Giải Toán 10 Tập 1 trang 86-88 - Kết nối tri thức

Trang 86 —

Luyện tập 1. Mẫu số liệu sau cho biết chiều cao (đơn vị cm) của các bạn trong tổ:

$163 \quad 159 \quad 172 \quad 167 \quad 165 \quad 168 \quad 170 \quad 161.$

Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu này.

Lời giải:

• Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

$159 \quad 161 \quad 163 \quad 165 \quad 167 \quad 168 \quad 170 \quad 172.$

• Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất:

Giá trị nhỏ nhất là $159.$ Giá trị lớn nhất là $172.$

• Bước 3: Tính khoảng biến thiên:

Khoảng biến thiên $R = 172 - 159 = 13.$

Kết quả: 13

HĐ2. Trong một tuần, nhiệt độ cao nhất trong ngày (đơn vị $^{\circ}$C) tại hai thành phố Hà Nội và Điện Biên được cho như sau:

Hà Nội: $23 \quad 25 \quad 28 \quad 28 \quad 32 \quad 33 \quad 35.$

Điện Biên: $16 \quad 24 \quad 26 \quad 26 \quad 26 \quad 27 \quad 28.$

$a)$ Tính các khoảng biến thiên của mỗi mẫu số liệu và so sánh.

Lời giải:

• Đối với Hà Nội:

• Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

$23 \quad 25 \quad 28 \quad 28 \quad 32 \quad 33 \quad 35.$

• Giá trị nhỏ nhất là $23.$
• Giá trị lớn nhất là $35.$

• Khoảng biến thiên $R_1 = 35 - 23 = 12.$

• Đối với Điện Biên:

• Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

$16 \quad 24 \quad 26 \quad 26 \quad 26 \quad 27 \quad 28.$

• Giá trị nhỏ nhất là $16.$
• Giá trị lớn nhất là $28.$

• Khoảng biến thiên $R_2 = 28 - 16 = 12.$

Kết quả: $R_1=R_2=12$

$b)$ Em có nhận xét gì về sự ảnh hưởng của giá trị $16$ đến khoảng biến thiên của mẫu số liệu về nhiệt độ cao nhất trong ngày tại Điện Biên?

Lời giải:

Giá trị $16$ là giá trị bất thường, làm tăng khoảng biến thiên.

$c)$ Tính các tứ phân vị và hiệu $Q_3 - Q_1$ cho mỗi mẫu số liệu. Có thể dùng hiệu này để đo độ phân tán của mẫu số liệu không?

Lời giải:

• Đối với Hà Nội:

• Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

$23 \quad 25 \quad 28 \quad 28 \quad 32 \quad 33 \quad 35.$

• $\dfrac{7+1}{4} = 2$ nên $Q_1$ là số liệu thứ $2$ $\Rightarrow Q_1 = 25.$

• $\dfrac{3(7+1)}{4} = 6$ nên $Q_3$ là số liệu thứ $6$ $\Rightarrow Q_3 = 33.$

• Hiệu $Q_3 - Q_1 = 33 - 25 = 8.$

• Đối với Điện Biên:

• Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

$16 \quad 24 \quad 26 \quad 26 \quad 26 \quad 27 \quad 28.$

• $\dfrac{7+1}{4} = 2$ nên $Q_1$ là số liệu thứ $2$ $\Rightarrow Q_1 = 24.$

• $\dfrac{3(7+1)}{4} = 6$ nên $Q_3$ là số liệu thứ $6$ $\Rightarrow Q_3 = 27.$

• Hiệu $Q_3 - Q_1 = 27 - 24 = 3.$

Kết quả: $8; 3$

Ví dụ 2. Mẫu số liệu sau cho biết số ghế trống tại một rạp chiếu phim trong $9$ ngày:

$7 \quad 8 \quad 22 \quad 20 \quad 15 \quad 18 \quad 19 \quad 13 \quad 11.$

Tìm khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu này.

Lời giải:

Trước hết, ta sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

$7 \quad 8 \quad 11 \quad 13 \quad 15 \quad 18 \quad 19 \quad 20 \quad 22.$

• $\dfrac{9+1}{4} = 2.5$ nên $Q_1$ là trung bình cộng của số liệu thứ $2$ và thứ $3$ $\Rightarrow Q_1 = \dfrac{8+11}{2} = 9.5.$

• $\dfrac{3(9+1)}{4} = 7.5$ nên $Q_3$ là trung bình cộng của số liệu thứ $7$ và thứ $8$ $\Rightarrow Q_3 = \dfrac{19+20}{2} = 19.5.$

• Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 19.5 - 9.5 = 10.$

Kết quả: 10

---

Trang 87 — Phương sai và độ lệch chuẩn

Luyện tập 2. Mẫu số liệu sau đây cho biết số bài hát ở mỗi album trong bộ sưu tập của An:
$12 \quad 7 \quad 10 \quad 9 \quad 12 \quad 9 \quad 10 \quad 11 \quad 10 \quad 14$

Hãy tìm khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu này.

Lời giải:

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:
$7 \quad 9 \quad 9 \quad 10 \quad 10 \quad 10 \quad 11 \quad 12 \quad 12 \quad 14$

Bước 2: Tìm tứ phân vị $Q_1$ và $Q_3$.

• Mẫu số liệu có $10$ giá trị nên $n = 10$.

• Ta có: $Q_1$ là trung vị của nửa mẫu số liệu bên trái, tức là của $7, 9, 9, 10, 10$.
  $\Rightarrow Q_1 = 9$.

• $Q_3$ là trung vị của nửa mẫu số liệu bên phải, tức là của $10, 11, 12, 12, 14$.
  $\Rightarrow Q_3 = 12$.

Bước 3: Tính khoảng tứ phân vị.
$\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 12 - 9 = 3$.

Kết quả: $\Delta_Q = 3$.

---

Trang 88 — Phát hiện số liệu bất thường hoặc không chính xác bằng biểu đồ hộp

Luyện tập 3. Dùng đồng hồ đo thời gian có độ chia nhỏ nhất đến $0,001$ giây để đo $7$ lần thời gian rơi tự do của một vật bắt đầu từ điểm $A$ ($v_A = 0$) đến điểm $B$. Kết quả đo như sau:

$0,398 \quad 0,399 \quad 0,408 \quad 0,410 \quad 0,406 \quad 0,405 \quad 0,402$

(Theo Bài tập Vật lí 10, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2018)

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này. Qua các đại lượng này, em có nhận xét gì về độ chính xác của phép đo trên?

Lời giải:

Bước 1: Tính giá trị trung bình

Giá trị trung bình $\bar{x}$ của mẫu số liệu được tính bằng công thức:

$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_7}{7}$$

Thay số:

$$\bar{x} = \frac{0,398 + 0,399 + 0,408 + 0,410 + 0,406 + 0,405 + 0,402}{7}$$ $$\bar{x} = \frac{2,828}{7} = 0,404$$

Bước 2: Tính phương sai mẫu

Phương sai mẫu $s^2$ được tính bằng công thức:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$$

Trong đó $n=7$.

Tính từng bước:

$$\begin{aligned} (0,398 - 0,404)^2 &= 0,000036 \\ (0,399 - 0,404)^2 &= 0,000025 \\ (0,408 - 0,404)^2 &= 0,000016 \\ (0,410 - 0,404)^2 &= 0,000036 \\ (0,406 - 0,404)^2 &= 0,000004 \\ (0,405 - 0,404)^2 &= 0,000001 \\ (0,402 - 0,404)^2 &= 0,000004 \\ \end{aligned}$$

Tổng các bình phương:

$$\sum (x_i - \bar{x})^2 = 0,000122$$

Phương sai:

$$s^2 = \frac{0,000122}{6} \approx 0,00002033$$

Bước 3: Tính độ lệch chuẩn

Độ lệch chuẩn $s$ là căn bậc hai của phương sai:

$$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{0,00002033} \approx 0,0045$$

Nhận xét

• Phương sai: $s^2 \approx 0,00002033$
• Độ lệch chuẩn: $s \approx 0,0045$

Nhận xét:

• Độ lệch chuẩn nhỏ cho thấy các giá trị đo tập trung gần nhau, chứng tỏ phép đo có độ chính xác cao.

Kết quả: $s^2 \approx 0,00002033; \quad s \approx 0,0045$

---

Luyện tập 4. Một mẫu số liệu có tứ phân vị thứ nhất là $56$ và tứ phân vị thứ ba là $84$. Hãy kiểm tra xem trong hai giá trị $10$ và $100$ giá trị nào được xem là giá trị bất thường.

Lời giải:

Bước 1: Xác định khoảng tứ phân vị

Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 84 - 56 = 28$.

Bước 2: Xác định ngưỡng giá trị bất thường

• Giá trị nhỏ hơn $Q_1 - 1,5 \cdot \Delta_Q$ là bất thường.
• Giá trị lớn hơn $Q_3 + 1,5 \cdot \Delta_Q$ là bất thường.

Tính các ngưỡng:

• Giá trị nhỏ nhất bất thường: $56 - 1,5 \cdot 28 = 56 - 42 = 14$
• Giá trị lớn nhất bất thường: $84 + 1,5 \cdot 28 = 84 + 42 = 126$

Bước 3: Kiểm tra giá trị $10$ và $100$

• Giá trị $10$ bé hơn $14$ nên được xem là giá trị bất thường.
• Giá trị $100$ nhỏ hơn $126$ nên không được xem là giá trị bất thường.

Kết quả: Giá trị $10$ là bất thường.