Giải Toán 10 Bài 3 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn - Kết nối

Bài 3. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn (SGK Toán 10 – Kết nối tri thức, Tập 1, trang 22–26)

A. Luyện tập trong bài

Luyện tập 1 (trang 23). Trong tình huống mở đầu: gọi $x$ là số vé loại 1 bán được và $y$ là số vé loại 2 bán được.

a) Các số nguyên không âm $x$ và $y$ phải thỏa mãn điều kiện gì để số tiền bán vé đạt tối thiểu $20$ triệu đồng?
b) Hỏi các cặp $(0;\,200)$ , $(1;\,250)$ , $(100;\,100)$ có phải là nghiệm của bất phương trình không?

Giải:

a) Mỗi vé loại 1 giá $50\,000$ đồng, vé loại 2 giá $100\,000$ đồng. Tổng thu $\geq 20$ triệu đồng:

$50\,000x + 100\,000y \geq 20\,000\,000 \;\Leftrightarrow\; 50x + 100y \geq 20\,000 \;\Leftrightarrow\; x + 2y \geq 400.$

Điều kiện: $x \geq 0$ , $y \geq 0$ (số vé không âm).

b) Thay vào $x + 2y \geq 400$ :

$(0;\,200)$ : $0 + 2 \times 200 = 400 \geq 400$ ✓ → là nghiệm.
$(1;\,250)$ : $1 + 2 \times 250 = 501 \geq 400$ ✓ → là nghiệm.
$(100;\,100)$ : $100 + 200 = 300 < 400$ ✗ → không phải nghiệm.

Luyện tập 2 (trang 25). Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $2x + y \leq 200$ trên mặt phẳng tọa độ.

Giải:

Bước 1. Vẽ đường thẳng $d$ : $2x + y = 200$ .
Hai điểm trên $d$ : $(0;\,200)$ và $(100;\,0)$ .

Bước 2. Lấy điểm kiểm tra $O(0;\,0)$ : $2 \times 0 + 0 = 0 \leq 200$ ✓ → $O$ thuộc miền nghiệm.

Kết luận: Miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ, bị chặn bởi đường thẳng $d$ (kể cả đường thẳng $d$ vì dấu $\leq$ ).

$\text{Miền nghiệm: } \{(x;\,y) \mid 2x + y \leq 200\}.$

B. Bài tập (trang 26)

Bài 2.1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) $2x - 3y < 0$ ; b) $2x^2 + x - y = 0$ ; c) $2x^2 - y = 0$ ; d) $3x - y^2 = 1$ .

Lời giải:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by \lessgtr c$ (với $a, b$ không đồng thời bằng 0, và hệ số của $x$ , $y$ đều bậc 1).

a) $2x - 3y < 0$ : $a = 2$ , $b = -3$ , $c = 0$ . Hệ số bậc 1, không có $x^2$ hay $y^2$ → là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) $2x^2 + x - y = 0$ : Có $x^2$ → bậc 2 → không phải.

c) $2x^2 - y = 0$ : Có $x^2$ → bậc 2 → không phải.

d) $3x - y^2 = 1$ : Có $y^2$ → bậc 2, và đây là phương trình không phải bất phương trình → không phải.

Kết quả: Chỉ có a) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài 2.2. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

a) $3x - 2y \leq 0$ ; b) $7x - 20y < 0$ .

Lời giải:

a) Bất phương trình $3x - 2y \leq 0$ :

Vẽ đường thẳng $d_1$ : $3x - 2y = 0$ → đi qua $O(0;\,0)$ và $M(2;\,3)$ .
Lấy điểm kiểm tra $A(1;\,0)$ : $3 \times 1 - 2 \times 0 = 3 > 0$ → $A$ không thuộc miền nghiệm.
Miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa $(1;\,0)$ , kể cả đường thẳng $d_1$ .

Miền nghiệm: $\{(x;\,y) \mid 3x - 2y \leq 0\}$ = nửa mặt phẳng bên trái/trên của đường $3x - 2y = 0$ .

b) Bất phương trình $7x - 20y < 0$ :

Vẽ đường thẳng $d_2$ : $7x - 20y = 0$ → đi qua $O(0;\,0)$ và $N(20;\,7)$ .
Lấy điểm kiểm tra $B(1;\,0)$ : $7 \times 1 - 20 \times 0 = 7 > 0$ → $B$ không thuộc miền nghiệm.
Miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa $(1;\,0)$ , không kể đường thẳng $d_2$ (dấu $<$ nghiêm ngặt).

Bài 2.3. Ông An muốn thuê một chiếc ô tô trong một tuần. Giá thuê như sau:

	Phí cố định (nghìn đồng/ngày)	Phí theo đường (nghìn đồng/km)
Thứ Hai → Thứ Sáu (5 ngày)	900	5
Thứ Bảy và Chủ nhật (2 ngày)	1 500	10

Gọi $x$ (km) là quãng đường đi trong các ngày thứ Hai–Sáu và $y$ (km) là quãng đường đi trong hai ngày cuối tuần.

a) Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa $x$ và $y$ sao cho tổng số tiền ông An phải trả không quá $14$ triệu đồng.
b) Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

a) Tổng chi phí (nghìn đồng):

$\underbrace{5 \times 900}_{\text{phí cố định Th2-Sáu}} + \underbrace{5x}_{\text{quãng đường Th2-Sáu}} + \underbrace{2 \times 1500}_{\text{phí cố định cuối tuần}} + \underbrace{10y}_{\text{quãng đường cuối tuần}} \leq 14\,000.$

$4\,500 + 5x + 3\,000 + 10y \leq 14\,000$

$5x + 10y \leq 6\,500$

$\boxed{x + 2y \leq 1\,300.}$

Với điều kiện $x \geq 0$ , $y \geq 0$ .

b) Vẽ đường thẳng $d$ : $x + 2y = 1\,300$ .

Hai điểm trên $d$ : $(1300;\,0)$ và $(0;\,650)$ .

Lấy điểm $O(0;\,0)$ : $0 + 0 = 0 \leq 1300$ ✓ → $O$ thuộc miền nghiệm.

Miền nghiệm là tam giác $OAB$ với $A(1300;\,0)$ , $B(0;\,650)$ (phần nằm trong góc phần tư thứ nhất, dưới đường $d$ ).