Trang 40 — Chương 3: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài tập

Luyện tập 1

Cho tam giác ABCABC có AB=5AB = 5, AC=8AC = 8 và A^=45∘\hat{A} = 45^\circ. Tính độ dài các cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác.

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABCABC, ta có:

  • BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡A^BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \hat{A}
  • BC2=52+82−2⋅5⋅8⋅cos⁡45∘BC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 45^\circ
  • BC2=25+64−80⋅22BC^2 = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
  • BC2=89−402BC^2 = 89 - 40\sqrt{2}
  • BC=89−402BC = \sqrt{89 - 40\sqrt{2}}

VẬN DỤNG 1

Dùng định lí côsin, tính khoảng cách được đề cập trong HĐ1b.

Lời giải:

HĐ1b (không có thông tin cụ thể trên trang)

HĐ3.

Trong mỗi hình dưới đây, hãy tính RR theo aa và sin⁡A\sin A.

Lời giải:

Định lí sin

Trong tam giác ABCABC: asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R.

Từ định lí sin, ta có: 2R=asin⁡A2R = \frac{a}{\sin A}.

Vậy R=a2sin⁡AR = \frac{a}{2 \sin A}.

Kết quả: a2sin⁡A\frac{a}{2 \sin A}

Trang 41 — Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Luyện tập 2. Cho tam giác ABCABC có b=8,c=5b = 8, c = 5 và B^=80∘\widehat{B} = 80^\circ. Tính số đo các góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài cạnh còn lại của tam giác.

Lời giải:

Ta có A^+B^+C^=180∘\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ.

Áp dụng định lý sin, ta có: asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R.

Từ 8sin⁡80∘=5sin⁡C⇒sin⁡C=5sin⁡80∘8≈0,614\dfrac{8}{\sin 80^\circ} = \dfrac{5}{\sin C} \Rightarrow \sin C = \dfrac{5 \sin 80^\circ}{8} \approx 0,614.

Suy ra C^≈37,8∘\widehat{C} \approx 37,8^\circ.

Ta có A^=180∘−(80∘+37,8∘)=62,2∘\widehat{A} = 180^\circ - (80^\circ + 37,8^\circ) = 62,2^\circ.

Lại có asin⁡62,2∘=8sin⁡80∘⇒a≈8sin⁡62,2∘sin⁡80∘≈7,05\dfrac{a}{\sin 62,2^\circ} = \dfrac{8}{\sin 80^\circ} \Rightarrow a \approx \dfrac{8 \sin 62,2^\circ}{\sin 80^\circ} \approx 7,05.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp R=a2sin⁡A=7,052sin⁡62,2∘≈4R = \dfrac{a}{2 \sin A} = \dfrac{7,05}{2 \sin 62,2^\circ} \approx 4.

Kết quả: A^=62,2∘\widehat{A} = 62,2^\circ, C^=37,8∘\widehat{C} = 37,8^\circ, a≈7,05a \approx 7,05, R=4R = 4.

Luyện tập 3. Giải tam giác ABCABC, biết b=32,c=45,A^=87∘b = 32, c = 45, \widehat{A} = 87^\circ.

Lời giải:

Ta có B^+C^=180∘−87∘=93∘\widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ - 87^\circ = 93^\circ.

Áp dụng định lý sin, ta có: asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}.

Từ 32sin⁡B=45sin⁡C⇒sin⁡Bsin⁡C=3245\dfrac{32}{\sin B} = \dfrac{45}{\sin C} \Rightarrow \dfrac{\sin B}{\sin C} = \dfrac{32}{45}.

Lại có sin⁡B=sin⁡(93∘−C)=sin⁡93∘cos⁡C−cos⁡93∘sin⁡C\sin B = \sin (93^\circ - C) = \sin 93^\circ \cos C - \cos 93^\circ \sin C.

Ta có hệ phương trình: {sin⁡B+sin⁡C=sin⁡93∘sin⁡Bsin⁡C=3245\begin{cases} \sin B + \sin C = \sin 93^\circ \\ \dfrac{\sin B}{\sin C} = \dfrac{32}{45} \end{cases}.

Giải hệ phương trình, ta được sin⁡C≈0,743⇒C^≈48∘\sin C \approx 0,743 \Rightarrow \widehat{C} \approx 48^\circ.

Suy ra B^=45∘\widehat{B} = 45^\circ.

Ta có asin⁡87∘=32sin⁡45∘⇒a≈32sin⁡87∘sin⁡45∘≈45,17\dfrac{a}{\sin 87^\circ} = \dfrac{32}{\sin 45^\circ} \Rightarrow a \approx \dfrac{32 \sin 87^\circ}{\sin 45^\circ} \approx 45,17.

Kết quả: B^=45∘\widehat{B} = 45^\circ, C^=48∘\widehat{C} = 48^\circ, a≈45,17a \approx 45,17.

Trang 42 — Công thức tính diện tích tam giác

Bài tập

HĐ4.

Cho tam giác ABCABC với II là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

a) Nêu mối liên hệ giữa diện tích tam giác ABCABC và diện tích các tam giác IBCIBC, ICAICA, IABIAB.

b) Tính diện tích tam giác ABCABC theo rr, aa, bb, cc.

Lời giải:

a) Gọi DD, EE, FF lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABCABC với các cạnh BCBC, CACA, ABAB. Khi đó, ta có:

  • SIBC=12⋅BC⋅ID=12⋅a⋅r,S_{IBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot ID = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r,
  • SICA=12⋅CA⋅IE=12⋅b⋅r,S_{ICA} = \frac{1}{2} \cdot CA \cdot IE = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r,
  • SIAB=12⋅AB⋅IF=12⋅c⋅r.S_{IAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot IF = \frac{1}{2} \cdot c \cdot r.

Do đó, diện tích tam giác ABCABC là:

S=SIBC+SICA+SIAB=12ar+12br+12cr=12(a+b+c)r.S = S_{IBC} + S_{ICA} + S_{IAB} = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = \frac{1}{2}(a + b + c)r.

b) Ta có: S=pr=(a+b+c)r2S = pr = \frac{(a + b + c)r}{2}.

Kết quả: S=pr=(a+b+c)r2S = pr = \frac{(a + b + c)r}{2}.

HĐ5.

Cho tam giác ABCABC với đường cao BDBD.

a) Biểu thị BDBD theo ABAB và sin⁡A\sin A.

b) Viết công thức tính diện tích SS của tam giác ABCABC theo bb, cc, sin⁡A\sin A.

Lời giải:

a) Xét △ABD\triangle ABD vuông tại DD, ta có:

sin⁡A=BDAB⇒BD=AB⋅sin⁡A.\sin A = \frac{BD}{AB} \Rightarrow BD = AB \cdot \sin A.

b) Ta có:

S=12⋅BD⋅AC=12⋅AB⋅sin⁡A⋅AC=12bcsin⁡A.S = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \sin A \cdot AC = \frac{1}{2}bc \sin A.

Kết quả: S=12bcsin⁡AS = \frac{1}{2}bc\sin A.

Luyện tập 4.

Tính diện tích của tam giác ABCABC có b=2b = 2, B^=30∘\widehat B = 30^\circ, C^=45∘\widehat C = 45^\circ.

Lời giải:

Ta có: A^=180∘−30∘−45∘=105∘\widehat A = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ.

Khi đó, diện tích của tam giác ABCABC là:

S=12bcsin⁡A=12⋅2⋅c⋅sin⁡105∘.\begin{aligned} S &= \frac{1}{2}bc\sin A \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot c \cdot \sin 105^\circ. \end{aligned}

Áp dụng sin⁡105∘=sin⁡(60∘+45∘)\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ), ta có

sin⁡105∘=sin⁡60∘cos⁡45∘+cos⁡60∘sin⁡45∘=32⋅22+12⋅22=6+24.\begin{aligned} \sin 105^\circ &= \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}. \end{aligned}

Do đó,

S=12⋅2⋅c⋅sin⁡105∘=c⋅6+24.\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot c \cdot \sin 105^\circ \\ &= c \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}. \end{aligned}

Kết quả: S=c⋅6+24S = c \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}.

Trang 43 — Chương 3: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài 3.5. Cho tam giác ABCABC có a=6,b=5,c=8a = 6, b = 5, c = 8. Tính cos⁡A\cos A, SS, rr.

Lời giải: Ta có công thức tính cos⁡A\cos A: $$ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{5^2 + 8^2 - 6^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{25 + 64 - 36}{80} = \frac{53}{80}. $$

Tính diện tích SS: $$ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}, $$ với pp là nửa chu vi: $$ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{6 + 5 + 8}{2} = 9,5. $$ Do đó: $$ S = \sqrt{9,5(9,5 - 6)(9,5 - 5)(9,5 - 8)} = \sqrt{9,5 \cdot 3,5 \cdot 4,5 \cdot 1,5} = \sqrt{9,5 \cdot 23,625} = \sqrt{224,4375} \approx 14,98. $$

Bán kính nội tiếp rr: $$ r = \frac{S}{p} = \frac{14,98}{9,5} \approx 1,58. $$

Kết quả: cos⁡A=5380\cos A = \frac{53}{80}, S≈14,98S \approx 14,98, r≈1,58r \approx 1,58.

Bài 3.6. Cho tam giác ABCABC có a=10a = 10, A^=45∘\widehat{A} = 45^\circ, B^=70∘\widehat{B} = 70^\circ. Tính RR, bb, cc.

Lời giải: Ta có C^=180∘−45∘−70∘=65∘\widehat{C} = 180^\circ - 45^\circ - 70^\circ = 65^\circ.

Tính RR: $$ R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{10}{2 \sin 45^\circ} = \frac{10}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}. $$

Tính bb: $$ b = 2R \sin B = 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sin 70^\circ \approx 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 0,9397 \approx 13,30. $$

Tính cc: $$ c = 2R \sin C = 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sin 65^\circ \approx 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 0,9063 \approx 12,84. $$

Kết quả: R=52R = 5\sqrt{2}, b≈13,30b \approx 13,30, c≈12,84c \approx 12,84.

Bài 3.7. Giải tam giác ABCABC và tính diện tích của tam giác đó, biết A^=15∘\widehat{A} = 15^\circ, B^=130∘\widehat{B} = 130^\circ, c=6c = 6.

Lời giải: Ta có C^=180∘−15∘−130∘=35∘\widehat{C} = 180^\circ - 15^\circ - 130^\circ = 35^\circ.

Tính aa: $$ a = \frac{c \sin A}{\sin C} = \frac{6 \sin 15^\circ}{\sin 35^\circ} \approx \frac{6 \cdot 0,2588}{0,5736} \approx 2,71. $$

Tính bb: $$ b = \frac{c \sin B}{\sin C} = \frac{6 \sin 130^\circ}{\sin 35^\circ} \approx \frac{6 \cdot 0,7660}{0,5736} \approx 8,01. $$

Diện tích SS: $$ S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2} \cdot 8,01 \cdot 6 \cdot \sin 15^\circ \approx \frac{1}{2} \cdot 8,01 \cdot 6 \cdot 0,2588 \approx 6,22. $$

Kết quả: a≈2,71a \approx 2,71, b≈8,01b \approx 8,01, S≈6,22S \approx 6,22.

Bài 3.8. Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng AA, đi theo hướng S70∘ES70^\circ E với vận tốc 7070 km/h. Đi được 9090 phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc 88 km/h. Sau 22 giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.

a) Tính khoảng cách từ cảng AA tới đảo nơi tàu neo đậu.

b) Xác định hướng từ cảng AA tới đảo nơi tàu neo đậu.

Lời giải:

a) Quãng đường tàu đi được trong 9090 phút: $$ 70 \cdot \frac{3}{2} = 105 , \text{km}. $$

Quãng đường tàu trôi tự do trong 22 giờ: $$ 8 \cdot 2 = 16 , \text{km}. $$

Vecto AB→\overrightarrow{AB}:

  • Độ lớn: 105105 km.
  • Hướng: S70∘ES70^\circ E.

Vecto BC→\overrightarrow{BC}:

  • Độ lớn: 1616 km.
  • Hướng: SS.

Tổng vecto AC→=AB→+BC→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}.

Khoảng cách ACAC: $$ AC = \sqrt{105^2 + 16^2 + 2 \cdot 105 \cdot 16 \cdot \cos 20^\circ} \approx 120,36 , \text{km}. $$

b) Hướng từ AA đến CC: $$ \tan \alpha = \frac{16}{105 \sin 70^\circ} \approx 0,1435 \Rightarrow \alpha \approx 8,2^\circ. $$

Do đó hướng S(90∘−8,2∘)E≈S81,8∘ES(90^\circ - 8,2^\circ)E \approx S81,8^\circ E.

Kết quả: a) 120,36120,36 km, b) S81,8∘ES81,8^\circ E.