Trang 16 — Các tập hợp số

Luyện tập 2

Luyện tập 2. Giả sử CC là tập hợp các hình vuông; DD là tập hợp các hình bình hành có hai đường chéo vuông góc. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) C⊂DC \subset D;

b) C⊃DC \supset D;

c) C=DC = D.

Lời giải:

  • Tập hợp CC gồm các hình vuông.

  • Tập hợp DD gồm các hình bình hành có hai đường chéo vuông góc.

Hình vuông là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc.

Do đó, mọi hình vuông đều là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc.

Vì vậy, C⊂DC \subset D.

Vậy:

  • Mệnh đề a) đúng.

  • Mệnh đề b) sai vì không phải hình bình hành nào có hai đường chéo vuông góc cũng là hình vuông.

  • Mệnh đề c) sai vì CC là tập con của DD nhưng DD không phải là tập con của CC.

Kết quả: a) đúng; b) sai; c) sai.

HĐ5

HĐ5. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Mọi số nguyên đều viết được dưới dạng phân số;

b) Tập hợp các số thực chứa tập hợp các số hữu tỉ;

c) Tồn tại một số thực không là số hữu tỉ.

Lời giải:

a) Mọi số nguyên aa đều viết được dưới dạng phân số a1\dfrac{a}{1}.

Do đó, mệnh đề a) đúng.

b) Tập hợp các số thực R\mathbb{R} chứa tập hợp các số hữu tỉ Q\mathbb{Q}.

Do đó, mệnh đề b) đúng.

c) Ta có 2∈R\sqrt{2} \in \mathbb{R} và 2∉Q\sqrt{2} \notin \mathbb{Q} (vì 2\sqrt{2} là số vô tỉ).

Do đó, tồn tại một số thực không là số hữu tỉ.

Vậy mệnh đề c) đúng.

Kết quả: a) đúng; b) đúng; c) đúng.

Ví dụ 4

Ví dụ 4. Hãy xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) 3,274∈Q3,274 \in \mathbb{Q};

b) 2∈R\sqrt{2} \in \mathbb{R};

c) 34∈Z\dfrac{3}{4} \in \mathbb{Z}.

Lời giải:

a) Ta có 3,274=32741000=16375003,274 = \dfrac{3274}{1000} = \dfrac{1637}{500}.

Do đó 3,274=1637500∈Q3,274 = \dfrac{1637}{500} \in \mathbb{Q}.

Vậy mệnh đề a) đúng.

b) Ta có 2≈1,4142...\sqrt{2} \approx 1,4142... là số vô tỉ.

Do đó 2∈R\sqrt{2} \in \mathbb{R}.

Vậy mệnh đề b) đúng.

c) Ta có 34=0,75∉Z\dfrac{3}{4} = 0,75 \notin \mathbb{Z}.

Vậy mệnh đề c) sai.

Kết quả: a) đúng; b) đúng; c) sai.

Luyện tập 3

Luyện tập 3. Cho tập hợp C={−4;0;1;2}C = \{-4; 0; 1; 2\}. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) CC là tập con của Z\mathbb{Z};

b) CC là tập con của N\mathbb{N};

c) CC là tập con của R\mathbb{R}.

Lời giải:

a) Tập hợp Z\mathbb{Z} gồm các số nguyên.

Ta có −4;0;1;2∈Z-4; 0; 1; 2 \in \mathbb{Z}.

Do đó C⊂ZC \subset \mathbb{Z}.

Vậy mệnh đề a) đúng.

b) Tập hợp N\mathbb{N} gồm các số tự nhiên.

Ta có −4∉N-4 \notin \mathbb{N}.

Do đó C⊄NC \not\subset \mathbb{N}.

Vậy mệnh đề b) sai.

c) Tập hợp R\mathbb{R} gồm các số thực.

Ta có −4;0;1;2∈R-4; 0; 1; 2 \in \mathbb{R}.

Do đó C⊂RC \subset \mathbb{R}.

Vậy mệnh đề c) đúng.

Kết quả: a) đúng; b) sai; c) đúng.

Trang 17 — Các phép toán trên tập hợp

Bài tập cần giải

HĐ6.

Cho hai tập hợp C={x∈R ∣ x≥3}C = \{x \in \mathbb{R} \,|\, x \geq 3\} và D={x∈R ∣ x>3}D = \{x \in \mathbb{R} \,|\, x > 3\}. Các mệnh đề sau đúng hay sai? a) C, DC,\, D là các tập con của R\mathbb{R};
b) ∀x, x∈C⇒x∈D\forall x, \, x \in C \Rightarrow x \in D;
c) 3∈C3 \in C nhưng 3∉D3 \notin D;
d) C=DC = D.

Lời giải: a) C, DC,\, D là các tập con của R\mathbb{R}:

  • Tập CC bao gồm tất cả các số thực xx sao cho x≥3x \geq 3.
  • Tập DD bao gồm tất cả các số thực xx sao cho x>3x > 3.
  • Vì cả hai tập hợp đều chứa các phần tử thuộc R\mathbb{R}, nên CC và DD là các tập con của R\mathbb{R}.
    Vậy mệnh đề a) đúng.

b) ∀x, x∈C⇒x∈D\forall x, \, x \in C \Rightarrow x \in D:

  • Nếu x∈Cx \in C, thì x≥3x \geq 3.
  • Tuy nhiên, x=3x = 3 thuộc CC nhưng không thuộc DD vì 3≯33 \not > 3.
    Vậy mệnh đề b) sai.

c) 3∈C3 \in C nhưng 3∉D3 \notin D:

  • 3∈C3 \in C vì 3≥33 \geq 3.
  • 3∉D3 \notin D vì 3≯33 \not > 3.
    Vậy mệnh đề c) đúng.

d) C=DC = D:

  • CC chứa 33 nhưng DD không chứa 33.
  • Do đó, C≠DC \neq D.
    Vậy mệnh đề d) sai.

Kết quả: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Luyện tập 4.

Hãy ghép mỗi dòng ở cột bên trái với một dòng thích hợp ở cột bên phải.

Cột trái Cột phải
1) x∈[2;5]1) \, x \in [2; 5] a) 2<x≤52 < x \leq 5
2) x∈(2;5]2) \, x \in (2; 5] b) x≥7x \geq 7
3) x∈[7;+∞)3) \, x \in [7; +\infty) c) 7<x<107 < x < 10
4) x∈(7;10)4) \, x \in (7; 10) d) 2≤x≤52 \leq x \leq 5
e) 2≤x<52 \leq x < 5

Lời giải:

  • 1) x∈[2;5]1) \, x \in [2; 5] có nghĩa là 2≤x≤52 \leq x \leq 5, nên ghép với d) 2≤x≤52 \leq x \leq 5.
  • 2) x∈(2;5]2) \, x \in (2; 5] có nghĩa là 2<x≤52 < x \leq 5, nên ghép với a) 2<x≤52 < x \leq 5.
  • 3) x∈[7;+∞)3) \, x \in [7; +\infty) có nghĩa là x≥7x \geq 7, nên ghép với b) x≥7x \geq 7.
  • 4) x∈(7;10)4) \, x \in (7; 10) có nghĩa là 7<x<107 < x < 10, nên ghép với c) 7<x<107 < x < 10.

Kết quả: 1−d; 2−a; 3−b; 4−c1 - d; \, 2 - a; \, 3 - b; \, 4 - c.

Trang 18 —

Luyện tập 5.

Cho các tập hợp C=[1;5],D=[−2;3].C = [1; 5], D = [-2; 3]. Hãy xác định tập hợp C∩DC \cap D.

Lời giải:

Tập hợp C∩DC \cap D gồm các phần tử thuộc cả tập hợp CC và tập hợp DD.

Ta có:

  • Tập hợp CC gồm các phần tử thuộc đoạn [1;5][1; 5].
  • Tập hợp DD gồm các phần tử thuộc đoạn [−2;3][-2; 3].

Phần giao nhau của hai đoạn này là [1;3][1; 3].

Do đó, C∩D=[1;3]C \cap D = [1; 3].

Kết quả: C∩D=[1;3]C \cap D = [1; 3].

Luyện tập 6.

Hãy biểu diễn tập hợp A∪BA \cup B bằng biểu đồ Ven, với A,BA, B được cho trong HĐ1.

Lời giải:

Biểu đồ Ven cho tập hợp A∪BA \cup B bao gồm tất cả các phần tử thuộc tập hợp AA hoặc tập hợp BB.

Hình vẽ mô tả tập hợp A∪BA \cup B là hợp của hai hình oval AA và BB, bao gồm toàn bộ phần diện tích bị tô màu của cả hai oval.

Kết quả: Mô tả bằng biểu đồ Ven.

Trang 19 — Chương 1: Mệnh đề và tập hợp

Luyện tập 7. Tìm phần bù của các tập hợp sau trong R\mathbb{R}: a) (−∞;−2);(-\infty; -2); b) [−5;+∞).[-5; +\infty).

Lời giải:

a) Phần bù của tập hợp (−∞;−2)(-\infty; -2) trong R\mathbb{R} là: $$ \begin{aligned} C_{\mathbb{R}}(-\infty; -2) &= \mathbb{R} \setminus (-\infty; -2) \ &= [-2; +\infty). \end{aligned} $$

b) Phần bù của tập hợp [−5;+∞)[-5; +\infty) trong R\mathbb{R} là: $$ \begin{aligned} C_{\mathbb{R}}[-5; +\infty) &= \mathbb{R} \setminus [-5; +\infty) \ &= (-\infty; -5). \end{aligned} $$

Kết quả: a) [−2;+∞);[-2; +\infty); b) (−∞;−5).(-\infty; -5).

Vận dụng. Lớp 10A10A có 2424 bạn tham gia thi đấu bóng đá và cầu lông, trong đó có 1616 bạn thi đấu bóng đá và 1111 bạn thi đấu cầu lông. Giả sử các trận bóng đá và cầu lông không tổ chức đồng thời. Hỏi có bao nhiêu bạn lớp 10A10A tham gia thi đấu cả bóng đá và cầu lông?

Lời giải:

Gọi xx là số bạn tham gia thi đấu cả bóng đá và cầu lông.

Số bạn chỉ tham gia thi đấu bóng đá là: 16−x.16 - x.

Số bạn chỉ tham gia thi đấu cầu lông là: 11−x.11 - x.

Tổng số bạn tham gia thi đấu là: 24.24.

Ta có phương trình: $$ (16 - x) + x + (11 - x) = 24. $$

Giải phương trình: $$ \begin{aligned} 27 - x &= 24 \ \iff x &= 27 - 24 \ \iff x &= 3. \end{aligned} $$

Kết quả: 3.3.