Trang 36 — Chương 3 - Bài 6: Hệ thức lượng giác cơ bản
Luyện tập 1. Tìm các giá trị lượng giác của góc 120 ∘ 120^\circ 12 0 ∘
Lời giải:
Gọi M M M x O M = 120 ∘ xOM = 120^\circ x O M = 12 0 ∘ N N N P P P M M M O x Ox O x O y Oy O y
Vì x O M = 120 ∘ xOM = 120^\circ x O M = 12 0 ∘ M O N = 60 ∘ MON = 60^\circ M O N = 6 0 ∘ M O P = 30 ∘ MOP = 30^\circ M O P = 3 0 ∘ M O N MON M O N M O P MOP M O P O M = 1 OM = 1 O M = 1
Từ đó, ta có O N = 1 2 ON = \frac{1}{2} O N = 2 1 O P = 3 2 OP = \frac{\sqrt{3}}{2} O P = 2 3 M M M ( − 1 2 ; 3 2 ) \left( -\frac{1}{2} ; \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ( − 2 1 ; 2 3 )
Theo định nghĩa, ta có:
sin 120 ∘ = 3 2 cos 120 ∘ = − 1 2 tan 120 ∘ = − 3 cot 120 ∘ = − 3 3 \begin{aligned}
\sin 120^\circ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \\
\cos 120^\circ &= -\frac{1}{2} \\
\tan 120^\circ &= -\sqrt{3} \\
\cot 120^\circ &= -\frac{\sqrt{3}}{3}
\end{aligned} sin 12 0 ∘ cos 12 0 ∘ tan 12 0 ∘ cot 12 0 ∘ = 2 3 = − 2 1 = − 3 = − 3 3
Kết quả: sin 120 ∘ = 3 2 \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} sin 12 0 ∘ = 2 3 cos 120 ∘ = − 1 2 \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} cos 12 0 ∘ = − 2 1 tan 120 ∘ = − 3 \tan 120^\circ = -\sqrt{3} tan 12 0 ∘ = − 3 cot 120 ∘ = − 3 3 \cot 120^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3} cot 12 0 ∘ = − 3 3
Trang 37 — Mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác
Luyện tập 2. Trong Hình 3.6, hai điểm M , N M, N M , N α \alpha α 90 ∘ − α 90^\circ - \alpha 9 0 ∘ − α ( x O M = α , x O N = 90 ∘ − α ) (xOM = \alpha, xON = 90^\circ - \alpha) ( x O M = α , x O N = 9 0 ∘ − α ) Δ M O P = Δ N O Q \Delta MOP = \Delta NOQ Δ M O P = Δ N O Q cos α \cos \alpha cos α sin ( 90 ∘ − α ) \sin(90^\circ - \alpha) sin ( 9 0 ∘ − α )
Lời giải:
Ta có:
M = ( cos α ; sin α ) M = (\cos \alpha; \sin \alpha) M = ( cos α ; sin α ) N = ( cos ( 90 ∘ − α ) ; sin ( 90 ∘ − α ) ) N = (\cos (90^\circ - \alpha); \sin (90^\circ - \alpha)) N = ( cos ( 9 0 ∘ − α ) ; sin ( 9 0 ∘ − α ))
P = ( 1 ; 0 ) P = (1;0) P = ( 1 ; 0 ) Q = ( 0 ; 1 ) Q = (0;1) Q = ( 0 ; 1 )
Xét Δ M O P \Delta MOP Δ M O P Δ N O Q \Delta NOQ Δ N O Q
O M = O N = 1 OM = ON = 1 O M = O N = 1
O P = O Q = 1 OP = OQ = 1 O P = O Q = 1
∠ M O P = ∠ N O Q \angle MOP = \angle NOQ ∠ M O P = ∠ N O Q
Do đó Δ M O P = Δ N O Q \Delta MOP = \Delta NOQ Δ M O P = Δ N O Q
Từ đó, suy ra M P = N Q MP = NQ M P = N Q ( cos α − 1 ) 2 + ( sin α − 0 ) 2 = ( cos ( 90 ∘ − α ) − 0 ) 2 + ( sin ( 90 ∘ − α ) − 1 ) 2 . \sqrt{(\cos \alpha - 1)^2 + (\sin \alpha - 0)^2} = \sqrt{(\cos (90^\circ - \alpha) - 0)^2 + (\sin (90^\circ - \alpha) - 1)^2}. ( cos α − 1 ) 2 + ( sin α − 0 ) 2 = ( cos ( 9 0 ∘ − α ) − 0 ) 2 + ( sin ( 9 0 ∘ − α ) − 1 ) 2 .
Bình phương hai vế, ta có
( cos α − 1 ) 2 + sin 2 α = cos 2 ( 90 ∘ − α ) + ( sin ( 90 ∘ − α ) − 1 ) 2 . (\cos \alpha - 1)^2 + \sin^2 \alpha = \cos^2 (90^\circ - \alpha) + (\sin (90^\circ - \alpha) - 1)^2. ( cos α − 1 ) 2 + sin 2 α = cos 2 ( 9 0 ∘ − α ) + ( sin ( 9 0 ∘ − α ) − 1 ) 2 .
Khai triển và rút gọn, ta có
cos α = sin ( 90 ∘ − α ) . \cos \alpha = \sin (90^\circ - \alpha). cos α = sin ( 9 0 ∘ − α ) .
Kết quả: cos α = sin ( 90 ∘ − α ) \cos \alpha = \sin (90^\circ - \alpha) cos α = sin ( 9 0 ∘ − α )
Trang 38 — Chương 3: Hệ thức lượng trong tam giác
Bài 3.1. Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:
a) ( 2 sin 30 ∘ + cos 135 ∘ − 3 tan 150 ∘ ) ⋅ ( cos 180 ∘ − cot 60 ∘ ) \left( 2 \sin 30^\circ + \cos 135^\circ - 3 \tan 150^\circ \right) \cdot \left( \cos 180^\circ - \cot 60^\circ \right) ( 2 sin 3 0 ∘ + cos 13 5 ∘ − 3 tan 15 0 ∘ ) ⋅ ( cos 18 0 ∘ − cot 6 0 ∘ )
b) sin 2 90 ∘ + cos 2 120 ∘ + cos 2 0 ∘ − tan 2 60 ∘ + cot 2 135 ∘ \sin^2 90^\circ + \cos^2 120^\circ + \cos^2 0^\circ - \tan^2 60^\circ + \cot^2 135^\circ sin 2 9 0 ∘ + cos 2 12 0 ∘ + cos 2 0 ∘ − tan 2 6 0 ∘ + cot 2 13 5 ∘
c) cos 60 ∘ ⋅ sin 30 ∘ + cos 2 30 ∘ \cos 60^\circ \cdot \sin 30^\circ + \cos^2 30^\circ cos 6 0 ∘ ⋅ sin 3 0 ∘ + cos 2 3 0 ∘
Lời giải:
a) Ta có:
sin 30 ∘ = 1 2 \sin 30^\circ = \frac{1}{2} sin 3 0 ∘ = 2 1 cos 135 ∘ = − 2 2 \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} cos 13 5 ∘ = − 2 2 tan 150 ∘ = − 3 3 \tan 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3} tan 15 0 ∘ = − 3 3 cos 180 ∘ = − 1 \cos 180^\circ = -1 cos 18 0 ∘ = − 1 cot 60 ∘ = 3 3 \cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} cot 6 0 ∘ = 3 3
Thay vào biểu thức:
$$
\begin{aligned}
&\left( 2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) \right) \cdot \left( -1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \right) \
&= \left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} \right) \cdot \left( -1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \right) \
&= \left( 1 + \sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \cdot \left( -\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \right) \
&= -\frac{1}{3} \left( 3 + \sqrt{3} \right) \left( 1 + \sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \
&= -\frac{1}{3} \left[ \left( 3 + \sqrt{3} \right) + \left( 3\sqrt{3} + 3 \right) - \frac{\sqrt{2}}{2} \left( 3 + \sqrt{3} \right) \right] \
&= -\frac{1}{3} \left[ 6 + 4\sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} \left( 3 + \sqrt{3} \right) \right].
\end{aligned}
$$
b) Ta có:
sin 90 ∘ = 1 \sin 90^\circ = 1 sin 9 0 ∘ = 1 cos 120 ∘ = − 1 2 \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} cos 12 0 ∘ = − 2 1 cos 0 ∘ = 1 \cos 0^\circ = 1 cos 0 ∘ = 1 tan 60 ∘ = 3 \tan 60^\circ = \sqrt{3} tan 6 0 ∘ = 3 cot 135 ∘ = − 1 \cot 135^\circ = -1 cot 13 5 ∘ = − 1
Thay vào biểu thức:
$$
\begin{aligned}
&\sin^2 90^\circ + \cos^2 120^\circ + \cos^2 0^\circ - \tan^2 60^\circ + \cot^2 135^\circ \
&= 1^2 + \left( -\frac{1}{2} \right)^2 + 1^2 - \left( \sqrt{3} \right)^2 + \left( -1 \right)^2 \
&= 1 + \frac{1}{4} + 1 - 3 + 1 \
&= \frac{4 + 1 + 4 - 12 + 4}{4} \
&= -\frac{3}{4}.
\end{aligned}
$$
c) Ta có:
cos 60 ∘ = 1 2 \cos 60^\circ = \frac{1}{2} cos 6 0 ∘ = 2 1 sin 30 ∘ = 1 2 \sin 30^\circ = \frac{1}{2} sin 3 0 ∘ = 2 1 cos 30 ∘ = 3 2 \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} cos 3 0 ∘ = 2 3
Thay vào biểu thức:
$$
\begin{aligned}
&\cos 60^\circ \cdot \sin 30^\circ + \cos^2 30^\circ \
&= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 \
&= \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \
&= 1.
\end{aligned}
$$
Kết quả:
a) − 1 3 [ 6 + 4 3 − 2 2 ( 3 + 3 ) ] -\frac{1}{3} \left[ 6 + 4\sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} \left( 3 + \sqrt{3} \right) \right] − 3 1 [ 6 + 4 3 − 2 2 ( 3 + 3 ) ] − 3 4 -\frac{3}{4} − 4 3 1 1 1
Bài 3.2. Đơn giản các biểu thức sau:
a) sin 100 ∘ + sin 80 ∘ + cos 16 ∘ + cos 164 ∘ \sin 100^\circ + \sin 80^\circ + \cos 16^\circ + \cos 164^\circ sin 10 0 ∘ + sin 8 0 ∘ + cos 1 6 ∘ + cos 16 4 ∘
b) 2 sin ( 180 ∘ − α ) ⋅ cot α − cos ( 180 ∘ − α ) ⋅ tan α ⋅ cot ( 180 ∘ − α ) 2 \sin \left( 180^\circ - \alpha \right) \cdot \cot \alpha - \cos \left( 180^\circ - \alpha \right) \cdot \tan \alpha \cdot \cot \left( 180^\circ - \alpha \right) 2 sin ( 18 0 ∘ − α ) ⋅ cot α − cos ( 18 0 ∘ − α ) ⋅ tan α ⋅ cot ( 18 0 ∘ − α ) 0 ∘ < α < 90 ∘ 0^\circ < \alpha < 90^\circ 0 ∘ < α < 9 0 ∘
Lời giải:
a) Ta có:
sin 100 ∘ = sin ( 90 ∘ + 10 ∘ ) = cos 10 ∘ \sin 100^\circ = \sin (90^\circ + 10^\circ) = \cos 10^\circ sin 10 0 ∘ = sin ( 9 0 ∘ + 1 0 ∘ ) = cos 1 0 ∘ sin 80 ∘ = sin ( 90 ∘ − 10 ∘ ) = cos 10 ∘ \sin 80^\circ = \sin (90^\circ - 10^\circ) = \cos 10^\circ sin 8 0 ∘ = sin ( 9 0 ∘ − 1 0 ∘ ) = cos 1 0 ∘ cos 164 ∘ = cos ( 180 ∘ − 16 ∘ ) = − cos 16 ∘ \cos 164^\circ = \cos (180^\circ - 16^\circ) = -\cos 16^\circ cos 16 4 ∘ = cos ( 18 0 ∘ − 1 6 ∘ ) = − cos 1 6 ∘
Thay vào biểu thức:
$$
\begin{aligned}
&\sin 100^\circ + \sin 80^\circ + \cos 16^\circ + \cos 164^\circ \
&= \cos 10^\circ + \cos 10^\circ + \cos 16^\circ - \cos 16^\circ \
&= 2 \cos 10^\circ.
\end{aligned}
$$
b) Ta có:
sin ( 180 ∘ − α ) = sin α \sin \left( 180^\circ - \alpha \right) = \sin \alpha sin ( 18 0 ∘ − α ) = sin α cot α = cos α sin α \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} cot α = s i n α c o s α cos ( 180 ∘ − α ) = − cos α \cos \left( 180^\circ - \alpha \right) = -\cos \alpha cos ( 18 0 ∘ − α ) = − cos α cot ( 180 ∘ − α ) = − cot α = − cos α sin α \cot \left( 180^\circ - \alpha \right) = -\cot \alpha = -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} cot ( 18 0 ∘ − α ) = − cot α = − s i n α c o s α
Thay vào biểu thức:
$$
\begin{aligned}
&2 \sin \left( 180^\circ - \alpha \right) \cdot \cot \alpha - \cos \left( 180^\circ - \alpha \right) \cdot \tan \alpha \cdot \cot \left( 180^\circ - \alpha \right) \
&= 2 \sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \left( -\cos \alpha \right) \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \left( -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \right) \
&= 2 \cos \alpha - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \cos \alpha \
&= 2 \cos \alpha - \cos \alpha \cdot \cot \alpha.
\end{aligned}
$$
Kết quả:
a) 2 cos 10 ∘ 2 \cos 10^\circ 2 cos 1 0 ∘ 2 cos α − cos α ⋅ cot α 2 \cos \alpha - \cos \alpha \cdot \cot \alpha 2 cos α − cos α ⋅ cot α
Bài 3.3. Chứng minh các hệ thức sau:
a) sin 2 α + cos 2 α = 1 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 sin 2 α + cos 2 α = 1
b) 1 + tan 2 α = 1 cos 2 α ( α ≠ 90 ∘ ) 1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \; (\alpha \neq 90^\circ) 1 + tan 2 α = c o s 2 α 1 ( α = 9 0 ∘ )
c) 1 + cot 2 α = 1 sin 2 α ( 0 ∘ < α < 180 ∘ ) 1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \; (0^\circ < \alpha < 180^\circ) 1 + cot 2 α = s i n 2 α 1 ( 0 ∘ < α < 18 0 ∘ )
Lời giải:
a) Ta có:
$$
\begin{aligned}
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha &= \sin^2 \alpha + \left( \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \sin \alpha \right)^2 \
&= \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \
&= \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.
\end{aligned}
$$
b) Ta có:
$$
\begin{aligned}
1 + \tan^2 \alpha &= 1 + \left( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \right)^2 \
&= \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \
&= \frac{1}{\cos^2 \alpha}.
\end{aligned}
$$
c) Ta có:
$$
\begin{aligned}
1 + \cot^2 \alpha &= 1 + \left( \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \right)^2 \
&= \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \
&= \frac{1}{\sin^2 \alpha}.
\end{aligned}
$$
Kết quả:
a) sin 2 α + cos 2 α = 1 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 sin 2 α + cos 2 α = 1 1 + tan 2 α = 1 cos 2 α 1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} 1 + tan 2 α = c o s 2 α 1 1 + cot 2 α = 1 sin 2 α 1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} 1 + cot 2 α = s i n 2 α 1
Bài 3.4. Cho góc α ( 0 ∘ < α < 180 ∘ ) \alpha \; (0^\circ < \alpha < 180^\circ) α ( 0 ∘ < α < 18 0 ∘ ) tan α = 3 \tan \alpha = 3 tan α = 3
Tính giá trị của biểu thức: P = 2 sin α − 3 cos α 3 sin α + 2 cos α P = \frac{2 \sin \alpha - 3 \cos \alpha}{3 \sin \alpha + 2 \cos \alpha} P = 3 s i n α + 2 c o s α 2 s i n α − 3 c o s α
Lời giải:
Ta có:
tan α = 3 = sin α cos α \tan \alpha = 3 = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} tan α = 3 = c o s α s i n α
Chọn sin α = 3 k \sin \alpha = 3k sin α = 3 k cos α = k \cos \alpha = k cos α = k
Mà sin 2 α + cos 2 α = 1 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 sin 2 α + cos 2 α = 1
Do 0 ∘ < α < 180 ∘ 0^\circ < \alpha < 180^\circ 0 ∘ < α < 18 0 ∘ cos α = k > 0 ⟹ k = 10 10 \cos \alpha = k > 0 \implies k = \frac{\sqrt{10}}{10} cos α = k > 0 ⟹ k = 10 10
Do đó:
sin α = 3 k = 3 10 10 \sin \alpha = 3k = \frac{3 \sqrt{10}}{10} sin α = 3 k = 10 3 10 cos α = k = 10 10 \cos \alpha = k = \frac{\sqrt{10}}{10} cos α = k = 10 10
Thay vào biểu thức P P P
Kết quả: 3 11 \frac{3}{11} 11 3
Trang 39 — Hệ thức lượng trong tam giác
Bài tập
Bài 1.
Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hòa) theo hướng đông với vận tốc 20 km/h 20 \text{ km/h} 20 km/h
a) Hãy vẽ sơ đồ đường đi của tàu trong 1 , 5 1,5 1 , 5
b) Hãy đo trực tiếp trên bản vẽ và cho biết sau 1 , 5 1,5 1 , 5
c) Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hướng đông nam) thì có thể dùng Định lí Pythagoras (Pi-ta-go) để tính chính xác các số đo trong câu b hay không?
Lời giải:
a) Sơ đồ đường đi của tàu:
Sau 1 giờ đi hướng đông: 20 km 20 \text{ km} 20 km
Sau 0,5 giờ đi hướng đông nam:
Vận tốc vẫn là 20 km/h 20 \text{ km/h} 20 km/h
Quãng đường đi được: 20 ⋅ 0 , 5 = 10 km 20 \cdot 0,5 = 10 \text{ km} 20 ⋅ 0 , 5 = 10 km
b) Đo trên bản vẽ:
Tàu cách cảng Vân Phong khoảng 2 , 5 cm 2,5 \text{ cm} 2 , 5 cm
Do tỉ lệ 1 cm ứng với 1 km 1 \text{ km} 1 km 2 , 5 km 2,5 \text{ km} 2 , 5 km
c) Nếu sau 2 giờ tàu đi hướng nam:
Sau 1 giờ đi hướng đông: 20 km 20 \text{ km} 20 km
Sau 1 giờ đi hướng nam: thêm 20 km 20 \text{ km} 20 km
Dùng Định lí Pythagoras:
$$
a^2 = 20^2 + 20^2 = 800
$$
$$
a = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \text{ km}
$$
Vậy có thể dùng Định lí Pythagoras.
Kết quả: 20 2 ≈ 28 , 28 km 20\sqrt{2} \approx 28,28 \text{ km} 20 2 ≈ 28 , 28 km
Bài 2.
Trong Hình 3.8, hãy thực hiện các bước sau để thiết lập công thức tính a a a b , c b, c b , c A A A
a) Tính a 2 a^2 a 2 B D 2 BD^2 B D 2 C D 2 CD^2 C D 2
b) Tính a 2 a^2 a 2 b , c b, c b , c cos A \cos A cos A
c) Tính D A DA D A c c c cos A \cos A cos A
d) Chứng minh a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A
Lời giải:
a) Ta có:
B D = c sin A ⟹ B D 2 = c 2 sin 2 A BD = c \sin A \implies BD^2 = c^2 \sin^2 A B D = c sin A ⟹ B D 2 = c 2 sin 2 A C D = b − c cos A ⟹ C D 2 = ( b − c cos A ) 2 CD = b - c \cos A \implies CD^2 = (b - c \cos A)^2 C D = b − c cos A ⟹ C D 2 = ( b − c cos A ) 2 a 2 = B D 2 + C D 2 = c 2 sin 2 A + ( b − c cos A ) 2 a^2 = BD^2 + CD^2 = c^2 \sin^2 A + (b - c \cos A)^2 a 2 = B D 2 + C D 2 = c 2 sin 2 A + ( b − c cos A ) 2 b) Khai triển:
a 2 = c 2 sin 2 A + b 2 − 2 b c cos A + c 2 cos 2 A a^2 = c^2 \sin^2 A + b^2 - 2bc \cos A + c^2 \cos^2 A a 2 = c 2 sin 2 A + b 2 − 2 b c cos A + c 2 cos 2 A a 2 = c 2 ( sin 2 A + cos 2 A ) + b 2 − 2 b c cos A a^2 = c^2 (\sin^2 A + \cos^2 A) + b^2 - 2bc \cos A a 2 = c 2 ( sin 2 A + cos 2 A ) + b 2 − 2 b c cos A a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A c)
D A = c sin A DA = c \sin A D A = c sin A d) Đã chứng minh ở câu b.
Kết quả: a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A