Giải Toán 10 Tập 2 trang 31-34 - Kết nối tri thức

Trang 30 — CHƯƠNG VII: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẰNG

Trang này không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hay ví dụ cần giải. Nội dung trang này chỉ tập trung vào lý thuyết.

Kết luận

SKIP

---

Trang 32 — Phương trình tổng quát của đường thẳng

HĐ2. Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(x_0; y_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}(a; b)$. Chứng minh rằng điểm $M(x; y)$ thuộc $\Delta$ khi và chỉ khi $$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$$

Lời giải: Vectơ $\overrightarrow{AM}$ có tọa độ $(x - x_0; y - y_0)$.

Vectơ pháp tuyến của $\Delta$ là $\overrightarrow{n}(a; b)$.

Điểm $M$ thuộc $\Delta$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{n}$, tức là $$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{n} = 0$$

Ta có $$\begin{aligned} \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{n} &= (x - x_0; y - y_0) \cdot (a; b) \ &= a(x - x_0) + b(y - y_0) \end{aligned}$$

Do đó $$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$$

Kết quả: $a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác có ba đỉnh là $A(3; 1), B(4; 0), C(5; 3)$. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ và một vectơ pháp tuyến của đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $ABC$.

Lời giải: Đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ vuông góc với $AB$ nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AB} = (1; -1)$.

Đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $ABC$ vuông góc với $BC$ nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{BC} = (1; 3)$.

Kết quả: Vectơ pháp tuyến của đường trung trực của $AB$ là $\overrightarrow{AB} = (1; -1)$ và vectơ pháp tuyến của đường cao kẻ từ $A$ là $\overrightarrow{BC} = (1; 3)$.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ, lập phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2; 1)$ và nhận $\overrightarrow{n}(3; 4)$ là một vectơ pháp tuyến.

Lời giải: Đường thẳng $\Delta$ có phương trình là $$3(x - 2) + 4(y - 1) = 0$$

Ta có $$3(x - 2) + 4(y - 1) = 0 \iff 3x + 4y - 10 = 0$$

Kết quả: $3x + 4y - 10 = 0$

---

Trang 33 — Phương trình đường thẳng

Luyện tập 1. Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác có ba đỉnh $A(-1; 5), B(2; 3), C(6; 1)$. Lập phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $ABC$.

Lời giải:

Đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $ABC$ là đường thẳng đi qua $A(-1; 5)$ và vuông góc với $\overrightarrow{BC}$.

Ta có $\overrightarrow{BC} = (6 - 2; 1 - 3) = (4; -2)$.

Đường thẳng này nhận $\overrightarrow{n} = (1; 2)$ là một vectơ pháp tuyến (vì $\overrightarrow{n} \perp \overrightarrow{BC}$).

Phương trình tổng quát của đường thẳng là:

$$1(x + 1) + 2(y - 5) = 0$$ $$\iff x + 2y - 9 = 0$$

Kết quả: $x + 2y - 9 = 0$

Luyện tập 2. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta: y = 3x + 4$.

Lời giải:

Đường thẳng $\Delta$ có phương trình $y = 3x + 4$ hay $3x - y + 4 = 0$.

Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{n} = (3; -1)$.

Kết quả: $\overrightarrow{n} = (3; -1)$

2. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

HĐ3. Trong Hình 7.2a, nếu một vật thể chuyển động với vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}$ và đi qua $A$ thì nó di chuyển trên đường nào?

• Vật thể di chuyển trên đường thẳng đi qua $A$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{v}$.

Nhận xét:

• Nếu $\overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ thì $k\overrightarrow{u} \ (k \neq 0)$ cũng là vectơ chỉ phương của $\Delta$.
• Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của nó.
• Hai vectơ $\overrightarrow{n}(a; b)$ và $\overrightarrow{u}(-b; a)$ vuông góc với nhau nên nếu $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ thì $\overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó và ngược lại.

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ, cho $A(3; 2), B(1; -4)$. Hãy chỉ ra hai vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$.

Lời giải:

Đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow{AB}(-2; -6)$ là một vectơ chỉ phương.

Lấy $\overrightarrow{u} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = (1; 3)$, khi đó $\overrightarrow{u}$ cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$.

Kết quả: $\overrightarrow{AB}(-2; -6), \overrightarrow{u}(1; 3)$

---

Trang 34 —

HĐ4. Chuyển động của một vật thể được thể hiện trên mặt phẳng $Oxy$. Vật thể khởi hành từ $A(2; 1)$ và chuyển động thẳng đều với vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}=(3; 4)$.

a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó)?

Lời giải: Vật thể chuyển động thẳng đều với vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}=(3; 4)$, nghĩa là chuyển động có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(3; 4)$. Vật thể khởi hành từ điểm $A(2; 1)$.

Do đó, đường thẳng mà vật thể chuyển động đi qua điểm $A(2; 1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(3; 4)$.

HĐ4. b) Chứng minh rằng, tại thời điểm $t(t > 0)$ tính từ khi khởi hành, vật thể ở vị trí có tọa độ là $(2 + 3t;1+ 4t)$.

Lời giải: Giả sử tại thời điểm $t$, vật thể ở vị trí $M(x; y)$.

Khi đó $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{u}$ $\Rightarrow (x-2; y-1) = t(3; 4) = (3t; 4t)$

$\Rightarrow$ $\begin{cases} x-2=3t \\ y-1=4t \end{cases}$ $\Rightarrow$ $\begin{cases} x=2+3t \\ y=1+4t \end{cases}$

Vậy tọa độ của vật thể tại thời điểm $t$ là $(2+3t; 1+4t)$.

---

Luyện tập 3. Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta:2x - y +1=0$.

Lời giải: Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{n}=(2; -1)$.

Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u}=(1; 2)$.

Kết quả: $\overrightarrow{u}=(1; 2)$

---

Luyện tập 4. Lập phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(-1; 2)$ và song song với đường thẳng $d : 3x - 4y -1=0$.

Lời giải: Đường thẳng $d$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_d}=(3; -4)$.

Do đó, đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_d}=(4; 3)$.

Vì $\Delta$ song song với $d$ nên $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(4; 3)$.

$\Delta$ đi qua điểm $M(-1; 2)$

Do đó, phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là $\begin{cases} x=-1+4t \\ y=2+3t \end{cases}$.

Kết quả: $\begin{cases} x=-1+4t \ y=2+3t \end{cases}

---

Ví dụ 6. Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $A(2; 3)$ và $B(1; 5)$.

Lời giải: Đường thẳng $AB$ đi qua $A(2; 3)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} =(-1; 2)$, do đó có phương trình tham số là $\begin{cases} x=2-t \\ y=3+2t \end{cases}$.

---

Luyện tập 5. Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt $A(x_1; y_1), B(x_2; y_2)$ cho trước.

Lời giải: Vectơ chỉ phương của đường thẳng là $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1; y_2-y_1)$.

Phương trình tham số của đường thẳng là $\begin{cases} x=x_1+(x_2-x_1)t \\ y=y_1+(y_2-y_1)t \end{cases}$.

Để tìm phương trình tổng quát, ta có thể sử dụng công thức:

$$ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1) $$

Biến đổi ta được phương trình tổng quát:

$$(y_2 - y_1)x - (x_2 - x_1)y + (x_2 - x_1)y_1 - (y_2 - y_1)x_1 = 0$$

Kết quả: $\begin{cases} x=x_1+(x_2-x_1)t \\ y=y_1+(y_2-y_1)t \end{cases}$ và $(y_2 - y_1)x - (x_2 - x_1)y + (x_2 - x_1)y_1 - (y_2 - y_1)x_1 = 0$