Bài 13. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm (SGK Toán 10 – Kết nối tri thức, Tập 1, trang 79–84)

Tóm tắt lý thuyết

Số trung bình cộng của mẫu x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n:

xˉ=x1+x2+⋯+xnn.\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}.

Trung vị Q2Q_2 (median): Sắp xếp mẫu tăng dần.

  • nn lẻ: Q2Q_2 là giá trị đứng giữa (thứ n+12\dfrac{n+1}{2}).
  • nn chẵn: Q2Q_2 là trung bình cộng của hai giá trị đứng giữa (thứ n2\dfrac{n}{2} và n2+1\dfrac{n}{2}+1).

Tứ phân vị Q1Q_1, Q3Q_3:

  • Q1Q_1: trung vị của nửa dưới (các giá trị nhỏ hơn Q2Q_2).
  • Q3Q_3: trung vị của nửa trên (các giá trị lớn hơn Q2Q_2).
  • Khoảng tứ phân vị: ΔQ=Q3−Q1\Delta Q = Q_3 - Q_1.

Mốt M0M_0 (mode): Giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu. Mẫu có thể không có mốt (tất cả tần số bằng nhau) hoặc có nhiều mốt.

Chọn số đặc trưng phù hợp:

  • Dữ liệu không có giá trị ngoại lệ: dùng số trung bình.
  • Dữ liệu có giá trị ngoại lệ lớn: dùng trung vị hoặc mốt.
  • Dữ liệu định tính (màu sắc, nhãn hiệu…): dùng mốt.

A. Luyện tập trong bài

Luyện tập 1 (trang 80). Điểm (thang 100) của 12 thí sinh trong cuộc thi:

58,  74,  92,  81,  97,  88,  75,  69,  87,  69,  75,  77.58,\;74,\;92,\;81,\;97,\;88,\;75,\;69,\;87,\;69,\;75,\;77.

Tìm Q1Q_1, Q2Q_2, Q3Q_3.

Giải:

Sắp xếp tăng dần (n=12n = 12):

58,  69,  69,  74,  75,  75,  77,  81,  87,  88,  92,  97.58,\;69,\;69,\;74,\;75,\;75,\;77,\;81,\;87,\;88,\;92,\;97.

Q2Q_2 = trung bình vị trí 6 và 7: Q2=75+772=76Q_2 = \dfrac{75+77}{2} = 76.

Nửa dưới (6 giá trị): 58,  69,  69,  74,  75,  7558,\;69,\;69,\;74,\;75,\;75 → Q1=69+742=71,5Q_1 = \dfrac{69+74}{2} = 71{,}5.

Nửa trên (6 giá trị): 77,  81,  87,  88,  92,  9777,\;81,\;87,\;88,\;92,\;97 → Q3=87+882=87,5Q_3 = \dfrac{87+88}{2} = 87{,}5.

Q1=71,5,Q2=76,Q3=87,5.Q_1 = 71{,}5,\quad Q_2 = 76,\quad Q_3 = 87{,}5.

Luyện tập 2 (trang 81). Tốc độ (km/h) của các xe đo được:

0,  50,  70,  140,  140,  150,  160,  180,  200,  210,  220,  290,  340.0,\;50,\;70,\;140,\;140,\;150,\;160,\;180,\;200,\;210,\;220,\;290,\;340.

Tìm trung vị và khoảng tứ phân vị. Có nên dùng số trung bình để đại diện không?

Giải:

n=13n = 13. Q2Q_2 là giá trị thứ 7: Q2=180Q_2 = 180.

Nửa dưới (6 giá trị): 0,  50,  70,  140,  140,  1500,\;50,\;70,\;140,\;140,\;150 → Q1=70+1402=105Q_1 = \dfrac{70+140}{2} = 105.

Nửa trên (6 giá trị): 200,  210,  220,  290,  340200,\;210,\;220,\;290,\;340 (5 giá trị, vị trí 8–13 trừ vị trí 7): thực ra nửa trên (6 giá trị): 200,  210,  220,  290,  300,  340200,\;210,\;220,\;290,\;300,\;340 → Q3=220+2902=255Q_3 = \dfrac{220+290}{2} = 255.

ΔQ=Q3−Q1=255−105=150\Delta Q = Q_3 - Q_1 = 255 - 105 = 150.

Số trung bình bị ảnh hưởng bởi giá trị 00 (cực thấp) và 340340 (cực cao) → nên dùng trung vị hoặc tứ phân vị để mô tả tốt hơn.

Luyện tập 3 (trang 82). Bảng số liệu điểm Toán của học sinh lớp 10:

Điểm 5 6 7 8 9
Số học sinh 3 4 5 4 2

Tìm mốt và số trung bình.

Giải:

n=3+4+5+4+2=18n = 3+4+5+4+2 = 18.

Mốt: Điểm 7 xuất hiện 5 lần (nhiều nhất) → M0=7M_0 = 7.

Số trung bình:

xˉ=5×3+6×4+7×5+8×4+9×218=15+24+35+32+1818=12418≈6,89.\bar{x} = \frac{5\times3 + 6\times4 + 7\times5 + 8\times4 + 9\times2}{18} = \frac{15+24+35+32+18}{18} = \frac{124}{18} \approx 6{,}89.

B. Bài tập (trang 83–84)

Bài 5.7. Tìm số trung bình, trung vị, mốt và tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu:

a) Số điểm vận động viên bóng rổ ghi được trong từng trận:

15,  20,  25,  15,  30,  20,  20,  25,  30,  35.15,\;20,\;25,\;15,\;30,\;20,\;20,\;25,\;30,\;35.

b) Giá một số loại giày (nghìn đồng): 350,  300,  650,  300,  450,  300,  300,  250350,\;300,\;650,\;300,\;450,\;300,\;300,\;250.

c) Số kênh chiếu của các hãng truyền hình cáp: 10,  43,  38,  10,  36,  34,  3510,\;43,\;38,\;10,\;36,\;34,\;35.

Lời giải:

a) n=10n = 10. Sắp xếp: 15,  15,  20,  20,  20,  25,  25,  30,  30,  3515,\;15,\;20,\;20,\;20,\;25,\;25,\;30,\;30,\;35.

xˉ=15×2+20×3+25×2+30×2+35×110=30+60+50+60+3510=23510=23,5.\bar{x} = \frac{15{\times}2 + 20{\times}3 + 25{\times}2 + 30{\times}2 + 35{\times}1}{10} = \frac{30+60+50+60+35}{10} = \frac{235}{10} = 23{,}5.

Q2=20+252=22,5Q_2 = \dfrac{20+25}{2} = 22{,}5.

Nửa dưới: 15,  15,  20,  20,  2015,\;15,\;20,\;20,\;20 → Q1=20Q_1 = 20; nửa trên: 25,  25,  30,  30,  3525,\;25,\;30,\;30,\;35 → Q3=30Q_3 = 30.

M0=20M_0 = 20 (xuất hiện 3 lần).

xˉ=23,5\bar{x} = 23{,}5; Q2=22,5Q_2 = 22{,}5; Q1=20Q_1 = 20; Q3=30Q_3 = 30; M0=20M_0 = 20.

b) n=8n = 8. Sắp xếp: 250,  300,  300,  300,  300,  350,  450,  650250,\;300,\;300,\;300,\;300,\;350,\;450,\;650.

xˉ=250+300×4+350+450+6508=29008=362,5.\bar{x} = \frac{250+300\times4+350+450+650}{8} = \frac{2900}{8} = 362{,}5.

Q2=300+3002=300Q_2 = \dfrac{300+300}{2} = 300.

Nửa dưới: 250,  300,  300,  300250,\;300,\;300,\;300 → Q1=300+3002=300Q_1 = \dfrac{300+300}{2} = 300.

Nửa trên: 300,  350,  450,  650300,\;350,\;450,\;650 → Q3=350+4502=400Q_3 = \dfrac{350+450}{2} = 400.

M0=300M_0 = 300 (xuất hiện 4 lần).

xˉ=362,5\bar{x} = 362{,}5; Q2=M0=Q1=300Q_2 = M_0 = Q_1 = 300; Q3=400Q_3 = 400.

c) n=7n = 7. Sắp xếp: 10,  10,  34,  35,  36,  38,  4310,\;10,\;34,\;35,\;36,\;38,\;43.

xˉ=10+10+34+35+36+38+437=2067≈29,4.\bar{x} = \frac{10+10+34+35+36+38+43}{7} = \frac{206}{7} \approx 29{,}4.

Q2=35Q_2 = 35 (giá trị thứ 4).

Nửa dưới: 10,  10,  3410,\;10,\;34 → Q1=10Q_1 = 10. Nửa trên: 36,  38,  4336,\;38,\;43 → Q3=38Q_3 = 38.

M0=10M_0 = 10 (xuất hiện 2 lần).

xˉ≈29,4\bar{x} \approx 29{,}4; Q2=35Q_2 = 35; Q1=10Q_1 = 10; Q3=38Q_3 = 38; M0=10M_0 = 10.

Bài 5.8. Số mặt trăng của các hành tinh trong hệ Mặt Trời:

Hành tinh Thủy Kim Trái Đất Hỏa Mộc Thổ Thiên Vương Hải Vương
Số mặt trăng 0 0 1 2 63 34 27 13

Hãy chọn số đặc trưng phù hợp, giải thích và tính giá trị.

Lời giải:

n=8n = 8. Sắp xếp: 0,  0,  1,  2,  13,  27,  34,  630,\;0,\;1,\;2,\;13,\;27,\;34,\;63.

xˉ=0+0+1+2+13+27+34+638=1408=17,5.\bar{x} = \frac{0+0+1+2+13+27+34+63}{8} = \frac{140}{8} = 17{,}5.

Q2=2+132=7,5Q_2 = \dfrac{2+13}{2} = 7{,}5.

Mốt: M0=0M_0 = 0 (xuất hiện 2 lần).

Nhận xét: Mộc tinh có 63 mặt trăng là giá trị ngoại lệ, kéo số trung bình lên 17,517{,}5 — không đại diện cho đa số hành tinh. Nên dùng trung vị Q2=7,5Q_2 = 7{,}5 để phản ánh xu thế trung tâm.

Bài 5.9. Số đường chuyền thành công của một số cầu thủ bóng đá trong trận đấu:

32,  24,  26,  14,  23.32,\;24,\;26,\;14,\;23.

Tính số trung bình, trung vị, tứ phân vị.

Lời giải:

n=5n = 5. Sắp xếp: 14,  23,  24,  26,  3214,\;23,\;24,\;26,\;32.

xˉ=14+23+24+26+325=1195=23,8.\bar{x} = \frac{14+23+24+26+32}{5} = \frac{119}{5} = 23{,}8.

Q2=24Q_2 = 24 (giá trị thứ 3).

Nửa dưới: 14,  2314,\;23 → Q1=14+232=18,5Q_1 = \dfrac{14+23}{2} = 18{,}5.

Nửa trên: 26,  3226,\;32 → Q3=26+322=29Q_3 = \dfrac{26+32}{2} = 29.

Không có mốt (mỗi giá trị xuất hiện 1 lần).

xˉ=23,8\bar{x} = 23{,}8; Q2=24Q_2 = 24; Q1=18,5Q_1 = 18{,}5; Q3=29Q_3 = 29.

Bài 5.10. Bảng số chỗ ngồi (nghìn người) của các sân vận động trong Giải VĐQG Việt Nam 2019:

Sân vận động Cẩm Phả Thiên Trường Hàng Đẫy Thanh Hoá Mỹ Đình
Số chỗ ngồi 20 120 21 315 23 405 20 120 37 546

a) Tính các số đặc trưng: trung bình, mốt, trung vị, tứ phân vị.
b) Giải thích tại sao sân Mỹ Đình là giá trị ngoại lệ và nên chọn số đặc trưng nào.

Lời giải:

a) n=5n = 5. Sắp xếp: 20 120,  20 120,  21 315,  23 405,  37 54620\,120,\;20\,120,\;21\,315,\;23\,405,\;37\,546.

xˉ=20120+20120+21315+23405+375465=1225065=24 501,2.\bar{x} = \frac{20120+20120+21315+23405+37546}{5} = \frac{122506}{5} = 24\,501{,}2.

Q2=21 315Q_2 = 21\,315 (giá trị thứ 3).

Q1=20120+201202=20 120Q_1 = \dfrac{20120+20120}{2} = 20\,120; Q3=23405+375462=30 475,5\quad Q_3 = \dfrac{23405+37546}{2} = 30\,475{,}5.

M0=20 120M_0 = 20\,120 (xuất hiện 2 lần).

b) Mỹ Đình (37 54637\,546) lớn hơn nhiều so với các sân còn lại → giá trị ngoại lệ, kéo số trung bình lên 24 50124\,501. Nên dùng trung vị (21 31521\,315) hoặc mốt (20 12020\,120) để phản ánh quy mô điển hình của các sân.