Giải Toán 10 Tập 2 trang 10 - Kết nối tri thức

Trang 10 — Đại số

Luyện tập 3. Vẽ đồ thị của hàm số $y = 3x + 1$ và $y = -2x^2$. Hãy cho biết:

a) Hàm số $y = 3x + 1$ đồng biến hay nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

b) Hàm số $y = -2x^2$ đồng biến hay nghịch biến trên mỗi khoảng: $(-\infty; 0)$ và $(0; +\infty)$.

Lời giải:

a) Hàm số $y = 3x + 1$ có hệ số góc $a = 3 > 0$, do đó hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

b) Hàm số $y = -2x^2$ có hệ số $a = -2 < 0$.

• Trên khoảng $(-\infty; 0)$, khi $x$ tăng thì $y$ giảm. Do đó hàm số đồng biến trên $(-\infty; 0)$.

• Trên khoảng $(0; +\infty)$, khi $x$ tăng thì $y$ giảm. Do đó hàm số nghịch biến trên $(0; +\infty)$.

Kết quả:

• Hàm số $y = 3x + 1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
• Hàm số $y = -2x^2$ đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và nghịch biến trên $(0; +\infty)$.

Vận dụng 2. Quan sát bảng giá cước taxi bốn chỗ trong Hình 6.7.

a) Tính số tiền phải trả khi đi chuyển $25 \text{ km}$.

b) Lập công thức tính số tiền cước taxi phải trả theo số kilômét di chuyển.

c) Vẽ đồ thị và cho biết hàm số đồng biến trên khoảng nào, nghịch biến trên khoảng nào.

Lời giải:

a) Theo bảng giá cước taxi, giá mở cửa là $10.000 \text{ đồng}$ cho $0,6 \text{ km}$ đầu tiên, giá $\text{13.000 đồng/km}$ từ km tiếp theo đến km thứ $25$ và $11.000 \text{ đồng/km}$ từ km thứ $25$ trở đi.

Số tiền phải trả khi đi $25 \text{ km}$ là: $$ 10.000 + (25 - 0,6) \times 13.000 = 10.000 + 24,4 \times 13.000 = 10.000 + 317.200 = 327.200 \text{ đồng}. $$

b) Gọi $x$ là số kilômét di chuyển và $y$ là số tiền phải trả. Ta có:

• Nếu $0 \leq x \leq 0,6$ thì $y = 10.000$.
• Nếu $0,6 < x \leq 25$ thì $y = 10.000 + (x - 0,6) \times 13.000$.
• Nếu $x > 25$ thì $y = 10.000 + (25 - 0,6) \times 13.000 + (x - 25) \times 11.000$.

Đơn giản hóa:

• Nếu $0,6 < x \leq 25$ thì $y = 10.000 + 13.000x - 7.800 = 2.200 + 13.000x$.
• Nếu $x > 25$ thì $y = 327.200 + 11.000(x - 25)$.

c) Vẽ đồ thị:

• Đồ thị gồm ba phần:
  1. Đường ngang $y = 10.000$ từ $x = 0$ đến $x = 0,6$.
  2. Đoạn thẳng $y = 2.200 + 13.000x$ từ $x = 0,6$ đến $x = 25$.
  3. Đường thẳng $y = 327.200 + 11.000(x - 25)$ từ $x = 25$ trở đi.

Hàm số đồng biến trên $(0,6; +\infty)$.

Kết quả:

• Số tiền phải trả khi đi $25 \text{ km}$ là $327.200 \text{ đồng}$.
• Công thức tính tiền: $y = \begin{cases} 10.000 & \text{nếu } 0 \leq x \leq 0,6 \\ 2.200 + 13.000x & \text{nếu } 0,6 < x \leq 25 \\ 327.200 + 11.000(x - 25) & \text{nếu } x > 25 \end{cases}$.

BÀI TẬP

6.1. Xét hai đại lượng $X, y$ phụ thuộc vào nhau theo các hệ thức dưới đây. Những trường hợp nào thì $y$ là hàm số của $x$?

a) $x + y = 1$;

b) $y = x^2$;

c) $y^2 = x$;

d) $x^2 - y^2 = 0$.

Lời giải:

• a) $y = 1 - x$. Đây là hàm số.
• b) $y = x^2$. Đây là hàm số.
• c) $y = \pm \sqrt{x}$. Không phải hàm số.
• d) $y = \pm x$. Không phải hàm số.

Kết quả:

• Trường hợp a, b là hàm số.

6.2. Hãy cho một ví dụ về hàm số được cho bằng bảng hoặc biểu đồ. Hãy chỉ ra tập xác định và tập giá trị của hàm số đó.

Lời giải:

Ví dụ: Hàm số cho bằng bảng

$x$	$y$
$1$	$2$
$2$	$4$
$3$	$6$

• Tập xác định: $\{1, 2, 3\}$.
• Tập giá trị: $\{2, 4, 6\}$.

6.3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = 2x^3 + 3x + 1$;

b) $y = \frac{x-1}{x^2 - 3x + 2}$;

c) $y=\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}$.

Lời giải:

a) $\mathbb{R}$.

b) $x^2 - 3x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1, 2$. Tập xác định: $\mathbb{R} \backslash \{1, 2\}$.

c) $x + 1 \geq 0$ và $1 - x \geq 0 \Rightarrow -1 \leq x \leq 1$. Tập xác định: $[-1, 1]$.

Kết quả:

• a) $\mathbb{R}$.
• b) $\mathbb{R} \backslash \{1, 2\}$.
• c) $[-1, 1]$.

6.4. Tìm tập xác định và tập giá trị của mỗi hàm số sau:

a) $y = 2x + 3$;

b) $y = 2x^2$.

Lời giải:

a)

• Tập xác định: $\mathbb{R}$.
• Tập giá trị: $\mathbb{R}$.

b)

• Tập xác định: $\mathbb{R}$.
• Tập giá trị: $[0; +\infty)$.

Kết quả:

• a) Tập xác định $\mathbb{R}$, tập giá trị $\mathbb{R}$.
• b) Tập xác định $\mathbb{R}$, tập giá trị $[0; +\infty)$.

6.5. Vẽ đồ thị các hàm số sau và chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của chúng.

a) $y = -2x + 1$;

b) $y = -\frac{1}{2} x^2$.

Lời giải:

a)

• Hàm số $y = -2x + 1$ có hệ số góc $a = -2 < 0$, nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

b)

• Hàm số $y = -\frac{1}{2} x^2$ có $a = -\frac{1}{2} < 0$, đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và nghịch biến trên $(0; +\infty)$.

6.6. Giá thuê xe ô tô tự lái là $1,2$ triệu đồng một ngày cho hai ngày đầu tiên và $900$ nghìn đồng cho mỗi ngày tiếp theo. Tổng số tiền $T$ phải trả là một hàm số của số ngày $x$ mà khách thuê xe.

a) Viết công thức của hàm số $T = T(x)$.

b) Tính $T(2), T(3), T(5)$ và cho biết ý nghĩa của mỗi giá trị này.

Lời giải:

a)

• Nếu $0 < x \leq 2$ thì $T(x) = 1.200.000x$.
• Nếu $x > 2$ thì $T(x) = 1.200.000 \times 2 + 900.000(x - 2) = 2.400.000 + 900.000(x - 2)$.

b)

• $T(2) = 2.400.000$ (đồng).
• $T(3) = 2.400.000 + 900.000 = 3.300.000$ (đồng).
• $T(5) = 2.400.000 + 900.000 \times 3 = 5.100.000$ (đồng).

Kết quả:

• Công thức $T(x) = \begin{cases} 1.200.000x & \text{nếu } 0 < x \leq 2 \\ 2.400.000 + 900.000(x - 2) & \text{nếu } x > 2 \end{cases}$.