Trang 44 — Chương 3: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài 3.9. Trên nóc một toà nhà có một cột ăng-ten cao 55 m. Từ một vị trí quan sát AA cao 77 m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh BB và chân CC của cột ăng-ten, với các góc tương ứng là 50∘50^\circ và 40∘40^\circ so với phương nằm ngang (H.3.18).

a) Tính các góc của tam giác ABCABC.

b) Tính chiều cao của toà nhà.

Lời giải:

a) Trong tam giác ABCABC, ta có BAC^=50∘−40∘=10∘\widehat{BAC} = 50^\circ - 40^\circ = 10^\circ.

Áp dụng định lý sin⁡\sin trong tam giác ABCABC, ta có: $$ \frac{BC}{\sin \widehat{BAC}} = \frac{AC}{\sin \widehat{ABC}} \iff \frac{5}{\sin 10^\circ} = \frac{AC}{\sin \widehat{ABC}} $$

Tuy nhiên, để tính các góc của tam giác ABCABC, ta cần thêm thông tin hoặc một cạnh khác.

Ta có ACB^=180∘−BAC^−ABC^\widehat{ACB} = 180^\circ - \widehat{BAC} - \widehat{ABC}, nhưng chưa đủ thông tin để tính trực tiếp.

b) Đặt CH=xCH = x, AH=yAH = y.

Ta có:

  • CH=xCH = x
  • AH=yAH = y

Từ dữ kiện bài toán:

  • tan⁡40∘=xy  ⟺  y=xtan⁡40∘\tan 40^\circ = \frac{x}{y} \iff y = \frac{x}{\tan 40^\circ}
  • tan⁡50∘=x+5y  ⟺  y=x+5tan⁡50∘\tan 50^\circ = \frac{x + 5}{y} \iff y = \frac{x + 5}{\tan 50^\circ}

Đồng nhất hai biểu thức của yy:

xtan⁡40∘=x+5tan⁡50∘  ⟺  xtan⁡50∘=(x+5)tan⁡40∘  ⟺  x(tan⁡50∘−tan⁡40∘)=5tan⁡40∘  ⟺  x=5tan⁡40∘tan⁡50∘−tan⁡40∘\begin{aligned} &\frac{x}{\tan 40^\circ} = \frac{x + 5}{\tan 50^\circ} \\ \iff & x \tan 50^\circ = (x+5) \tan 40^\circ \\ \iff & x (\tan 50^\circ - \tan 40^\circ) = 5 \tan 40^\circ \\ \iff & x = \frac{5 \tan 40^\circ}{\tan 50^\circ - \tan 40^\circ} \\ \end{aligned}

Tính toán:

  • tan⁡40∘≈0.8391\tan 40^\circ \approx 0.8391
  • tan⁡50∘≈1.1918\tan 50^\circ \approx 1.1918
x≈5⋅0.83911.1918−0.8391≈4.19550.3527≈11.9\begin{aligned} x &\approx \frac{5 \cdot 0.8391}{1.1918 - 0.8391} \\ &\approx \frac{4.1955}{0.3527} \\ &\approx 11.9 \end{aligned}

Chiều cao toà nhà là 7+11.9=18.97 + 11.9 = 18.9 m.

Kết quả: ≈18.9\approx 18.9 m

Bài 3.10. Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình, ta có thể ngắm được Đảo Yến. Hãy đề xuất một cách xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được).

Lời giải:

  • Chọn một điểm cố định AA trên bãi biển.
  • Xác định một điểm BB khác trên bãi biển sao cho có thể ngắm được cả hai điểm CC và DD (điểm gần và điểm xa nhất trên đảo).
  • Đo góc ∠BAC\angle BAC.

Sử dụng công thức: $$ \tan \angle BAC = \frac{BC}{AC} $$

Tuy nhiên, không có số liệu cụ thể nên không thể tính toán chính xác.

Bài 3.11. Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ AA tới DD. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ?

Lời giải:

Áp dụng định lý \cosin\cosin trong tam giác ABCABC:

AC2=82+62−2⋅8⋅6⋅cos⁡105∘≈64+36−96⋅(−0.2588)≈100+24.84≈124.84  ⟺  AC≈124.84≈11.17 km\begin{aligned} AC^2 &= 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos 105^\circ \\ &\approx 64 + 36 - 96 \cdot (-0.2588) \\ &\approx 100 + 24.84 \\ &\approx 124.84 \\ \iff AC &\approx \sqrt{124.84} \approx 11.17 \text{ km} \end{aligned}

Tương tự, trong tam giác ACDACD:

AD2=11.172+122−2⋅11.17⋅12⋅cos⁡135∘≈124.84+144+189.55≈458.39  ⟺  AD≈458.39≈21.41 km\begin{aligned} AD^2 &= 11.17^2 + 12^2 - 2 \cdot 11.17 \cdot 12 \cdot \cos 135^\circ \\ &\approx 124.84 + 144 + 189.55 \\ &\approx 458.39 \\ \iff AD &\approx \sqrt{458.39} \approx 21.41 \text{ km} \end{aligned}

Độ dài đường cũ là 8+6+12=268 + 6 + 12 = 26 km.

Độ dài đường mới giảm: 26−21.41=4.5926 - 21.41 = 4.59 km.

Kết quả: 4.594.59 km

Trang 45 — Bài tập cuối chương III

Trắc nghiệm

3.12. Cho tam giác ABCABC có B=135∘B = 135^\circ. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) A.S=12ca.A. S = \frac{1}{2}ca.
B. S=−24ac.S = -\frac{\sqrt{2}}{4}ac.
C. S=24bc.S = \frac{\sqrt{2}}{4}bc.
D. S=24ca.S = \frac{\sqrt{2}}{4}ca.

Lời giải:
Diện tích tam giác ABCABC được tính theo công thức:
$$ S = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2}ac \sin B $$
Với B=135∘,B = 135^\circ, ta có:
$$ \sin B = \sin 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $$
Do đó:
$$ S = \frac{1}{2}ac \cdot \sin 135^\circ = \frac{1}{2}ac \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}ac $$
Vậy đáp án đúng là D.

3.13. Cho tam giác ABCABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) A.S=abc4r.A. S = \frac{abc}{4r}.
B. r=2Sa+b+c.r = \frac{2S}{a + b + c}.
C. a2=b2+c2+2bccos⁡A.a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos A.
D. S=r(a+b+c).S = r(a + b + c).

Lời giải:
Công thức diện tích tam giác:
$$ S = \frac{abc}{4R} $$
và bán kính đường tròn nội tiếp:
$$ r = \frac{S}{p} = \frac{2S}{a + b + c} $$
Do đó, khẳng định B là đúng.

Tự luận

3.14. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) M=sin⁡45∘⋅cos⁡45∘+sin⁡30∘M = \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ + \sin 30^\circ

Lời giải:
$$ M = \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ + \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $$

Kết quả: 11

b) N=sin⁡60∘⋅cos⁡30∘+12sin⁡45∘⋅cos⁡45∘N = \sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ + \frac{1}{2} \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ

Lời giải:
$$ N = \sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ + \frac{1}{2} \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1 $$

Kết quả: 11

c) P=1+tan⁡260∘P = 1 + \tan^2 60^\circ

Lời giải:
$$ P = 1 + \tan^2 60^\circ = 1 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4 $$

Kết quả: 44

d) Q=1sin⁡2120∘−cot⁡2120∘Q = \frac{1}{\sin^2 120^\circ} - \cot^2 120^\circ

Lời giải:
$$ Q = \frac{1}{\sin^2 120^\circ} - \cot^2 120^\circ = \frac{1}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} - \left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{\frac{3}{4}} - \frac{1}{3} = \frac{4}{3} - \frac{1}{3} = 1 $$

Kết quả: 11

3.15. Cho tam giác ABCABC có B=60∘,C=45∘,AC=10B = 60^\circ, C = 45^\circ, AC = 10. Tính a,R,S,ra, R, S, r.

Lời giải:
Ta có:
$$ A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ $$

  1. Tính aa:
    Áp dụng định lý sin⁡\sin:

    \frac{a}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \Rightarrow a = \frac{AC \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{10 \cdot \sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} $$ Với $\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$, ta có:

    a = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2\sqrt{3}} = \frac{5(\sqrt{6} + \sqrt{2})\sqrt{3}}{3}
    $$

  2. Tính RR:

    R=a2sin⁡A=AC2sin⁡B=102sin⁡60∘=103=1033R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{AC}{2\sin B} = \frac{10}{2\sin 60^\circ} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}

  3. Tính SS:

    S = \frac{1}{2}AC \cdot AB \sin A $$ Hoặc:

    S = \frac{AC^2 \sin B \sin C}{2\sin A} = \frac{100 \sin 60^\circ \sin 45^\circ}{2\sin 75^\circ} $$

  4. Tính rr:

    r=Sp=Sa+b+c2r = \frac{S}{p} = \frac{S}{\frac{a + b + c}{2}}

Kết quả: Tùy theo các giá trị cụ thể.

3.16. Cho tam giác ABCABC có trung tuyến AMAM. Chứng minh rằng:

a) cos⁡AMB^+cos⁡AMC^=0\cos \widehat{AMB} + \cos \widehat{AMC} = 0

Lời giải:
$$ \cos \widehat{AMB} + \cos \widehat{AMC} = 0 \Leftrightarrow \cos \widehat{AMB} = -\cos \widehat{AMC} = \cos (180^\circ - \widehat{AMC}) $$
Do AMB^\widehat{AMB} và AMC^\widehat{AMC} bù nhau, nên chứng minh được.

b) MA2+MB2−AB2=2MA⋅MBcos⁡AMB^MA^2 + MB^2 - AB^2 = 2MA \cdot MB \cos \widehat{AMB} và MA2+MC2−AC2=2MA⋅MCcos⁡AMC^MA^2 + MC^2 - AC^2 = 2MA \cdot MC \cos \widehat{AMC}

Lời giải:
Áp dụng định lý cos⁡\cos trong tam giác AMBAMB:
$$ AB^2 = MA^2 + MB^2 - 2MA \cdot MB \cos \widehat{AMB} $$
Suy ra:
$$ MA^2 + MB^2 - AB^2 = 2MA \cdot MB \cos \widehat{AMB} $$

c) MA2=2(AB2+AC2)−BC24MA^2 = \frac{2(AB^2 + AC^2) - BC^2}{4}

Lời giải:
Sử dụng công thức:
$$ MA^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4} $$

3.17. Cho tam giác ABCABC. Chứng minh rằng:

a) Nếu góc AA nhọn thì b2+c2>a2b^2 + c^2 > a^2

Lời giải:
Áp dụng định lý cos⁡\cos:
$$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A $$
Nếu AA nhọn ⇒cos⁡A>0⇒−2bccos⁡A<0⇒a2<b2+c2\Rightarrow \cos A > 0 \Rightarrow -2bc\cos A < 0 \Rightarrow a^2 < b^2 + c^2

b) Nếu góc AA tù thì b2+c2<a2b^2 + c^2 < a^2

Lời giải:
Nếu AA tù ⇒cos⁡A<0⇒−2bccos⁡A>0⇒a2>b2+c2\Rightarrow \cos A < 0 \Rightarrow -2bc\cos A > 0 \Rightarrow a^2 > b^2 + c^2

c) Nếu góc AA vuông thì b2+c2=a2b^2 + c^2 = a^2

Lời giải:
Nếu A=90∘⇒cos⁡A=0⇒a2=b2+c2A = 90^\circ \Rightarrow \cos A = 0 \Rightarrow a^2 = b^2 + c^2 (Định lý Pythagoras).

Trang 46 — Vecto

Bài 3.18. Trên biển, tàu BB ở vị trí cách tàu AA 5353 km về hướng N34∘E\text{N34}^\circ \text{E}. Sau đó, tàu BB chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 3030 km/h về hướng đông và tàu AA chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 5050 km/h để đuổi kịp tàu BB.

a)a) Hỏi tàu AA cần phải chuyển động theo hướng nào?

b)b) Với hướng chuyển động đó thì sau bao lâu tàu AA đuổi kịp tàu BB?

Lời giải:

a)a) Ta có thể mô hình hóa bài toán như sau: tàu AA ở vị trí AA, tàu BB ở vị trí BB và cách AA 5353 km về hướng N34∘E\text{N34}^\circ \text{E}. Tàu BB di chuyển về hướng đông với vận tốc 3030 km/h, tàu AA di chuyển với vận tốc 5050 km/h.

Gọi α\alpha là góc BAC^\widehat{BAC}, với CC là vị trí tàu AA đuổi kịp tàu BB.

Ta có sin⁡α=ABAC⋅sin⁡56∘=53AC⋅sin⁡56∘\sin \alpha = \frac{AB}{AC} \cdot \sin 56^\circ = \frac{53}{AC} \cdot \sin 56^\circ.

Và ABsin⁡α=BCsin⁡(124∘−α)\frac{AB}{\sin \alpha} = \frac{BC}{\sin (124^\circ - \alpha)}

⇒53sin⁡(124∘−α)=AC⋅sin⁡α⋅sin⁡(124∘−α)\Rightarrow 53 \sin (124^\circ - \alpha) = AC \cdot \sin \alpha \cdot \sin (124^\circ - \alpha)

⇒53=50t⋅sin⁡α\Rightarrow 53 = 50t \cdot \sin \alpha

⇒t=5350sin⁡α\Rightarrow t = \frac{53}{50 \sin \alpha}.

Lại có BC=30t=30⋅5350sin⁡αBC = 30t = 30 \cdot \frac{53}{50 \sin \alpha}

⇒sin⁡(124∘−α)30⋅5350sin⁡α=sin⁡α53\Rightarrow \frac{\sin (124^\circ - \alpha)}{30 \cdot \frac{53}{50 \sin \alpha}} = \frac{\sin \alpha}{53}

⇒sin⁡(124∘−α)=3050sin⁡α\Rightarrow \sin (124^\circ - \alpha) = \frac{30}{50} \sin \alpha

⇒sin⁡(124∘−α)=35sin⁡α\Rightarrow \sin (124^\circ - \alpha) = \frac{3}{5} \sin \alpha

⇒sin⁡124∘cos⁡α−cos⁡124∘sin⁡α=35sin⁡α\Rightarrow \sin 124^\circ \cos \alpha - \cos 124^\circ \sin \alpha = \frac{3}{5} \sin \alpha

⇒0,8cos⁡α−(−0,6)sin⁡α=35sin⁡α\Rightarrow 0,8 \cos \alpha - (-0,6) \sin \alpha = \frac{3}{5} \sin \alpha

⇒0,8cos⁡α=35sin⁡α−0,6sin⁡α\Rightarrow 0,8 \cos \alpha = \frac{3}{5} \sin \alpha - 0,6 \sin \alpha

⇒0,8cos⁡α=0⋅sin⁡α\Rightarrow 0,8 \cos \alpha = 0 \cdot \sin \alpha

⇒cos⁡α=0\Rightarrow \cos \alpha = 0

⇒α=90∘\Rightarrow \alpha = 90^\circ.

Vậy tàu AA cần phải chuyển động theo hướng vuông góc với hướng ban đầu.

b)b) Thời gian để tàu AA đuổi kịp tàu BB là t=5350sin⁡90∘=5350=1,06t = \frac{53}{50 \sin 90^\circ} = \frac{53}{50} = 1,06 giờ.

Kết quả: a)a) vuông góc với hướng ban đầu; b)b) 1,061,06 giờ.

Bài 3.19. Trên sân bóng chày dành cho nam, các vị trí gôn Nhà (Home plate), gôn 11 (First base), gôn 22 (Second base), gôn 33 (Third base) là bốn đỉnh của một hình vuông có cạnh dài 27,427,4 m. Vị trí đứng ném bóng (Pitcher's mound) nằm trên đường nối gôn Nhà với gôn 22, và cách gôn Nhà 18,4418,44 m. Tính các khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng tới các gôn 11 và gôn 33.

Lời giải:

Gọi AA là vị trí gôn Nhà, BB là vị trí gôn 11, CC là vị trí gôn 22, DD là vị trí gôn 33 và EE là vị trí đứng ném bóng.

Ta có AB=BC=CD=DA=27,4AB = BC = CD = DA = 27,4 m và AE=18,44AE = 18,44 m.

Ta có △ABE\triangle ABE vuông tại AA.

⇒BE=AE2+AB2=18,442+27,42≈32,96\Rightarrow BE = \sqrt{AE^2 + AB^2} = \sqrt{18,44^2 + 27,4^2} \approx 32,96 m.

Lại có △CDE\triangle CDE vuông tại DD.

⇒CE=CD2+DE2=27,42+(27,4−18,44)2≈24,01\Rightarrow CE = \sqrt{CD^2 + DE^2} = \sqrt{27,4^2 + (27,4 - 18,44)^2} \approx 24,01 m.

Kết quả: khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng tới gôn 11 là 32,9632,96 m và tới gôn 33 là 24,0124,01 m.

Trang 47 — CHƯƠNG IV. VECTƠ

Không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hay ví dụ cần giải trên trang này. Toàn bộ nội dung là lý thuyết.

SKIP