Trang 48 — Vectơ

Bài tập

Luyện tập 1

Luyện tập 1. Cho tam giác đều ABCABC với cạnh có độ dài bằng aa. Hãy chỉ ra các vectơ có độ dài bằng aa và có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của tam giác ABCABC.

Lời giải: Tam giác ABCABC đều có độ dài cạnh bằng aa nên ta có các vectơ có độ dài bằng aa là:

  • AB→\overrightarrow{AB}
  • BA→\overrightarrow{BA}
  • BC→\overrightarrow{BC}
  • CB→\overrightarrow{CB}
  • AC→\overrightarrow{AC}
  • CA→\overrightarrow{CA}

Kết quả: AB→,BA→,BC→,CB→,AC→,CA→\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CA}.

HĐ2.

HĐ2. Quan sát các làn đường trong Hình 4.5 và cho biết những nhận xét nào sau đây là đúng. a) Các làn đường song song với nhau. b) Các xe chạy theo cùng một hướng. c) Hai xe bất kì đều chạy theo cùng một hướng hoặc hai hướng ngược nhau.

Lời giải: a) Các làn đường song song với nhau: Đúng, vì các làn đường trong hình vẽ là các đường thẳng song song. b) Các xe chạy theo cùng một hướng: Sai, vì các xe có thể chạy theo các hướng khác nhau. c) Hai xe bất kì đều chạy theo cùng một hướng hoặc hai hướng ngược nhau: Đúng, vì các xe trong hình vẽ đều có hướng chuyển động cùng một hướng hoặc ngược nhau.

Kết quả: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng.

Trang 49 —

Trang này không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hay ví dụ cần giải. Toàn bộ nội dung trên trang là phần lý thuyết.

Vậy, kết quả là: SKIP\boxed{SKIP}

Trang 50 — Chương 4: Vecto

Luyện tập 2. Cho hình thang cân ABCDABCD với hai đáy AB,CD,AB<CDAB, CD, AB < CD (H.4.10). Hãy chỉ ra mối quan hệ về độ dài, phương, hướng giữa các cặp vecto AD→\overrightarrow{AD} và BC→\overrightarrow{BC}, AB→\overrightarrow{AB} và CD→\overrightarrow{CD}, AC→\overrightarrow{AC} và BD→\overrightarrow{BD}. Có cặp vecto nào trong các cặp vecto trên bằng nhau hay không?

Lời giải:

  • Hình thang cân ABCDABCD có ABAB song song với CDCD và AD=BCAD = BC.

  • Độ dài: ∣AD→∣=∣BC→∣|\overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{BC}| do AD=BCAD = BC.

  • Phương: AD→\overrightarrow{AD} và BC→\overrightarrow{BC} có phương khác nhau.

  • Hướng: AD→\overrightarrow{AD} và BC→\overrightarrow{BC} có hướng khác nhau.

  • AB→\overrightarrow{AB} và CD→\overrightarrow{CD}:

    • Độ dài: ∣AB→∣<∣CD→∣|\overrightarrow{AB}| < |\overrightarrow{CD}| do AB<CDAB < CD.
    • Phương: Cùng phương.
    • Hướng: Ngược hướng.

  • AC→\overrightarrow{AC} và BD→\overrightarrow{BD}:

    • Độ dài: ∣AC→∣=∣BD→∣|\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{BD}| do ABCDABCD là hình thang cân.
    • Phương: Khác phương.
    • Hướng: Ngược hướng.

Kết quả: Không có cặp vecto nào bằng nhau.

Luyện tập 3. Trong các điều kiện dưới đây, chọn điều kiện cần và đủ để một điểm MM nằm giữa hai điểm phân biệt AA và BB.

a) AB→\overrightarrow{AB} và AM→\overrightarrow{AM} ngược hướng.

b) MA→\overrightarrow{MA} và MB→\overrightarrow{MB} cùng phương.

c) AB→\overrightarrow{AB} và AM→\overrightarrow{AM} cùng hướng.

d) MA→\overrightarrow{MA} và MB→\overrightarrow{MB} ngược hướng.

Lời giải:

  • Điều kiện cần và đủ để MM nằm giữa AA và BB là MA→\overrightarrow{MA} và MB→\overrightarrow{MB} ngược hướng.

  • Xét từng đáp án:

    • a) AB→\overrightarrow{AB} và AM→\overrightarrow{AM} ngược hướng ⇒M\Rightarrow M nằm giữa AA và BB.
    • b) MA→\overrightarrow{MA} và MB→\overrightarrow{MB} cùng phương nhưng chưa chắc MM nằm giữa AA và BB.
    • c) AB→\overrightarrow{AB} và AM→\overrightarrow{AM} cùng hướng ⇒M\Rightarrow M không nằm giữa AA và BB.
    • d) MA→\overrightarrow{MA} và MB→\overrightarrow{MB} ngược hướng ⇒M\Rightarrow M nằm giữa AA và BB.

Kết quả: a) và d).

Trang 51 — Chương 4: Vectơ

Bài 4.1. Cho ba vecto a→\overrightarrow{a}, b→\overrightarrow{b}, c→\overrightarrow{c} đều khác 0→\overrightarrow{0}. Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) a→\overrightarrow{a}, b→\overrightarrow{b} đều cùng hướng với 0→\overrightarrow{0};

b) Nếu b→\overrightarrow{b} không cùng hướng với a→\overrightarrow{a} thì b→\overrightarrow{b} ngược hướng với a→\overrightarrow{a};

c) Nếu a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} đều cùng phương với c→\overrightarrow{c} thì a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} cùng phương;

d) Nếu a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} đều cùng hướng với c→\overrightarrow{c} thì a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} cùng hướng.

Lời giải:

a) 0→\overrightarrow{0} là vecto không, không có hướng. Do đó, a→\overrightarrow{a}, b→\overrightarrow{b} không cùng hướng với 0→\overrightarrow{0}.

⇒\Rightarrow Khẳng định a) sai.

b) Hai vecto a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} cùng phương nhưng không cùng hướng thì b→\overrightarrow{b} ngược hướng với a→\overrightarrow{a}.

⇒\Rightarrow Khẳng định b) đúng.

c) Nếu a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} đều cùng phương với c→\overrightarrow{c} thì a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} cùng phương.

⇒\Rightarrow Khẳng định c) đúng.

d) Nếu a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} đều cùng hướng với c→\overrightarrow{c} thì a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} cùng hướng.

⇒\Rightarrow Khẳng định d) đúng.

Kết quả: Các khẳng định đúng: b), c), d).

Bài 4.2. Trong Hình 4.12, hãy chỉ ra các vecto cùng phương, các cặp vecto ngược hướng và các cặp vecto bằng nhau.

Lời giải:

  • Các vecto cùng phương: a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b}, a→\overrightarrow{a} và c→\overrightarrow{c}, b→\overrightarrow{b} và c→\overrightarrow{c}, d→\overrightarrow{d} và c→\overrightarrow{c}.
  • Cặp vecto ngược hướng: a→\overrightarrow{a} và c→\overrightarrow{c}, b→\overrightarrow{b} và c→\overrightarrow{c}.
  • Cặp vecto bằng nhau: a→\overrightarrow{a} và d→\overrightarrow{d}.

Bài 4.3. Chứng minh rằng tứ giác ABCDABCD là một hình bình hành khi và chỉ khi BC→=AD→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}.

Lời giải:

Tứ giác ABCDABCD là hình bình hành ⇔BC→=AD→\Leftrightarrow \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}.

⇒\Rightarrow Điều kiện cần:

  • Giả sử ABCDABCD là hình bình hành.

$$ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}. $$

⇒\Rightarrow Điều kiện đủ:

  • Giả sử BC→=AD→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}.
BC→=AD→⇒{ cuˋng phương cuˋng độ lớn\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} &\text{ cùng phương} \\ &\text{ cùng độ lớn} \end{aligned} \right.

⇒BC//AD\Rightarrow BC // AD và BC=ADBC = AD.

⇒\Rightarrow Tứ giác ABCDABCD là hình bình hành.

Bài 4.4. Cho hình vuông ABCDABCD có hai đường chéo cắt nhau tại OO. Hãy chỉ ra tập hợp SS gồm tất cả các vecto khác 0→\overrightarrow{0}, có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp {A;B;C;D;O}\{A; B; C; D; O\}. Hãy chia tập SS thành các nhóm sao cho hai vecto thuộc cùng một nhóm khi và chỉ khi chúng bằng nhau.

Lời giải:

Các vecto bằng nhau:

  • AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}
  • BA→=CD→\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}
  • AD→=BC→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}
  • DA→=CB→\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{CB}
  • AO→=OC→\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OC}
  • OA→=CO→\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CO}
  • BO→=OD→\overrightarrow{BO} = \overrightarrow{OD}
  • OB→=DO→\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{DO}

Kết quả: 8 nhóm.

Bài 4.5. Trên mặt phẳng tọa độ OxyOxy, hãy vẽ các vecto OA→\overrightarrow{OA}, MN→\overrightarrow{MN} với A(1;2),M(0;−1),N(3;5)A(1; 2), M(0; -1), N(3; 5).

a) Chỉ ra mối quan hệ giữa hai vecto trên.

b) Một vật thể khởi hành từ MM và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi vecto v→=OA→\overrightarrow{v} = \overrightarrow{OA}. Hỏi vật thể đó có đi qua NN hay không? Nếu có thì sau bao lâu vật sẽ tới NN?

Lời giải:

a) OA→=(1;2)\overrightarrow{OA} = (1; 2) và MN→=(3;6)\overrightarrow{MN} = (3; 6).

Ta có: MN→=3OA→\overrightarrow{MN} = 3\overrightarrow{OA}.

⇒\Rightarrow Hai vecto OA→\overrightarrow{OA} và MN→\overrightarrow{MN} cùng phương.

b) Phương trình đường thẳng dd đi qua M(0;−1)M(0; -1) và có vecto chỉ phương v→=(1;2)\overrightarrow{v} = (1; 2):

x1=y+12⇔2x−y−1=0\frac{x}{1} = \frac{y+1}{2} \Leftrightarrow 2x - y - 1 = 0

Thay điểm N(3;5)N(3; 5) vào phương trình đường thẳng dd:

2⋅3−5−1=02 \cdot 3 - 5 - 1 = 0

⇒\Rightarrow Điểm NN nằm trên đường thẳng dd.

⇒\Rightarrow Vật thể đi qua NN.

Thời gian vật thể đi từ MM đến NN:

MN→=3OA→⇒t=3\overrightarrow{MN} = 3\overrightarrow{OA} \Rightarrow t = 3 giờ.

Kết quả: Vật thể đi qua NN sau 33 giờ.