Bài 12. Số gần đúng và sai số (SGK Toán 10 – Kết nối tri thức, Tập 1, trang 73–78)

Tóm tắt lý thuyết

Số gần đúng: Khi đo đạc hoặc tính toán, kết quả nhận được thường chỉ là số gần đúng aa của số đúng aˉ\bar{a}.

Sai số tuyệt đối:

Δa=∣a−aˉ∣.\Delta_a = |a - \bar{a}|.

Độ chính xác dd: Nếu Δa≤d\Delta_a \leq d thì aa là số gần đúng của aˉ\bar{a} với độ chính xác dd, viết aˉ≈a\bar{a} \approx a.

Sai số tương đối:

δa=Δa∣aˉ∣×100%.\delta_a = \frac{\Delta_a}{|\bar{a}|} \times 100\%.

Sai số tương đối càng nhỏ, phép đo càng chính xác.

Quy tròn số gần đúng:

  • Xác định vị trí hàng cần quy tròn.
  • Nếu chữ số ngay sau nhỏ hơn 5: giữ nguyên chữ số cần quy tròn (bỏ phần sau).
  • Nếu chữ số ngay sau ≥ 5: tăng chữ số cần quy tròn lên 1 (bỏ phần sau).
  • Sai số tuyệt đối sau quy tròn ≤12\leq \dfrac{1}{2} đơn vị hàng quy tròn.

A. Luyện tập trong bài

Luyện tập 1 (trang 75). Chiều cao của đỉnh Everest đo được là 8,8488{,}848 m, sai số tuyệt đối của phép đo là Δa≤0,1\Delta_a \leq 0{,}1 m. Hãy viết kết quả theo cách ghi số gần đúng với độ chính xác.

Giải:

aˉ≈8848 m,Δa≤0,1 m.\bar{a} \approx 8848 \text{ m}, \quad \Delta_a \leq 0{,}1 \text{ m}.

Viết: a=8848a = 8848 m với độ chính xác d=0,1d = 0{,}1 m.

Luyện tập 2 (trang 75). Trong hình 5.1, bao gạo cân nặng 5±0,25 \pm 0{,}2 kg. Giá trị đúng của khối lượng là bao nhiêu?

Giải:

Ghi 5±0,25 \pm 0{,}2 kg có nghĩa là aˉ∈[5−0,2;  5+0,2]=[4,8;  5,2]\bar{a} \in [5-0{,}2;\;5+0{,}2] = [4{,}8;\;5{,}2] kg.

Số gần đúng là a=5a = 5 kg, độ chính xác d=0,2d = 0{,}2 kg.

Luyện tập 3 (trang 77). Tính sai số tương đối của số gần đúng a=3,574,625a = 3{,}574{,}625 với Δa=50,000\Delta_a = 50{,}000.

Giải:

δa=Δa∣a∣×100%=500003574625×100%≈1,4%.\delta_a = \frac{\Delta_a}{|a|} \times 100\% = \frac{50000}{3574625} \times 100\% \approx 1{,}4\%.

Luyện tập 4 (trang 78). Hãy giải thích tại sao sai số tương đối thường được dùng để đánh giá độ chính xác thay vì sai số tuyệt đối.

Giải:

Sai số tương đối cho biết tỉ lệ phần trăm sai số so với giá trị thực, không phụ thuộc đơn vị đo. Ví dụ: sai số 11 m khi đo chiều cao 22 m (50%) là rất lớn, nhưng sai số 11 m khi đo khoảng cách 10001000 km (0,0001%) là rất nhỏ. Sai số tương đối phản ánh đúng mức độ chính xác hơn.

B. Bài tập (trang 78)

Bài 5.1. Trong các số sau, những số nào là số gần đúng?

π\pi; 2\sqrt{2}; 3,143{,}14; 1,4141{,}414; Chiều cao đỉnh Everest 88488848 m; Tốc độ ánh sáng 3×1083 \times 10^8 m/s.

Lời giải:

Số gần đúng (là kết quả đo đạc/làm tròn): 3,143{,}14 (xấp xỉ π\pi); 1,4141{,}414 (xấp xỉ 2\sqrt{2}); chiều cao 88488848 m; tốc độ 3×1083 \times 10^8 m/s.

Số đúng (chính xác): π\pi và 2\sqrt{2} là số thực vô tỉ chính xác (không phải số gần đúng tự thân, nhưng khi viết thập phân hữu hạn thì trở thành gần đúng).

Lưu ý: π\pi và 2\sqrt{2} là các giá trị toán học chính xác; 3,143{,}14 và 1,4141{,}414 là số gần đúng của chúng.

Bài 5.2. Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời mất 365,25365{,}25 ngày (số gần đúng). Hãy tính sai số tuyệt đối nếu ta lấy 365365 ngày, và tìm sai số tương đối.

Lời giải:

a=365a = 365 ngày; aˉ=365,25\bar{a} = 365{,}25 ngày.

Δa=∣365−365,25∣=0,25 ngaˋy.\Delta_a = |365 - 365{,}25| = 0{,}25 \text{ ngày}.

δa=0,25365,25×100%≈0,068%.\delta_a = \frac{0{,}25}{365{,}25} \times 100\% \approx 0{,}068\%.

Bài 5.3. Sử dụng máy tính tính 2\sqrt{2} với độ chính xác 0,00010{,}0001. Tính sai số tuyệt đối và sai số tương đối của số gần đúng a=1,4142a = 1{,}4142.

Lời giải:

Giá trị đúng (đến 6 chữ số): 2≈1,414 214\sqrt{2} \approx 1{,}414\,214.

Δa=∣1,4142−1,414 214∣=0,000 014<0,0001.✓\Delta_a = |1{,}4142 - 1{,}414\,214| = 0{,}000\,014 < 0{,}0001. \quad ✓

δa=0,000 0141,414×100%≈0,001%.\delta_a = \frac{0{,}000\,014}{1{,}414} \times 100\% \approx 0{,}001\%.

Bài 5.4. An tính chu vi hình tròn bán kính 22 cm, lấy π≈3,14\pi \approx 3{,}14: C1=2×3,14×2=12,56C_1 = 2 \times 3{,}14 \times 2 = 12{,}56 cm. Bình lấy π≈3,12\pi \approx 3{,}12: C2=12,48C_2 = 12{,}48 cm. Kết quả nào gần đúng hơn?

Lời giải:

Chu vi chính xác: C=2π×2=4π≈12,566C = 2\pi \times 2 = 4\pi \approx 12{,}566 cm.

ΔC1=∣12,56−12,566∣=0,006 cm.\Delta_{C_1} = |12{,}56 - 12{,}566| = 0{,}006 \text{ cm}.

ΔC2=∣12,48−12,566∣=0,086 cm.\Delta_{C_2} = |12{,}48 - 12{,}566| = 0{,}086 \text{ cm}.

ΔC1<ΔC2\Delta_{C_1} < \Delta_{C_2} → kết quả của An gần đúng hơn.

Bài 5.5. An và Bình tính diện tích hình tròn bán kính 22 cm:

An: S1=π×22≈3,14×4=12,56S_1 = \pi \times 2^2 \approx 3{,}14 \times 4 = 12{,}56 cm²
Bình: S2≈3,12×4=12,48S_2 \approx 3{,}12 \times 4 = 12{,}48 cm²

Hỏi kết quả nào có sai số tuyệt đối nhỏ hơn?

Lời giải:

S=π×4≈12,566S = \pi \times 4 \approx 12{,}566 cm².

ΔS1=∣12,56−12,566∣≈0,006 cm2.\Delta_{S_1} = |12{,}56 - 12{,}566| \approx 0{,}006 \text{ cm}^2. ΔS2=∣12,48−12,566∣≈0,086 cm2.\Delta_{S_2} = |12{,}48 - 12{,}566| \approx 0{,}086 \text{ cm}^2.

Kết quả của An (S1=12,56S_1 = 12{,}56) có sai số tuyệt đối nhỏ hơn.

Bài 5.6. Làm tròn 8 316,48\,316{,}4 đến hàng chục và 9 7549\,754 đến hàng phần trăm. Tính sai số tuyệt đối sau quy tròn.

Lời giải:

Làm tròn 8 316,48\,316{,}4 đến hàng chục:

Chữ số hàng đơn vị là 6≥56 \geq 5 → tăng hàng chục lên: 8 3208\,320.

Δa=∣8 316,4−8 320∣=3,6.\Delta_a = |8\,316{,}4 - 8\,320| = 3{,}6.

(Sai số ≤12×10=5\leq \dfrac{1}{2} \times 10 = 5 ✓)

Làm tròn 9 7549\,754 đến hàng phần trăm:

Đây là số nguyên nên hàng phần trăm là 00; giá trị giữ nguyên 9 754,009\,754{,}00.

Δa=0.\Delta_a = 0.

Chú ý: Nếu đề là làm tròn 9 754,09\,754{,}0 đến hàng phần trăm thì a=9 754,00a = 9\,754{,}00, Δa=0\Delta_a = 0.