Trang 11 — Chương 6: Hàm số, đồ thị và ứng dụng

Bài tập.

1.

a) Thiết lập hàm số mô tả diện tích của mảnh vườn.

Lời giải:

Diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật là:

$$ S(x) = x(10-x) = -x^2 + 10x \ \text{(m)} $$

2.

b) Bác An có thể rào thành mảnh vườn có diện tích bằng 21 m221 \ \text{m}^2 được không?

Lời giải:

Để bác An rào thành mảnh vườn có diện tích bằng 21 m221 \ \text{m}^2, ta cần giải phương trình:

S(x)=21−x2+10x=21x2−10x+21=0(x−3)(x−7)=0x=3 hoặc x=7\begin{aligned} S(x) &= 21 \\ -x^2 + 10x &= 21 \\ x^2 -10x + 21 &= 0\\ (x-3)(x-7) &= 0 \\ x &= 3 \ \text{hoặc} \ x = 7 \end{aligned}

Vì chiều rộng phải nhỏ hơn hoặc bằng chiều dài nên chỉ có nghiệm x=3x= 3 là thỏa mãn.

Khi đó chiều rộng là 3 m3 \ \text{m} và chiều dài là 10−3=7 m10-3 = 7 \ \text{m}.

Vậy bác An có thể dùng 20 m20 \ \text{m} hàng rào để rào thành mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 21 m221 \ \text{m}^2.

3.

c) Chiều rộng của mảnh vườn phải như thế nào để diện tích của mảnh vườn lớn hơn 24 m224 \ \text{m}^2?

Lời giải:

Để diện tích của mảnh vườn lớn hơn 24 m224 \ \text{m}^2, ta cần giải bất phương trình:

S(x)>24−x2+10x>24x2−10x+24<0(x−4)(x−6)<0\begin{aligned} S(x) &> 24 \\ -x^2 + 10x &> 24 \\ x^2 - 10x + 24 &< 0 \\ (x-4)(x-6) &< 0 \end{aligned}

Lập bảng xét dấu:

xx −∞-\infty 44 66 +∞+\infty
x−4x-4 - 00 ++ ++
x−6x-6 - - 00 ++
(x−4)(x−6)(x-4)(x-6) ++ 00 −- ++

Vậy chiều rộng của mảnh vườn phải thuộc khoảng (4;6)(4;6) để diện tích của mảnh vườn lớn hơn 24 m224 \ \text{m}^2.

4.

d) Tìm kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất mà bác An có thể rào được.

Lời giải:

Diện tích của mảnh vườn là:

S(x)=−x2+10x=−(x−5)2+25S(x) = -x^2 + 10x = -(x-5)^2 + 25

Vì −(x−5)2≤0-(x-5)^2 \le 0 với mọi xx nên S(x)≤25S(x) \le 25 với mọi xx.

Dấu "=" xảy ra khi x=5x=5.

Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn là 25 m225 \ \text{m}^2 khi chiều rộng là 5 m5 \ \text{m} và chiều dài là 10−5=5 m10-5=5 \ \text{m}.

Kết quả:

  • b) Có thể, với chiều rộng 3 m3 \ \text{m} và chiều dài 7 m7 \ \text{m}.
  • c) (4;6)(4;6)
  • d) 5 m5 \ \text{m} và 5 m5 \ \text{m}.

Trang 11 — Hàm số bậc hai

Trang này không có BÀI TẬP / CÂU HỎI / LUYỆN TẬP / VÍ DỤ cần giải.

Trang 12 — Hàm số bậc hai

Trang này cũng không có BÀI TẬP / CÂU HỎI / LUYỆN TẬP / VÍ DỤ cần giải.

Trả lời: SKIP

Trang 13 — Hàm số bậc hai

Bài tập 1. Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc hai?

A. y=x4+3x2+2y=x^4+3x^2+2

B. y=1x2y = \frac{1}{x^2}

C. y=−3x2+1y=-3x^2+1

D. y=3(1x)2+3⋅1x−1y=3\left(\frac{1}{x}\right)^2+3 \cdot \frac{1}{x}-1

Lời giải:

Hàm số bậc hai có dạng y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c với a≠0a \neq 0.

  • A. y=x4+3x2+2y=x^4+3x^2+2 không phải là hàm số bậc hai vì có số mũ cao hơn bậc 2.

  • B. y=1x2=x−2y = \frac{1}{x^2} = x^{-2} không phải là hàm số bậc hai vì không có dạng y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c.

  • C. y=−3x2+1y=-3x^2+1 là hàm số bậc hai với a=−3a = -3, b=0b = 0, c=1c = 1.

  • D. y=3(1x)2+3⋅1x−1y=3\left(\frac{1}{x}\right)^2+3 \cdot \frac{1}{x}-1 không phải là hàm số bậc hai vì không có dạng y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c.

Kết quả: C\boxed{C}

Luyện tập 1. Cho hàm số y=(x−1)(2−3x)y = (x - 1)(2 - 3x).

a) Hàm số đã cho có phải là hàm số bậc hai không? Nếu có, hãy xác định các hệ số aa, bb, cc của nó.

b) Thay dấu “?” bằng các số thích hợp để hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số đã cho.

xx −2-2 −1-1 00 11
yy ? ? ? ?

Lời giải:

a) Ta có: y=(x−1)(2−3x)=2x−3x2−2+3x=−3x2+5x−2y = (x - 1)(2 - 3x) = 2x - 3x^2 - 2 + 3x = -3x^2 + 5x - 2.

Hàm số đã cho là hàm số bậc hai với a=−3a = -3, b=5b = 5, c=−2c = -2.

b) Thay các giá trị của xx vào công thức hàm số:

  • Với x=−2x = -2: y=−3(−2)2+5(−2)−2=−12−10−2=−24y = -3(-2)^2 + 5(-2) - 2 = -12 - 10 - 2 = -24

  • Với x=−1x = -1: y=−3(−1)2+5(−1)−2=−3−5−2=−10y = -3(-1)^2 + 5(-1) - 2 = -3 - 5 - 2 = -10

  • Với x=0x = 0: y=−3(0)2+5(0)−2=−2y = -3(0)^2 + 5(0) - 2 = -2

  • Với x=1x = 1: y=−3(1)2+5(1)−2=−3+5−2=0y = -3(1)^2 + 5(1) - 2 = -3 + 5 - 2 = 0

xx −2-2 −1-1 00 11
yy −24-24 −10-10 −2-2 00

Kết quả: a=−3,b=5,c=−2\boxed{a = -3, b = 5, c = -2} và bảng giá trị hoàn chỉnh.

Vận dụng 1. Một viên bi rơi tự do từ độ cao 19,6 m19,6\ \text{m} xuống mặt đất. Độ cao hh (mét) so với mặt đất của viên bi trong khi rơi phụ thuộc vào thời gian tt (giây) theo công thức: h=19,6−4,9t2;t≥0h = 19,6 - 4,9t^2; t \geq 0.

a) Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi rơi viên bi chạm đất?

b) Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số hh.

Lời giải:

a) Viên bi chạm đất khi h=0h = 0. Do đó:

0=19,6−4,9t24,9t2=19,6t2=4t=±2\begin{aligned} 0 &= 19,6 - 4,9t^2 \\ 4,9t^2 &= 19,6 \\ t^2 &= 4 \\ t &= \pm 2 \end{aligned}

Vì t≥0t \geq 0 nên t=2t = 2.

b) Tập xác định của hàm số hh là D=[0;+∞)D = [0; +\infty).

Tập giá trị của hàm số hh là [0;19,6][0; 19,6].

Kết quả: 2\boxed{2} và D=[0;+∞)D = [0; +\infty), [0;19,6][0; 19,6].

Trang 14 —

Bài tập:

HĐ3.

Tương tự HĐ2, ta có dạng đồ thị của một số hàm số bậc hai sau.

Từ các đồ thị hàm số trên, hãy hoàn thành bảng sau đây.

Hàm số Hệ số aa Bề lõm của đồ thị (Quay lên/Quay xuống) Tọa độ điểm cao nhất/điểm thấp nhất Trục đối xứng
y=x2+2x+2y=x^2+2x+2 11 Quay lên (−1;1)(-1; 1) x=−1x=-1
y=−2x2−3x+1y=-2x^2-3x+1 ? ? ? ?

Lời giải:

  • Hàm số y=−2x2−3x+1y=-2x^2-3x+1 có a=−2a=-2 nên bề lõm của đồ thị quay xuống.

  • Tọa độ điểm cao nhất của đồ thị hàm số y=−2x2−3x+1y=-2x^2-3x+1 là $$ \begin{aligned} x &= -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot (-2)} = -\frac{3}{4} \ y &= -2 \cdot \left( -\frac{3}{4} \right)^2 - 3 \cdot \left( -\frac{3}{4} \right) + 1 = -\frac{9}{8} + \frac{9}{4} + 1 = \frac{-9 + 18 + 8}{8} = \frac{17}{8} \end{aligned} $$ Vậy tọa độ điểm cao nhất là (−34;178)\left( -\frac{3}{4}; \frac{17}{8} \right).

  • Trục đối xứng là x=−b2a=−−32⋅(−2)=−34x=-\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot (-2)} = -\frac{3}{4}.

Vậy hoàn thành bảng sau:

Hàm số Hệ số aa Bề lõm của đồ thị (Quay lên/Quay xuống) Tọa độ điểm cao nhất/điểm thấp nhất Trục đối xứng
y=x2+2x+2y=x^2+2x+2 11 Quay lên (−1;1)(-1; 1) x=−1x=-1
y=−2x2−3x+1y=-2x^2-3x+1 −2-2 Quay xuống (−34;178)\left( -\frac{3}{4}; \frac{17}{8} \right) x=−34x=-\frac{3}{4}

Kết quả:

  • Hệ số a=−2a=-2
  • Bề lõm của đồ thị: Quay xuống
  • Tọa độ điểm: (−34;178)\left( -\frac{3}{4}; \frac{17}{8} \right)
  • Trục đối xứng: x=−34x=-\frac{3}{4}