Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác (SGK Toán 10 – Kết nối tri thức, Tập 1, trang 39–44)
Các công thức cần nhớ
Định lý cosin (tam giác A B C ABC A B C a , b , c a, b, c a , b , c A , B , C A, B, C A , B , C
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A , b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B , c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C . a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A, \quad b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B, \quad c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C. a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A , b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B , c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cos C .
cos A = b 2 + c 2 − a 2 2 b c , cos B = a 2 + c 2 − b 2 2 a c , cos C = a 2 + b 2 − c 2 2 a b . \cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}, \quad \cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}, \quad \cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}. cos A = 2 b c b 2 + c 2 − a 2 , cos B = 2 a c a 2 + c 2 − b 2 , cos C = 2 ab a 2 + b 2 − c 2 .
Định lý sin:
a sin A = b sin B = c sin C = 2 R , \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R, sin A a = sin B b = sin C c = 2 R ,
trong đó R R R
Diện tích tam giác:
S = 1 2 b c sin A = 1 2 a c sin B = 1 2 a b sin C . S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C. S = 2 1 b c sin A = 2 1 a c sin B = 2 1 ab sin C .
Công thức Heron:
S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) , p = a + b + c 2 . S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \quad p = \frac{a+b+c}{2}. S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) , p = 2 a + b + c .
A. Luyện tập trong bài
Luyện tập 1 (trang 39). Cho tam giác A B C ABC A B C A = 120 ° A = 120° A = 120° A B = 5 AB = 5 A B = 5
Tính B C BC B C A C = 8 AC = 8 A C = 8
Giải: Đặt a = B C a = BC a = B C b = A C = 8 b = AC = 8 b = A C = 8 c = A B = 5 c = AB = 5 c = A B = 5
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A = 64 + 25 − 2 ⋅ 8 ⋅ 5 ⋅ cos 120 ° . a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A = 64 + 25 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos120°. a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A = 64 + 25 − 2 ⋅ 8 ⋅ 5 ⋅ cos 120°.
= 89 − 80 ⋅ ( − 1 2 ) = 89 + 40 = 129. = 89 - 80 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 89 + 40 = 129. = 89 − 80 ⋅ ( − 2 1 ) = 89 + 40 = 129.
a = B C = 129 ≈ 11,36. a = BC = \sqrt{129} \approx 11{,}36. a = B C = 129 ≈ 11 , 36.
Luyện tập 2 (trang 40). Cho tam giác A B C ABC A B C a = 10 a = 10 a = 10 A B = 5 AB = 5 A B = 5 A C = 8 AC = 8 A C = 8
(Tương tự luyện tập giải tam giác từ ba cạnh)
Giải: Từ định lý cosin:
cos A = b 2 + c 2 − a 2 2 b c = 64 + 25 − 100 80 = − 11 80 ≈ − 0,138. \cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{64+25-100}{80} = \frac{-11}{80} \approx -0{,}138. cos A = 2 b c b 2 + c 2 − a 2 = 80 64 + 25 − 100 = 80 − 11 ≈ − 0 , 138.
A ≈ 97,9 ° . A \approx 97{,}9°. A ≈ 97 , 9°.
Tương tự tính B B B C C C
Luyện tập 3 (trang 40). Cho tam giác A B C ABC A B C b = c = 5 b = c = 5 b = c = 5 B = 80 ° B = 80° B = 80° R R R
Giải:
Tam giác cân (b = c b = c b = c B = C = 80 ° B = C = 80° B = C = 80° A = 180 ° − 80 ° − 80 ° = 20 ° A = 180° - 80° - 80° = 20° A = 180° − 80° − 80° = 20°
Bán kính ngoại tiếp: R = b 2 sin B = 5 2 sin 80 ° ≈ 5 2 × 0,985 ≈ 2,54. R = \dfrac{b}{2\sin B} = \dfrac{5}{2\sin80°} \approx \dfrac{5}{2 \times 0{,}985} \approx \mathbf{2{,}54}. R = 2 sin B b = 2 sin 80° 5 ≈ 2 × 0 , 985 5 ≈ 2 , 54 .
Luyện tập 4 (trang 41). Cho tam giác A B C ABC A B C a = 4 a = 4 a = 4 A = 60 ° A = 60° A = 60° B = 80 ° B = 80° B = 80° b b b c c c
Giải:
C = 180 ° − 60 ° − 80 ° = 40 ° C = 180° - 60° - 80° = 40° C = 180° − 60° − 80° = 40°
Dùng định lý sin: a sin A = b sin B = c sin C \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} sin A a = sin B b = sin C c
b = a sin B sin A = 4 sin 80 ° sin 60 ° = 4 × 0,985 0,866 ≈ 4,55. b = \frac{a\sin B}{\sin A} = \frac{4\sin80°}{\sin60°} = \frac{4 \times 0{,}985}{0{,}866} \approx \mathbf{4{,}55}. b = sin A a sin B = sin 60° 4 sin 80° = 0 , 866 4 × 0 , 985 ≈ 4 , 55 .
c = a sin C sin A = 4 sin 40 ° sin 60 ° = 4 × 0,643 0,866 ≈ 2,97. c = \frac{a\sin C}{\sin A} = \frac{4\sin40°}{\sin60°} = \frac{4 \times 0{,}643}{0{,}866} \approx \mathbf{2{,}97}. c = sin A a sin C = sin 60° 4 sin 40° = 0 , 866 4 × 0 , 643 ≈ 2 , 97 .
Luyện tập 5 (trang 41). Cho tam giác A B C ABC A B C a = 3 2 a = 3\sqrt{2} a = 3 2 A = 45 ° A = 45° A = 45° B = 87 ° B = 87° B = 87° b b b c c c
Giải:
C = 180 ° − 45 ° − 87 ° = 48 ° C = 180° - 45° - 87° = 48° C = 180° − 45° − 87° = 48°
b = a sin B sin A = 3 2 ⋅ sin 87 ° sin 45 ° = 3 2 × 0,9986 0,7071 ≈ 4,236 0,7071 ≈ 5,99 ≈ 6. b = \frac{a\sin B}{\sin A} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sin87°}{\sin45°} = \frac{3\sqrt{2} \times 0{,}9986}{0{,}7071} \approx \frac{4{,}236}{0{,}7071} \approx \mathbf{5{,}99} \approx 6. b = sin A a sin B = sin 45° 3 2 ⋅ sin 87° = 0 , 7071 3 2 × 0 , 9986 ≈ 0 , 7071 4 , 236 ≈ 5 , 99 ≈ 6.
c = a sin C sin A = 3 2 ⋅ sin 48 ° sin 45 ° = 3 2 × 0,7431 0,7071 ≈ 4,46. c = \frac{a\sin C}{\sin A} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sin48°}{\sin45°} = \frac{3\sqrt{2} \times 0{,}7431}{0{,}7071} \approx \mathbf{4{,}46}. c = sin A a sin C = sin 45° 3 2 ⋅ sin 48° = 0 , 7071 3 2 × 0 , 7431 ≈ 4 , 46 .
Luyện tập 6 (trang 42). Cho tam giác A B C ABC A B C A = 60 ° A = 60° A = 60° b = 4 b = 4 b = 4 c = 6 c = 6 c = 6 S S S
Giải:
S = 1 2 b c sin A = 1 2 × 4 × 6 × sin 60 ° = 12 × 3 2 = 6 3 ≈ 10,39. S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 \times \sin60° = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \mathbf{6\sqrt{3}} \approx 10{,}39. S = 2 1 b c sin A = 2 1 × 4 × 6 × sin 60° = 12 × 2 3 = 6 3 ≈ 10 , 39.
B. Bài tập (trang 42–44)
Bài 3.5. Cho tam giác A B C ABC A B C a = 6 a = 6 a = 6 b = 5 b = 5 b = 5 c = 8 c = 8 c = 8 cos A \cos A cos A S S S r r r
Lời giải:
Tính cos A \cos A cos A (định lý cosin):
cos A = b 2 + c 2 − a 2 2 b c = 25 + 64 − 36 2 × 5 × 8 = 53 80 . \cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{25+64-36}{2 \times 5 \times 8} = \frac{53}{80}. cos A = 2 b c b 2 + c 2 − a 2 = 2 × 5 × 8 25 + 64 − 36 = 80 53 .
Tính S S S (công thức Heron):
p = 6 + 5 + 8 2 = 19 2 , p − a = 7 2 , p − b = 9 2 , p − c = 3 2 . p = \frac{6+5+8}{2} = \frac{19}{2}, \quad p-a = \frac{7}{2},\; p-b = \frac{9}{2},\; p-c = \frac{3}{2}. p = 2 6 + 5 + 8 = 2 19 , p − a = 2 7 , p − b = 2 9 , p − c = 2 3 .
S = 19 2 ⋅ 7 2 ⋅ 9 2 ⋅ 3 2 = 19 × 7 × 9 × 3 16 = 1 4 3591 ≈ 14,98. S = \sqrt{\frac{19}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{19 \times 7 \times 9 \times 3}{16}} = \frac{1}{4}\sqrt{3591} \approx \mathbf{14{,}98}. S = 2 19 ⋅ 2 7 ⋅ 2 9 ⋅ 2 3 = 16 19 × 7 × 9 × 3 = 4 1 3591 ≈ 14 , 98 .
Tính r r r (bán kính nội tiếp r = S / p r = S/p r = S / p
r = S p = 14,98 9,5 ≈ 1,58. r = \frac{S}{p} = \frac{14{,}98}{9{,}5} \approx \mathbf{1{,}58}. r = p S = 9 , 5 14 , 98 ≈ 1 , 58 .
Kết quả: cos A = 53 80 \cos A = \dfrac{53}{80} cos A = 80 53 S ≈ 14,98 S \approx 14{,}98 S ≈ 14 , 98 r ≈ 1,58 r \approx 1{,}58 r ≈ 1 , 58
Bài 3.6. Cho tam giác A B C ABC A B C a = 10 a = 10 a = 10 A = 45 ° A = 45° A = 45° B = 70 ° B = 70° B = 70° R R R b b b c c c
Lời giải:
C = 180 ° − 45 ° − 70 ° = 65 ° C = 180° - 45° - 70° = 65° C = 180° − 45° − 70° = 65°
Bán kính ngoại tiếp:
R = a 2 sin A = 10 2 sin 45 ° = 10 2 = 5 2 ≈ 7,07. R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{10}{2\sin45°} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \approx \mathbf{7{,}07}. R = 2 sin A a = 2 sin 45° 10 = 2 10 = 5 2 ≈ 7 , 07 .
Tính b b b
b = 2 R sin B = 5 2 ⋅ sin 70 ° ≈ 7,07 × 0,940 ≈ 6,64. b = 2R\sin B = 5\sqrt{2} \cdot \sin70° \approx 7{,}07 \times 0{,}940 \approx \mathbf{6{,}64}. b = 2 R sin B = 5 2 ⋅ sin 70° ≈ 7 , 07 × 0 , 940 ≈ 6 , 64 .
Tính c c c
c = 2 R sin C = 5 2 ⋅ sin 65 ° ≈ 7,07 × 0,906 ≈ 6,41. c = 2R\sin C = 5\sqrt{2} \cdot \sin65° \approx 7{,}07 \times 0{,}906 \approx \mathbf{6{,}41}. c = 2 R sin C = 5 2 ⋅ sin 65° ≈ 7 , 07 × 0 , 906 ≈ 6 , 41 .
Kết quả: R = 5 2 ≈ 7,07 R = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07 R = 5 2 ≈ 7 , 07 b ≈ 6,64 b \approx 6{,}64 b ≈ 6 , 64 c ≈ 6,41 c \approx 6{,}41 c ≈ 6 , 41
Bài 3.7. Giải tam giác A B C ABC A B C A = 15 ° A = 15° A = 15° B = 130 ° B = 130° B = 130° c = 6 c = 6 c = 6
Lời giải:
Tính góc C C C
C = 180 ° − 15 ° − 130 ° = 35 ° . C = 180° - 15° - 130° = 35°. C = 180° − 15° − 130° = 35°.
Tính các cạnh (định lý sin: c sin C = a sin A = b sin B \dfrac{c}{\sin C} = \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} sin C c = sin A a = sin B b
6 sin 35 ° = a sin 15 ° = b sin 130 ° . \frac{6}{\sin35°} = \frac{a}{\sin15°} = \frac{b}{\sin130°}. sin 35° 6 = sin 15° a = sin 130° b .
a = 6 sin 15 ° sin 35 ° = 6 × 0,2588 0,5736 ≈ 2,71. a = \frac{6\sin15°}{\sin35°} = \frac{6 \times 0{,}2588}{0{,}5736} \approx \mathbf{2{,}71}. a = sin 35° 6 sin 15° = 0 , 5736 6 × 0 , 2588 ≈ 2 , 71 .
b = 6 sin 130 ° sin 35 ° = 6 × 0,7660 0,5736 ≈ 8,01. b = \frac{6\sin130°}{\sin35°} = \frac{6 \times 0{,}7660}{0{,}5736} \approx \mathbf{8{,}01}. b = sin 35° 6 sin 130° = 0 , 5736 6 × 0 , 7660 ≈ 8 , 01 .
Tính diện tích:
S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin A = 1 2 × 8,01 × 6 × sin 15 ° ≈ 1 2 × 48,06 × 0,2588 ≈ 6,22. S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A = \frac{1}{2} \times 8{,}01 \times 6 \times \sin15° \approx \frac{1}{2} \times 48{,}06 \times 0{,}2588 \approx \mathbf{6{,}22}. S = 2 1 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin A = 2 1 × 8 , 01 × 6 × sin 15° ≈ 2 1 × 48 , 06 × 0 , 2588 ≈ 6 , 22 .
Kết quả: C = 35 ° C = 35° C = 35° a ≈ 2,71 a \approx 2{,}71 a ≈ 2 , 71 b ≈ 8,01 b \approx 8{,}01 b ≈ 8 , 01 S ≈ 6,22 S \approx 6{,}22 S ≈ 6 , 22
Bài 3.8. Trên nóc một căn nhà có cột ăng-ten cao 5 5 5 A A A 7 7 7 B = 40 ° B = 40° B = 40°
Lời giải:
Gọi h h h 5 5 5
Từ điểm A A A 7 7 7
tan θ = h 7 ⇒ h = 7 tan θ . \tan\theta = \frac{h}{7} \;\Rightarrow\; h = 7\tan\theta. tan θ = 7 h ⇒ h = 7 tan θ .
Góc nhìn đến đỉnh cột: tan ( 40 ° ) = h + 5 7 \tan(40°) = \dfrac{h+5}{7} tan ( 40° ) = 7 h + 5 h + 5 = 7 tan 40 ° ≈ 7 × 0,839 = 5,87 h + 5 = 7\tan40° \approx 7 \times 0{,}839 = 5{,}87 h + 5 = 7 tan 40° ≈ 7 × 0 , 839 = 5 , 87
h = 5,87 − 5 = 0,87 m . h = 5{,}87 - 5 = \mathbf{0{,}87 \text{ m}}. h = 5 , 87 − 5 = 0 , 87 m .
(Trong bài toán cụ thể, giá trị h phụ thuộc vào các số liệu đo được; quy trình giải như trên.)
Bài 3.9. Trên mỗi đỉnh tổ ong, ba cạnh cùng xuất phát từ một điểm. Hai cạnh O A OA O A O B OB O B ∠ A O B \angle AOB ∠ A O B O A = 4 OA = 4 O A = 4 O B = 5 OB = 5 O B = 5 A B = 6 AB = 6 A B = 6 ∠ A O B \angle AOB ∠ A O B
Lời giải:
Áp dụng định lý cosin:
A B 2 = O A 2 + O B 2 − 2 ⋅ O A ⋅ O B ⋅ cos ( ∠ A O B ) . AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB). A B 2 = O A 2 + O B 2 − 2 ⋅ O A ⋅ O B ⋅ cos ( ∠ A O B ) .
36 = 16 + 25 − 40 cos ( ∠ A O B ) ⇒ 40 cos ( ∠ A O B ) = 5 ⇒ cos ( ∠ A O B ) = 1 8 . 36 = 16 + 25 - 40\cos(\angle AOB) \;\Rightarrow\; 40\cos(\angle AOB) = 5 \;\Rightarrow\; \cos(\angle AOB) = \frac{1}{8}. 36 = 16 + 25 − 40 cos ( ∠ A O B ) ⇒ 40 cos ( ∠ A O B ) = 5 ⇒ cos ( ∠ A O B ) = 8 1 .
∠ A O B = arccos 1 8 ≈ 82,8 ° . \angle AOB = \arccos\frac{1}{8} \approx \mathbf{82{,}8°}. ∠ A O B = arccos 8 1 ≈ 82 , 8° .
Bài 3.10. Đài truyền hình Vũng Tàu, Quảng Bình và Hà Long tạo thành tam giác A B C ABC A B C A B = 450 AB = 450 A B = 450 B C = 350 BC = 350 B C = 350 A C = 400 AC = 400 A C = 400
Lời giải:
Đặt a = B C = 350 a = BC = 350 a = B C = 350 b = A C = 400 b = AC = 400 b = A C = 400 c = A B = 450 c = AB = 450 c = A B = 450
cos A = b 2 + c 2 − a 2 2 b c = 160000 + 202500 − 122500 2 × 400 × 450 = 240000 360000 = 2 3 ≈ 0,667. \cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{160000+202500-122500}{2 \times 400 \times 450} = \frac{240000}{360000} = \frac{2}{3} \approx 0{,}667. cos A = 2 b c b 2 + c 2 − a 2 = 2 × 400 × 450 160000 + 202500 − 122500 = 360000 240000 = 3 2 ≈ 0 , 667.
A ≈ 48,2 ° . A \approx 48{,}2°. A ≈ 48 , 2°.
cos B = a 2 + c 2 − b 2 2 a c = 122500 + 202500 − 160000 2 × 350 × 450 = 165000 315000 = 11 21 ≈ 0,524. \cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{122500+202500-160000}{2 \times 350 \times 450} = \frac{165000}{315000} = \frac{11}{21} \approx 0{,}524. cos B = 2 a c a 2 + c 2 − b 2 = 2 × 350 × 450 122500 + 202500 − 160000 = 315000 165000 = 21 11 ≈ 0 , 524.
B ≈ 58,4 ° . B \approx 58{,}4°. B ≈ 58 , 4°.
C = 180 ° − 48,2 ° − 58,4 ° ≈ 73,4 ° . C = 180° - 48{,}2° - 58{,}4° \approx \mathbf{73{,}4°}. C = 180° − 48 , 2° − 58 , 4° ≈ 73 , 4° .
Kết quả: A ≈ 48,2 ° A \approx 48{,}2° A ≈ 48 , 2° B ≈ 58,4 ° B \approx 58{,}4° B ≈ 58 , 4° C ≈ 73,4 ° C \approx 73{,}4° C ≈ 73 , 4°
Bài 3.11. Từ địa điểm A A A H H H A ( 0 ; 0 ) A(0;\,0) A ( 0 ; 0 ) 45 ° 45° 45° d 1 d_1 d 1 B B B A A A 10 10 10 70 ° 70° 70° A A A H H H
Lời giải:
Dựng hình tọa độ. Từ các hướng quan sát, góc ∠ H A B = 45 ° \angle HAB = 45° ∠ H A B = 45° ∠ A B H = 180 ° − 70 ° = 110 ° \angle ABH = 180° - 70° = 110° ∠ A B H = 180° − 70° = 110°
Trong tam giác A B H ABH A B H
∠ A H B = 180 ° − 45 ° − 110 ° = 25 ° . \angle AHB = 180° - 45° - 110° = 25°. ∠ A H B = 180° − 45° − 110° = 25°.
Theo định lý sin:
A H sin ( ∠ A B H ) = A B sin ( ∠ A H B ) . \frac{AH}{\sin(\angle ABH)} = \frac{AB}{\sin(\angle AHB)}. sin ( ∠ A B H ) A H = sin ( ∠ A H B ) A B .
A H = 10 sin 110 ° sin 25 ° = 10 × 0,9397 0,4226 ≈ 22,2 km . AH = \frac{10\sin110°}{\sin25°} = \frac{10 \times 0{,}9397}{0{,}4226} \approx \mathbf{22{,}2 \text{ km}}. A H = sin 25° 10 sin 110° = 0 , 4226 10 × 0 , 9397 ≈ 22 , 2 km .