 2x = 0 \Rightarrow x = 0$ . Lấy $x = 0$ thì $0 + 0 = 0$ ✓. Mệnh đề đúng.

Kết quả: Cả hai mệnh đề đều đúng.