Trang 51 — Tổng và hiệu của hai vecto

Trang này không có BÀI TẬP / CÂU HỎI / LUYỆN TẬP / VÍ DỤ cần giải.

SKIP

Trang 53 — Vectơ

Bài tập

Bài 1. Cho hình thoi ABCDABCD với cạnh có độ dài bằng 11 và BAD^=120∘\widehat{BAD}=120^{\circ}. Tính độ dài của các vecto CB→+CD→\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}, DB→+CD→+BA→\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BA}.

Lời giải:

Đầu tiên, ta cần hiểu rõ hình thoi ABCDABCD có các tính chất sau:

  • Tất cả các cạnh có độ dài bằng nhau: AB=BC=CD=DA=1AB = BC = CD = DA = 1.
  • Các góc đối bằng nhau.
  • Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Với BAD^=120∘\widehat{BAD} = 120^{\circ}, suy ra ABC^=60∘\widehat{ABC} = 60^{\circ}.

1. Tính độ dài của vecto CB→+CD→\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}

Ta có:
CB→+CD→=CA→\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA}.

Do ABCDABCD là hình thoi, nên ACAC là đường chéo của hình thoi. Từ hình thoi, ta biết rằng đường chéo ACAC chia hình thoi thành hai tam giác đều. Suy ra AC=1×3=3AC = 1 \times \sqrt{3} = \sqrt{3}.

Vậy ∣CB→+CD→∣=∣CA→∣=AC=3|\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}| = |\overrightarrow{CA}| = AC = \sqrt{3}.

2. Tính độ dài của vecto DB→+CD→+BA→\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BA}

Ta có:
DB→+CD→+BA→=(DB→+BA→)+CD→=DA→+CD→=CA→\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BA} = (\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BA}) + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA}.

Như đã tính ở trên, ∣CA→∣=3|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{3}.

Kết quả: 3,3\sqrt{3}, \sqrt{3}

Trang 54 — Chương 4: Vectơ

Luyện tập 2. Cho tứ giác ABCDABCD. Gọi M,NM, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,CDAB, CD và OO là trung điểm của MNMN. Chứng minh rằng OA→+OB→+OC→+OD→=0→\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}.

Lời giải:

Trước tiên, ta có thể biểu diễn các vectơ OM→\overrightarrow{OM} và ON→\overrightarrow{ON} như sau:

OM→=OA→+OB→2,ON→=OC→+OD→2.\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2}, \quad \overrightarrow{ON} = \frac{\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}}{2}.

Do OO là trung điểm của MNMN, ta có OM→=−ON→\overrightarrow{OM} = -\overrightarrow{ON}. Từ đó:

OA→+OB→2=−OC→+OD→2.\frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2} = -\frac{\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}}{2}.

Nhân cả hai vế với 22, ta có:

OA→+OB→=−OC→−OD→.\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD}.

Sắp xếp lại, ta được:

OA→+OB→+OC→+OD→=0→.\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}.

Kết quả: OA→+OB→+OC→+OD→=0→\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}

Trang 55 — Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Bài 4.6. Cho bốn điểm A,B,C,DA, B, C, D. Chứng minh rằng:

a)AB→+BC→+CD→+DA→=0→a) \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0};

Lời giải:

a)a) Ta có:

AB→+BC→+CD→+DA→=(AB→+BC→)+(CD→+DA→)=AC→+CA→=AC→−AC→=0→.\begin{aligned} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} &= (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}) \\ &= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} \\ &= \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AC} \\ &= \overrightarrow{0}. \end{aligned}

Kết quả: 0→\overrightarrow{0}

Bài 4.6 (tiếp).

b)AC→−AD→=BC→−BD→b) \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BD}.

Lời giải:

b)b) Ta có:

AC→−AD→=DC→BC→−BD→=DC→.\begin{aligned} \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} &= \overrightarrow{DC} \\ \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BD} &= \overrightarrow{DC}. \end{aligned}

Do đó AC→−AD→=BC→−BD→\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BD}.

Kết quả: DC→\overrightarrow{DC}

Bài 4.7. Cho hình bình hành ABCDABCD. Hãy tìm điểm MM để BM→=AB→+AD→\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}. Tìm mối quan hệ giữa hai vecto CD→\overrightarrow{CD} và CM→\overrightarrow{CM} .

Lời giải:

Ta có:

BM→=AB→+AD→=AD→+AB→=AC→.\begin{aligned} \overrightarrow{BM} &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \\ &= \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} \\ &= \overrightarrow{AC}. \end{aligned}

Suy ra MM là điểm sao cho tứ giác ABMCABMC là hình bình hành.

Do đó CD→=BA→\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} và CM→=DA→\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{DA}.

Kết quả: CD→=BA→\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} và CM→=DA→\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{DA}

Bài 4.8. Cho tam giác đều ABCABC có cạnh bằng aa. Tính độ dài của các vecto AB→−AC→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}, AB→+AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}.

Lời giải:

Ta có:

∣AB→−AC→∣=∣CB→∣=a.\begin{aligned} |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}| &= |\overrightarrow{CB}| \\ &= a. \end{aligned} ∣AB→+AC→∣=AB2+AC2+2AB→⋅AC→=a2+a2+2⋅a⋅a⋅cos⁡60∘=3a2=a3.\begin{aligned} |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| &= \sqrt{AB^2 + AC^2 + 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}} \\ &= \sqrt{a^2 + a^2 + 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos 60^{\circ}} \\ &= \sqrt{3a^2} \\ &= a\sqrt{3}. \end{aligned}

Kết quả: aa và a3a\sqrt{3}

Bài 4.9. Hình 4.19 biểu diễn hai lực F1→,F2→\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2} cùng tác động lên một vật, cho ∣F1→∣=3 N|\overrightarrow{F_1}| = 3 \text{ N}, ∣F2→∣=2 N|\overrightarrow{F_2}| = 2 \text{ N}. Tính độ lớn của hợp lực F1→+F2→\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}.

Lời giải:

Ta có:

∣F1→+F2→∣=∣F1→∣2+∣F2→∣2+2∣F1→∣⋅∣F2→∣⋅cos⁡120∘=32+22+2⋅3⋅2⋅(−12)=7 N.\begin{aligned} |\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}| &= \sqrt{|\overrightarrow{F_1}|^2 + |\overrightarrow{F_2}|^2 + 2|\overrightarrow{F_1}| \cdot |\overrightarrow{F_2}| \cdot \cos 120^{\circ}} \\ &= \sqrt{3^2 + 2^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} \\ &= \sqrt{7} \text{ N}. \end{aligned}

Kết quả: 7 N\sqrt{7} \text{ N}

Bài 4.10. Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này để sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không đổi và có độ lớn bằng nhau. Hai tàu luôn được giữ lái sao cho chúng tạo với bờ cùng một góc nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng nguồn (hình bên). Vận tốc dòng nước là đáng kể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng tới vận tốc của các tàu. Hỏi tàu nào sang bờ bên kia trước?

Lời giải:

Gọi vv là vận tốc riêng của tàu, uu là vận tốc dòng nước.

Vecto vận tốc của tàu 1: v1→=v→+u→\overrightarrow{v_1} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}.

Vecto vận tốc của tàu 2: v2→=v→−u→\overrightarrow{v_2} = \overrightarrow{v} - \overrightarrow{u}.

Độ lớn vận tốc của tàu 1: ∣v1→∣=v2+u2+2vucos⁡α|\overrightarrow{v_1}| = \sqrt{v^2 + u^2 + 2vu\cos\alpha}.

Độ lớn vận tốc của tàu 2: ∣v2→∣=v2+u2−2vucos⁡α|\overrightarrow{v_2}| = \sqrt{v^2 + u^2 - 2vu\cos\alpha}.

Do cos⁡α>0\cos\alpha > 0 nên ∣v1→∣>∣v2→∣|\overrightarrow{v_1}| > |\overrightarrow{v_2}|.

Vậy tàu 2 sang bờ bên kia trước.

Kết quả: Tàu 2.