Giải Toán 10 Tập 1 trang 60-63 - Kết nối tri thức

Trang 60 — Chương 4: Vecto

Bài 4.15. Chất điểm A chịu tác động của ba lực $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}$, như Hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là $\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{0}$). Tính độ lớn của các lực $\overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}$, biết $\overrightarrow{F_1}$ có độ lớn là $20$ N.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} = -\overrightarrow{F_1}$

$\Rightarrow \left| \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} \right| = \left| -\overrightarrow{F_1} \right| = \left| \overrightarrow{F_1} \right| = 20$ N

Từ hình vẽ, ta thấy rằng $\overrightarrow{F_2}$ và $\overrightarrow{F_3}$ tạo thành một góc $120^\circ$.

Áp dụng định luật cosin trong tam giác:

$$\begin{aligned} \left| \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} \right|^2 &= F_2^2 + F_3^2 + 2F_2F_3 \cdot \cos 120^\circ \\ &= F_2^2 + F_3^2 - F_2F_3. \end{aligned}$$

Mặt khác, do tính chất đối xứng và $\left| \overrightarrow{F_2} \right| = \left| \overrightarrow{F_3} \right|$, nên $F_2 = F_3$.

Khi đó: $$ \begin{aligned} 20^2 &= 2F_2^2 - F_2^2 \ \Rightarrow F_2^2 &= 400 \ \Rightarrow F_2 &= 20 \text{ N}. \end{aligned} $$

Vậy $F_2 = F_3 = 20$ N.

Kết quả: $F_2 = F_3 = 20$ N.

---

Trang 61 — Vecto trong mặt phẳng tọa độ

1. Toạ độ của vecto

HĐ1. Trên trục số $\textit{Ox}$, gọi $A$ là điểm biểu diễn số $1$ và đặt $\overrightarrow{OA} = \vec{i}$ (H.4.32a). Gọi $M$ là điểm biểu diễn số $4$, $N$ là điểm biểu diễn số $-\frac{3}{2}$. Hãy biểu thị mỗi vecto $\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}$ theo vecto $\vec{i}$.

Lời giải:

Ta có $\vec{i} = \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OM_1}$ với $M_1$ là điểm biểu diễn số $1$ trên trục $Ox$.

Do đó $\overrightarrow{OM} = 4\overrightarrow{OM_1} = 4\vec{i}$.

Tương tự, ta có $\overrightarrow{ON} = -\frac{3}{2}\overrightarrow{OM_1} = -\frac{3}{2}\vec{i}$.

Kết quả: $\overrightarrow{OM} = 4\vec{i}$; $\overrightarrow{ON} = -\frac{3}{2}\vec{i}$

Trục tọa độ (còn gọi là trục, hay trục số) là một đường thẳng mà trên đó đã xác định một điểm $O$ và một vecto $\vec{i}$ có độ dài bằng $1$. Điểm $O$ gọi là gốc tọa độ, vecto $\vec{i}$ gọi là vecto đơn vị của trục. Điểm $M$ trên trục biểu diễn số $x_0$ nếu $\overrightarrow{OM} = x_0\vec{i}$.

---

Trang 62 — Vectơ

Bài tập

HĐ2

Trong Hình 4.33:

$a)$ Hãy biểu thị mỗi vecto $\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}$ theo các vecto $\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}$.

$b)$ Hãy biểu thị vecto $\overrightarrow{MN}$ theo các vecto $\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}$, từ đó biểu thị vecto $\overrightarrow{MN}$ theo các vecto $\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}$.

Lời giải:

$a)$ Dựa vào hình vẽ, ta có:

• $\overrightarrow{OM} = 3\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j}$
• $\overrightarrow{ON} = -2\overrightarrow{i} + \frac{5}{2}\overrightarrow{j}$

$b)$ Ta có:

• $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM} = (-2\overrightarrow{i} + \frac{5}{2}\overrightarrow{j}) - (3\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j}) = -5\overrightarrow{i} - \frac{5}{2}\overrightarrow{j}$

Kết quả: $\overrightarrow{MN} = -5\overrightarrow{i} - \frac{5}{2}\overrightarrow{j}$

---

Luyện tập 1

Tìm tọa độ của $\overrightarrow{0}$.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{0} = 0\overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j}$.

Kết quả: $\overrightarrow{0} = (0; 0)$.

---

HĐ3

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $\overrightarrow{u} = (2; -3), \overrightarrow{v} = (4; 1), \overrightarrow{a} = (8; -12)$.

$a)$ Hãy biểu thị mỗi vecto $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{a}$ theo các vecto $\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}$.

$b)$ Tìm tọa độ của các vecto $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}, 4\overrightarrow{u}$.

$c)$ Tìm mối liên hệ giữa hai vecto $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{a}$.

Lời giải:

$a)$ Ta có:

• $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j}$
• $\overrightarrow{v} = 4\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}$
• $\overrightarrow{a} = 8\overrightarrow{i} - 12\overrightarrow{j}$

$b)$ Ta có:

• $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = (2 + 4)\overrightarrow{i} + (-3 + 1)\overrightarrow{j} = 6\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} = (6; -2)$
• $4\overrightarrow{u} = 4(2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j}) = 8\overrightarrow{i} - 12\overrightarrow{j} = (8; -12)$

$c)$ Ta có $\overrightarrow{a} = 4\overrightarrow{u}$.

Kết quả: $\overrightarrow{a} = 4\overrightarrow{u}$.

---

Trang 63 —

H4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $M(x_0; y_0)$.

Gọi $P, Q$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục hoành $Ox$ và trục tung $Oy$ (H.4.35).

a) Trên trục $Ox$, điểm $P$ biểu diễn số nào? Biểu thị $\overrightarrow{OP}$ theo $\overrightarrow{i}$ và tính độ dài của $\overrightarrow{OP}$ theo $x_0$.

b) Trên trục $Oy$, điểm $Q$ biểu diễn số nào? Biểu thị $\overrightarrow{OQ}$ theo $\overrightarrow{j}$ và tính độ dài của $\overrightarrow{OQ}$ theo $y_0$.

c) Dựa vào hình chữ nhật $OPMQ$, tính độ dài của $\overrightarrow{OM}$ theo $x_0, y_0$.

d) Biểu thị $\overrightarrow{OM}$ theo các vecto $\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}$.

Lời giải:

a) Điểm $P$ có tọa độ $(x_0; 0)$ nên điểm $P$ biểu diễn số $x_0$. Ta có $\overrightarrow{OP} = x_0 \overrightarrow{i}$ và $|\overrightarrow{OP}| = |x_0|$.

b) Điểm $Q$ có tọa độ $(0; y_0)$ nên điểm $Q$ biểu diễn số $y_0$. Ta có $\overrightarrow{OQ} = y_0 \overrightarrow{j}$ và $|\overrightarrow{OQ}| = |y_0|$.

c) Dựa vào hình chữ nhật $OPMQ$, ta có $|\overrightarrow{OM}| = \sqrt{|\overrightarrow{OP}|^2 + |\overrightarrow{OQ}|^2} = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}$.

d) Ta có $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} = x_0 \overrightarrow{i} + y_0 \overrightarrow{j}$.

Kết quả:

• a) $P$ biểu diễn số $x_0$, $\overrightarrow{OP} = x_0 \overrightarrow{i}$, $|\overrightarrow{OP}| = |x_0|$.
• b) $Q$ biểu diễn số $y_0$, $\overrightarrow{OQ} = y_0 \overrightarrow{j}$, $|\overrightarrow{OQ}| = |y_0|$.
• c) $|\overrightarrow{OM}| = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}$.
• d) $\overrightarrow{OM} = x_0 \overrightarrow{i} + y_0 \overrightarrow{j}$.

HĐ5. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho các điểm $M(x; y)$ và $N(x'; y')$.

a) Tìm tọa độ của các vecto $\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}$.

b) Biểu thị vecto $\overrightarrow{MN}$ theo các vecto $\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}$ và tìm tọa độ của $\overrightarrow{MN}$.

c) Tìm độ dài của vecto $\overrightarrow{MN}$.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{OM} = (x; y)$ và $\overrightarrow{ON} = (x'; y')$.

b) Ta có $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM} = (x' - x; y' - y)$.

c) Độ dài của vecto $\overrightarrow{MN}$ là $|\overrightarrow{MN}| = \sqrt{(x' - x)^2 + (y' - y)^2}$.

Kết quả:

• a) $\overrightarrow{OM} = (x; y)$, $\overrightarrow{ON} = (x'; y')$.
• b) $\overrightarrow{MN} = (x' - x; y' - y)$.
• c) $|\overrightarrow{MN}| = \sqrt{(x' - x)^2 + (y' - y)^2}$.