Giải Toán 10 Tập 2 trang 27-30 - Kết nối tri thức

Trang 27 — Phương trình quy về phương trình bậc hai

Luyện tập 2. Giải các phương trình sau: a) $\sqrt{2x^2 + x + 3} = 1 - x$; b) $\sqrt{3x^2 - 13x + 14} = x - 3$.

Lời giải:

a) $\sqrt{2x^2 + x + 3} = 1 - x$

Bình phương hai vế của phương trình ta được $$ 2x^2 + x + 3 = (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2. $$

Sau khi thu gọn ta được $x^2 + 3x + 2 = 0$. Từ đó $x = -1$ hoặc $x = -2$.

Thay lần lượt hai giá trị này của $x$ vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có $x = -1$ thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = -1$.

b) $\sqrt{3x^2 - 13x + 14} = x - 3$

Bình phương hai vế của phương trình ta được $$ 3x^2 - 13x + 14 = (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9. $$

Sau khi thu gọn ta được $2x^2 - 7x + 5 = 0$. Từ đó $x = \frac{5}{2}$ hoặc $x = 1$.

Thay lần lượt hai giá trị này của $x$ vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có $x = \frac{5}{2}$ thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = \frac{5}{2}$.

Kết quả:

• a) $x = -1$
• b) $x = \frac{5}{2}$

---

Trang 28 — Bài tập phương trình chứa căn

Bài 6.20. Giải các phương trình sau: a) $\sqrt{3x^2 -4x -1} = \sqrt{2x^2 -4x + 3};$

b) $\sqrt{x^2 +2x -3} = \sqrt{-2x^2 +5};$

c) $\sqrt{2x^2 +3x -3} = \sqrt{-x^2 -x +1};$

d) $\sqrt{-x^2 +5x -4} = \sqrt{-2x^2 +4x +2}.$

Lời giải:

a) $\sqrt{3x^2 -4x -1} = \sqrt{2x^2 -4x + 3}$

• Bình phương cả hai vế: $3x^2 - 4x - 1 = 2x^2 - 4x + 3$
• Rút gọn: $x^2 - 4 = 0$
• Giải: $x = \pm 2$

Kiểm tra:

• $x = 2$: $\sqrt{3(2)^2 - 4(2) - 1} = \sqrt{12 - 8 - 1} = \sqrt{3}$ và $\sqrt{2(2)^2 - 4(2) + 3} = \sqrt{8 - 8 + 3} = \sqrt{3}$. $\Rightarrow x = 2$ là nghiệm.

• $x = -2$: $\sqrt{3(-2)^2 - 4(-2) - 1} = \sqrt{12 + 8 - 1} = \sqrt{19}$ và $\sqrt{2(-2)^2 - 4(-2) + 3} = \sqrt{8 + 8 + 3} = \sqrt{19}$. $\Rightarrow x = -2$ là nghiệm.

Kết quả: $x = 2, x = -2$

b) $\sqrt{x^2 +2x -3} = \sqrt{-2x^2 +5}$

• Bình phương cả hai vế: $x^2 + 2x - 3 = -2x^2 + 5$
• Rút gọn: $3x^2 + 2x - 8 = 0$
• Giải: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 96}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{6} = \frac{-2 \pm 10}{6}$

$x = \frac{-2 + 10}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ hoặc $x = \frac{-2 - 10}{6} = -2$

Kiểm tra:

• $x = \frac{4}{3}$: $\sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2 + 2\left(\frac{4}{3}\right) - 3} = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{8}{3} - 3} = \sqrt{\frac{16 + 24 - 27}{9}} = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$ và $\sqrt{-2\left(\frac{4}{3}\right)^2 + 5} = \sqrt{-\frac{32}{9} + 5} = \sqrt{\frac{-32 + 45}{9}} = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$. $\Rightarrow x = \frac{4}{3}$ là nghiệm.

• $x = -2$: $\sqrt{(-2)^2 + 2(-2) - 3} = \sqrt{4 - 4 - 3} = \sqrt{-3}$ không xác định.

Kết quả: $x = \frac{4}{3}$

c) $\sqrt{2x^2 +3x -3} = \sqrt{-x^2 -x +1}$

• Bình phương cả hai vế: $2x^2 + 3x - 3 = -x^2 - x + 1$
• Rút gọn: $3x^2 + 4x - 4 = 0$
• Giải: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{-4 \pm 8}{6}$

$x = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ hoặc $x = \frac{-4 - 8}{6} = -2$

Kiểm tra:

• $x = \frac{2}{3}$: $\sqrt{2\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 3\left(\frac{2}{3}\right) - 3} = \sqrt{\frac{8}{9} + 2 - 3} = \sqrt{\frac{8 + 18 - 27}{9}} = \sqrt{-\frac{1}{9}}$ không xác định.

• $x = -2$: $\sqrt{2(-2)^2 + 3(-2) - 3} = \sqrt{8 - 6 - 3} = \sqrt{-1}$ không xác định.

Kết quả: Vô nghiệm

d) $\sqrt{-x^2 +5x -4} = \sqrt{-2x^2 +4x +2}$

• Bình phương cả hai vế: $-x^2 + 5x - 4 = -2x^2 + 4x + 2$
• Rút gọn: $x^2 + x - 6 = 0$
• Giải: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}$

$x = 2$ hoặc $x = -3$

Kiểm tra:

• $x = 2$: $\sqrt{-(2)^2 + 5(2) - 4} = \sqrt{-4 + 10 - 4} = \sqrt{2}$ và $\sqrt{-2(2)^2 + 4(2) + 2} = \sqrt{-8 + 8 + 2} = \sqrt{2}$. $\Rightarrow x = 2$ là nghiệm.

• $x = -3$: $\sqrt{-(-3)^2 + 5(-3) - 4} = \sqrt{-9 - 15 - 4} = \sqrt{-28}$ không xác định.

Kết quả: $x = 2$

Bài 6.21. Giải các phương trình sau: a) $\sqrt{6x^2 + 13x + 13} = 2x + 4;$

b) $\sqrt{2x^2 + 5x + 3} = -3 - x;$

c) $\sqrt{3x^2 - 17x + 23} = x - 3;$

d) $\sqrt{-x^2 + 2x + 4} = x - 2.$

Lời giải:

a) $\sqrt{6x^2 + 13x + 13} = 2x + 4$

• Bình phương cả hai vế: $6x^2 + 13x + 13 = (2x + 4)^2 = 4x^2 + 16x + 16$
• Rút gọn: $2x^2 - 3x - 3 = 0$
• Giải: $x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 24}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{4}$

Kiểm tra:

• $x = \frac{3 + \sqrt{33}}{4}$ và $x = \frac{3 - \sqrt{33}}{4}$ cần kiểm tra.

Kết quả: $x = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{4}$ (sau khi kiểm tra)

b) $\sqrt{2x^2 + 5x + 3} = -3 - x$

• Điều kiện: $-3 - x \ge 0 \Rightarrow x \le -3$
• Bình phương cả hai vế: $2x^2 + 5x + 3 = (-3 - x)^2 = 9 + 6x + x^2$
• Rút gọn: $x^2 - x - 6 = 0$
• Giải: $(x - 3)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 3$ hoặc $x = -2$

Kiểm tra điều kiện $x \le -3$: Chỉ $x = -2$ không thỏa mãn.

Kết quả: Vô nghiệm

c) $\sqrt{3x^2 - 17x + 23} = x - 3$

• Điều kiện: $x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$
• Bình phương cả hai vế: $3x^2 - 17x + 23 = (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$
• Rút gọn: $2x^2 - 11x + 14 = 0$
• Giải: $(2x - 7)(x - 2) = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{2}$ hoặc $x = 2$

Kiểm tra:

• $x = 2$: không thỏa mãn điều kiện $x \ge 3$.
• $x = \frac{7}{2}$: thỏa mãn điều kiện và là nghiệm.

Kết quả: $x = \frac{7}{2}$

d) $\sqrt{-x^2 + 2x + 4} = x - 2$

• Điều kiện: $x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$
• Bình phương cả hai vế: $-x^2 + 2x + 4 = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$
• Rút gọn: $2x^2 - 6x = 0$
• Giải: $2x(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = 3$

Kiểm tra:

• $x = 0$: không thỏa mãn điều kiện $x \ge 2$.
• $x = 3$: thỏa mãn điều kiện và là nghiệm.

Kết quả: $x = 3$

---

Trang 28 — BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VI

A — TRẮC NGHIỆM

6.24. Tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ là

A. $D = [2; +\infty)$.
B. $D = (2; +\infty)$.
C. $D = \mathbb{R} \backslash \{2\}$.
D. $D = \mathbb{R}$.

Lời giải:
Hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ xác định khi $x - 2 > 0 \iff x > 2$.
Do đó, tập xác định của hàm số là $D = (2; +\infty)$.

Kết quả: B

6.25. Parabol $y = -x^2 + 2x + 3$ có đỉnh là

A. $I(-1; 0)$.
B. $I(3; 0)$.
C. $I(0; 3)$.
D. $I(1; 4)$.

Lời giải:
Tọa độ đỉnh của parabol $y = ax^2 + bx + c$ là $I\left(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a}\right)$.
Với $a = -1$, $b = 2$, $c = 3$:

• $x_I = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$
• $y_I = -\frac{2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 3}{4 \cdot (-1)} = 4$

Vậy đỉnh là $I(1; 4)$.

Kết quả: D

6.26. Hàm số $y = x^2 - 5x + 4$

A. Đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$.
B. Đồng biến trên khoảng $(-\infty; 4)$.
C. Nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 1)$.
D. Nghịch biến trên khoảng $(1; 4)$.

Lời giải:
Hàm số $y = x^2 - 5x + 4$ có $a = 1 > 0$, trục đối xứng $x = \frac{5}{2}$.

• Hàm số đồng biến trên $\left(\frac{5}{2}; +\infty\right)$.
• Hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty; \frac{5}{2}\right)$.

Khoảng $(1; 4)$ nằm trong $\left(-\infty; \frac{5}{2}\right)$, nên hàm số nghịch biến trên $(1; 4)$.

Kết quả: D

6.27. Bất phương trình $x^2 - 2mx + 4 > 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ khi

A. $m = -1$.
B. $m = -2$.
C. $m = 2$.
D. $m > 2$.

Lời giải:
Bất phương trình $x^2 - 2mx + 4 > 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ khi:

• $a > 0$ (đúng vì $a = 1 > 0$)
• $\Delta < 0 \iff (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 < 0$
  $\iff 4m^2 - 16 < 0 \iff m^2 < 4 \iff -2 < m < 2$.

Không có đáp án nào thỏa $m \in (-2; 2)$.

6.28. Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{2x^2 - 3} = x - 1$ là

A. $\{-1 - \sqrt{5}; -1 + \sqrt{5}\}$.
B. $\{-1 - \sqrt{5}\}$.
C. $\{-1 + \sqrt{5}\}$.
D. $\emptyset$.

Lời giải:
Điều kiện: $x - 1 \ge 0 \iff x \ge 1$ và $2x^2 - 3 \ge 0 \iff x \le -\sqrt{\frac{3}{2}}$ hoặc $x \ge \sqrt{\frac{3}{2}}$.
$\implies x \ge \sqrt{\frac{3}{2}}$.

Bình phương hai vế:
$2x^2 - 3 = (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$
$\iff x^2 + 2x - 4 = 0$
$\iff x = -1 \pm \sqrt{5}$.

Nghiệm thỏa $x \ge \sqrt{\frac{3}{2}}$ chỉ là $-1 + \sqrt{5}$.

Kết quả: C

---

Trang 30 — Chương VI: Hàm số, đồ thị và ứng dụng

Bài 6.33. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2x^2 - 14} = x - 1$;

b) $\sqrt{-x^2 - 5x + 2} = \sqrt{x^2 - 2x - 3}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{2x^2 - 14} = x - 1$

Để giải phương trình $\sqrt{2x^2 - 14} = x - 1$, ta làm như sau:

1. Điều kiện xác định:

   • $2x^2 - 14 \ge 0 \iff x^2 \ge 7 \iff x \le -\sqrt{7}$ hoặc $x \ge \sqrt{7}$.
   • $x - 1 \ge 0 \iff x \ge 1$.

   $\implies$ Điều kiện xác định: $x \ge \sqrt{7}$.

2. Bình phương hai vế: $$\begin{aligned} 2x^2 - 14 &= (x - 1)^2 \ 2x^2 - 14 &= x^2 - 2x + 1 \ x^2 + 2x - 15 &= 0 \ (x + 5)(x - 3) &= 0 \ \implies x &= -5 \text{ hoặc } x = 3. \end{aligned}$$

3. Kiểm tra nghiệm:

   • $x = -5$: Không thỏa mãn điều kiện $x \ge \sqrt{7}$.
   • $x = 3$: Thỏa mãn điều kiện và nghiệm đúng.

Kết quả: $x = 3$.

b) $\sqrt{-x^2 - 5x + 2} = \sqrt{x^2 - 2x - 3}$

Để giải phương trình $\sqrt{-x^2 - 5x + 2} = \sqrt{x^2 - 2x - 3}$, ta làm như sau:

1. Điều kiện xác định:

   • $-x^2 - 5x + 2 \ge 0$.
   • $x^2 - 2x - 3 \ge 0$.

   Giải các bất phương trình:

   • $-x^2 - 5x + 2 \ge 0 \iff -\sqrt{\frac{33}{4}} \le x \le \frac{-5 + \sqrt{33}}{2}$.
   • $x^2 - 2x - 3 \ge 0 \iff x \le -1$ hoặc $x \ge 3$.

   $\implies$ Điều kiện xác định: $x \in [-\sqrt{\frac{33}{4}}, \frac{-5 + \sqrt{33}}{2}] \cap (-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$.

2. Bình phương hai vế: $$\begin{aligned} -x^2 - 5x + 2 &= x^2 - 2x - 3 \ 2x^2 + 3x - 5 &= 0 \ \Delta &= 3^2 - 4(2)(-5) = 49 \ \implies x &= \frac{-3 \pm 7}{4} \ \implies x &= 1 \text{ hoặc } x = -\frac{5}{2}. \end{aligned}$$

3. Kiểm tra nghiệm:

   • $x = 1$: Không thỏa mãn điều kiện.
   • $x = -\frac{5}{2}$: Thỏa mãn điều kiện và nghiệm đúng.

Kết quả: $x = -\frac{5}{2}$.

---

Bài 6.34. Một công ty bắt đầu sản xuất và bán một loại máy tính xách tay từ năm $2018$. Số lượng loại máy tính đó bán được trong hai năm liên tiếp $2018$ và $2019$ lần lượt là $3,2$ nghìn và $4$ nghìn chiếc. Theo nghiên cứu dự báo thị trường của công ty, trong khoảng $10$ năm kể từ năm $2018$, số lượng máy tính loại đó bán được mỗi năm có thể được xấp xỉ bởi một hàm số bậc hai.

Giả sử $t$ là thời gian (theo đơn vị năm) tính từ năm $2018$. Số lượng loại máy tính đó bán được trong năm $2018$ và năm $2019$ lần lượt được biểu diễn bởi các điểm $(0; 3,2)$ và $(1; 4)$. Giả sử điểm $(0; 3,2)$ là đỉnh của đồ thị của hàm số bậc hai này.

a) Lập công thức của hàm số mô tả số lượng máy tính xách tay bán được qua từng năm.

b) Tính số lượng máy tính xách tay đó bán được trong năm $2024$.

c) Đến năm bao nhiêu thì số lượng máy tính xách tay đó bán được trong năm sẽ vượt mức $52$ nghìn chiếc?

Lời giải:

a) Lập công thức của hàm số

Hàm số bậc hai có dạng: $y = at^2 + bt + c$.

• Đỉnh $(0; 3.2) \implies c = 3.2$.

• $(1; 4) \in$ đồ thị $\implies a + b + 3.2 = 4 \iff a + b = 0.8$.

• Trục đối xứng $t = -\frac{b}{2a} = 0 \implies b = 0 \implies a = 0.8$.

$\implies$ Hàm số: $y = 0.8t^2 + 3.2$.

b) Tính số lượng máy tính xách tay bán được trong năm $2024$

• $t = 2024 - 2018 = 6$ (năm).

• $y = 0.8 \cdot 6^2 + 3.2 = 0.8 \cdot 36 + 3.2 = 28.8 + 3.2 = 32$ (nghìn chiếc).

Kết quả: $32$ nghìn chiếc.

c) Đến năm bao nhiêu thì số lượng máy tính xách tay đó bán được trong năm sẽ vượt mức $52$ nghìn chiếc?

• $0.8t^2 + 3.2 > 52$.

• $0.8t^2 > 48.8$.

• $t^2 > 61$.

• $t > \sqrt{61} \approx 7.81$.

• $t = 8$ (năm).

$\implies$ Năm $2026$.

Kết quả: $2026$.