Trang 35 — Chương 7: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài 7.1. Trong mặt phẳng tọa độ, cho n→=(2;1),v→=(3;2),A(1;3),B(−2;1).\overrightarrow{n}=(2; 1), \overrightarrow{v}=(3; 2), A(1; 3), B(-2; 1).

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng Δ1\Delta_1 đi qua AA và có vecto pháp tuyến n→.\overrightarrow{n}.

b) Lập phương trình tham số của đường thẳng Δ2\Delta_2 đi qua BB và có vecto chỉ phương v→.\overrightarrow{v}.

c) Lập phương trình tham số của đường thẳng AB.AB.

Lời giải:

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng Δ1\Delta_1 đi qua A(1;3)A(1; 3) và có vecto pháp tuyến n→=(2;1)\overrightarrow{n}=(2; 1) là $$ 2(x-1) + 1(y-3) = 0 \iff 2x + y - 5 = 0. $$

b) Phương trình tham số của đường thẳng Δ2\Delta_2 đi qua B(−2;1)B(-2; 1) và có vecto chỉ phương v→=(3;2)\overrightarrow{v}=(3; 2) là $$ \left{ \begin{aligned} x &= -2 + 3t \ y &= 1 + 2t \end{aligned} \right. \quad (t \in \mathbb{R}). $$

c) Ta có $$ \overrightarrow{AB} = (-2 - 1; 1 - 3) = (-3; -2). $$ Do đó, vecto chỉ phương của đường thẳng ABAB là AB→=(−3;−2).\overrightarrow{AB} = (-3; -2).

Phương trình tham số của đường thẳng ABAB đi qua A(1;3)A(1; 3) và có vecto chỉ phương AB→=(−3;−2)\overrightarrow{AB} = (-3; -2) là $$ \left{ \begin{aligned} x &= 1 - 3t \ y &= 3 - 2t \end{aligned} \right. \quad (t \in \mathbb{R}). $$

Kết quả:

  • Phương trình Δ1\Delta_1: 2x+y−5=02x + y - 5 = 0
  • Phương trình Δ2\Delta_2: {x=−2+3ty=1+2t\left\{ \begin{aligned} x &= -2 + 3t \\ y &= 1 + 2t \end{aligned} \right.
  • Phương trình ABAB: {x=1−3ty=3−2t\left\{ \begin{aligned} x &= 1 - 3t \\ y &= 3 - 2t \end{aligned} \right.

Bài 7.2. Lập phương trình tổng quát của các trục tọa độ.

Lời giải:

  • Trục OxOx đi qua O(0;0)O(0; 0) và có vecto chỉ phương i→=(1;0).\overrightarrow{i} = (1; 0). Do đó, trục OxOx có vecto pháp tuyến n→=(0;1).\overrightarrow{n} = (0; 1).

Phương trình tổng quát của trục OxOx là $$ 0(x-0) + 1(y-0) = 0 \iff y = 0. $$

  • Trục OyOy đi qua O(0;0)O(0; 0) và có vecto chỉ phương j→=(0;1).\overrightarrow{j} = (0; 1). Do đó, trục OyOy có vecto pháp tuyến n→=(1;0).\overrightarrow{n} = (1; 0).

Phương trình tổng quát của trục OyOy là $$ 1(x-0) + 0(y-0) = 0 \iff x = 0. $$

Kết quả:

  • Phương trình trục OxOx: y=0y = 0
  • Phương trình trục OyOy: x=0x = 0

Bài 7.3. Cho hai đường thẳng Δ1:{x=1+2ty=3+5t\Delta_1: \left\{ \begin{aligned} x &= 1 + 2t \\ y &= 3 + 5t \end{aligned} \right. và Δ2:2x+3y−5=0.\Delta_2: 2x + 3y - 5 = 0.

a) Lập phương trình tổng quát của Δ1.\Delta_1.

b) Lập phương trình tham số của Δ2.\Delta_2.

Lời giải:

a) Δ1\Delta_1 đi qua A(1;3)A(1; 3) và có vecto chỉ phương u→=(2;5).\overrightarrow{u} = (2; 5).

Do đó, Δ1\Delta_1 có vecto pháp tuyến n→=(5;−2).\overrightarrow{n} = (5; -2).

Phương trình tổng quát của Δ1\Delta_1 là $$ 5(x-1) - 2(y-3) = 0 \iff 5x - 2y + 1 = 0. $$

b) Δ2\Delta_2 đi qua M(x0;y0)M(x_0; y_0) và có vecto pháp tuyến n→=(2;3).\overrightarrow{n} = (2; 3).

Do đó, Δ2\Delta_2 có vecto chỉ phương u→=(3;−2).\overrightarrow{u} = (3; -2).

Ta có M∈Δ2  ⟺  2x0+3y0−5=0  ⟺  2x0=5−3y0  ⟺  x0=5−3y02.M \in \Delta_2 \iff 2x_0 + 3y_0 - 5 = 0 \iff 2x_0 = 5 - 3y_0 \iff x_0 = \frac{5 - 3y_0}{2}.

Chọn y0=1  ⟹  x0=1  ⟹  M(1;1)∈Δ2.y_0 = 1 \implies x_0 = 1 \implies M(1; 1) \in \Delta_2.

Phương trình tham số của Δ2\Delta_2 là $$ \left{ \begin{aligned} x &= 1 + 3t \ y &= 1 - 2t \end{aligned} \right. \quad (t \in \mathbb{R}). $$

Kết quả:

  • Phương trình Δ1\Delta_1: 5x−2y+1=05x - 2y + 1 = 0
  • Phương trình Δ2\Delta_2: {x=1+3ty=1−2t\left\{ \begin{aligned} x &= 1 + 3t \\ y &= 1 - 2t \end{aligned} \right.

Bài 7.4. Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABCABC có A(1;2),B(3;0)A(1; 2), B(3; 0) và C(−2;−1).C(-2; -1).

a) Lập phương trình đường cao kẻ từ A.A.

b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ B.B.

Lời giải:

a) Đường cao kẻ từ AA có vecto pháp tuyến BC→=(−5;−1).\overrightarrow{BC} = (-5; -1).

Phương trình đường cao kẻ từ AA là $$ -5(x-1) - 1(y-2) = 0 \iff 5x + y - 7 = 0. $$

b) Gọi MM là trung điểm của AC.AC.

Ta có M(1−22;2−12)=(−12;12).M \left( \frac{1-2}{2}; \frac{2-1}{2} \right) = \left( -\frac{1}{2}; \frac{1}{2} \right).

Đường trung tuyến kẻ từ BB có vecto chỉ phương BM→=(−72;12).\overrightarrow{BM} = \left( -\frac{7}{2}; \frac{1}{2} \right).

Phương trình đường trung tuyến kẻ từ BB là $$ \left{ \begin{aligned} x &= 3 - \frac{7}{2}t \ y &= \frac{1}{2}t \end{aligned} \right. \quad (t \in \mathbb{R}). $$

Kết quả:

  • Phương trình đường cao: 5x+y−7=05x + y - 7 = 0
  • Phương trình đường trung tuyến: {x=3−72ty=12t\left\{ \begin{aligned} x &= 3 - \frac{7}{2}t \\ y &= \frac{1}{2}t \end{aligned} \right.

Bài 7.5. (Phương trình đoạn chắn của đường thẳng) Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm A(a;0),B(0;b)A(a; 0), B(0; b) với ab≠0ab \ne 0 (H.7.3)(H.7.3) có phương trình là $$ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1. $$

Lời giải:

Đường thẳng ABAB có vecto chỉ phương AB→=(−a;b).\overrightarrow{AB} = (-a; b).

Do đó, ABAB có vecto pháp tuyến n→=(b;a).\overrightarrow{n} = (b; a).

Phương trình đường thẳng ABAB là $$ b(x-a) + a(y-0) = 0 \iff bx + ay - ab = 0 \iff \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1. $$

Kết quả: xa+yb=1\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

Bài 7.6. Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có vĩ độ 21,2∘21,2^\circ Bắc, kinh độ 105,8∘105,8^\circ Đông, sân bay Đà Nẵng có vĩ độ 16,1∘16,1^\circ Bắc, kinh độ 108,2∘108,2^\circ Đông. Một máy bay, bay từ Nội Bài đến sân bay Đà Nẵng. Tại thời điểm tt giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay ở vị trí có vĩ độ x∘x^\circ Bắc, kinh độ y∘y^\circ Đông.

Lời giải:

  • Vĩ độ của sân bay Nội Bài: x1=21,2∘x_1 = 21,2^\circ
  • Kinh độ của sân bay Nội Bài: y1=105,8∘y_1 = 105,8^\circ
  • Vĩ độ của sân bay Đà Nẵng: x2=16,1∘x_2 = 16,1^\circ
  • Kinh độ của sân bay Đà Nẵng: y2=108,2∘y_2 = 108,2^\circ

Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm (x1,y1)(x_1, y_1) và (x2,y2)(x_2, y_2) là $$ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{108,2 - 105,8}{16,1 - 21,2} = \frac{2,4}{-5,1} \approx -0,4706. $$

Phương trình đường thẳng (mô hình tuyến tính) biểu diễn mối quan hệ giữa xx và yy là $$ y - y_1 = k(x - x_1) \implies y - 105,8 = -0,4706(x - 21,2). $$

Tại thời điểm tt giờ, máy bay ở vị trí có vĩ độ x∘x^\circ Bắc, kinh độ y∘y^\circ Đông.

Kết quả: y−105,8=−0,4706(x−21,2).y - 105,8 = -0,4706(x - 21,2).

Trang 36 — Chương 7: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài tập

a) Hỏi chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ?

b) Tại thời điểm 11 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17(17∘17 (17^\circ Bắc) chưa?

Lời giải:

a) Để tìm thời gian chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng, ta cần xác định thời điểm máy bay đến Đà Nẵng, tức là tìm tt sao cho y=0y = 0.

Phương trình tọa độ theo thời gian tt là:

y=105,8+95t=0y = 105,8 + \frac{9}{5}t = 0

Giải phương trình:

95t=−105,8t=−59×105,8t≈−58,78\begin{aligned} \frac{9}{5}t &= -105,8 \\ t &= -\frac{5}{9} \times 105,8 \\ t &\approx -58,78 \end{aligned}

Vì t≈−58,78<0t \approx -58,78 < 0, nên ta chỉ xét thời gian bay từ lúc cất cánh. Do đó, thời gian bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng là khoảng 58,7858,78 phút, tương đương 0,980,98 giờ.

b) Tại thời điểm 11 giờ kể từ lúc cất cánh, ta có t=1t = 1.

Thay t=1t = 1 vào phương trình tọa độ xx:

x=21,2−15340×1=21,2−3,825=17,375\begin{aligned} x &= 21,2 - \frac{153}{40} \times 1 \\ &= 21,2 - 3,825 \\ &= 17,375 \end{aligned}

Vĩ tuyến 17∘17^\circ Bắc có tọa độ y=17y = 17.

Thay t=1t = 1 vào phương trình tọa độ yy:

y=105,8+95×1=105,8+1,8=107,6\begin{aligned} y &= 105,8 + \frac{9}{5} \times 1 \\ &= 105,8 + 1,8 \\ &= 107,6 \end{aligned}

Vì 17,375>1717,375 > 17, nên tại thời điểm 11 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17(17∘17 (17^\circ Bắc).

Kết quả: a) 58,7858,78 phút; b) Máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17(17∘17 (17^\circ Bắc).

Trang 36 — Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, góc và khoảng cách

Bài tập:

  1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

H1. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng Δ1:x−2y+3=0,\Delta_1: x - 2y + 3 = 0, Δ2:3x−y−1=0.\Delta_2: 3x - y - 1 = 0.

a) Điểm M(1;2)M(1; 2) có thuộc cả hai đường thẳng nói trên hay không?

b) Giải hệ {x−2y+3=03x−y−1=0.\left\{ \begin{aligned} x - 2y + 3 = 0 \\ 3x - y - 1 = 0. \end{aligned} \right.

c) Chỉ ra mối quan hệ giữa tọa độ giao điểm của Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 với nghiệm của hệ phương trình trên.

Lời giải:

a) Thay tọa độ điểm M(1;2)M(1; 2) vào phương trình đường thẳng Δ1:\Delta_1: 1−2⋅2+3=01 - 2 \cdot 2 + 3 = 0   ⟺  0=0.\iff 0 = 0.

Vậy điểm M(1;2)M(1; 2) thuộc đường thẳng Δ1\Delta_1.

Thay tọa độ điểm M(1;2)M(1; 2) vào phương trình đường thẳng Δ2:\Delta_2: 3⋅1−2−1=03 \cdot 1 - 2 - 1 = 0   ⟺  0=0.\iff 0 = 0.

Vậy điểm M(1;2)M(1; 2) thuộc đường thẳng Δ2\Delta_2.

b) Giải hệ {x−2y+3=03x−y−1=0.\left\{ \begin{aligned} x - 2y + 3 = 0 \\ 3x - y - 1 = 0. \end{aligned} \right.

Từ phương trình đầu tiên, ta có x=2y−3.x = 2y - 3.

Thay vào phương trình thứ hai, ta được 3(2y−3)−y−1=03(2y - 3) - y - 1 = 0   ⟺  6y−9−y−1=0\iff 6y - 9 - y - 1 = 0   ⟺  5y−10=0\iff 5y - 10 = 0   ⟺  5y=10\iff 5y = 10   ⟺  y=2.\iff y = 2.

Thay y=2y = 2 vào phương trình x=2y−3,x = 2y - 3, ta có x=2⋅2−3=1.x = 2 \cdot 2 - 3 = 1.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất {x=1y=2.\left\{ \begin{aligned} x = 1 \\ y = 2. \end{aligned} \right.

c) Tọa độ giao điểm của Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 là nghiệm của hệ phương trình {x−2y+3=03x−y−1=0.\left\{ \begin{aligned} x - 2y + 3 = 0 \\ 3x - y - 1 = 0. \end{aligned} \right.

Nhận xét. Mỗi đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ là tập hợp những điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình của đường thẳng đó. Vì vậy, bài toán tìm giao điểm của hai đường thẳng được quy về bài toán giải hệ gồm hai phương trình tương ứng.

Trên mặt phẳng tọa độ, xét hai đường thẳng Δ1:a1x+b1y+c1=0\Delta_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0 và Δ2:a2x+b2y+c2=0.\Delta_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0.

Khi đó, tọa độ giao điểm của Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 là nghiệm của hệ phương trình: {a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0.\left\{ \begin{aligned} a_1x + b_1y + c_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2 = 0. \end{aligned} \right. (∗)(*)

Δ1\Delta_1 cắt Δ2\Delta_2 tại M(x0;y0)⇔M(x_0; y_0) \Leftrightarrow hệ (∗)(*) có nghiệm duy nhất (x0;y0)(x_0; y_0).

Δ1\Delta_1 song song với Δ2⇔\Delta_2 \Leftrightarrow hệ (∗)(*) vô nghiệm.

Δ1\Delta_1 trùng Δ2⇔\Delta_2 \Leftrightarrow hệ (∗)(*) có vô số nghiệm.

Kết quả:

  • Điểm M(1;2)M(1; 2) thuộc cả hai đường thẳng Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2.
  • Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1;2)(1; 2).
  • Tọa độ giao điểm của Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 là nghiệm của hệ phương trình.

Trang 38 — Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng

Luyện tập 1. Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau: a) Δ1:x+4y−3=0\Delta_1: x+4y-3=0 và Δ2:x−4y−3=0\Delta_2: x-4y-3=0;

Lời giải:

a) Δ1:x+4y−3=0\Delta_1: x+4y-3=0 và Δ2:x−4y−3=0\Delta_2: x-4y-3=0

Vectơ pháp tuyến của Δ1\Delta_1 là n1→=(1,4)\overrightarrow{n_1} = (1, 4)
Vectơ pháp tuyến của Δ2\Delta_2 là n2→=(1,−4)\overrightarrow{n_2} = (1, -4)

Ta thấy n1→\overrightarrow{n_1} và n2→\overrightarrow{n_2} không cùng phương
⇒Δ1\Rightarrow \Delta_1 và Δ2\Delta_2 cắt nhau.

Để tìm điểm giao nhau, giải hệ phương trình:
$$ \begin{cases} x + 4y - 3 = 0 \ x - 4y - 3 = 0 \end{cases} $$

Trừ hai phương trình:
8y=0⇒y=08y = 0 \Rightarrow y = 0
Thay y=0y = 0 vào phương trình đầu:
x−3=0⇒x=3x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3

Vậy điểm giao nhau là (3,0)(3, 0).

Kết quả: Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 cắt nhau tại (3,0)(3, 0).

b) Δ1:x+2y−5=0\Delta_1: x+2y-\sqrt{5} = 0 và Δ2:2x+4y−35=0\Delta_2: 2x+4y-3\sqrt{5} = 0.

Lời giải:

b) Δ1:x+2y−5=0\Delta_1: x+2y-\sqrt{5} = 0 và Δ2:2x+4y−35=0\Delta_2: 2x+4y-3\sqrt{5} = 0

Vectơ pháp tuyến của Δ1\Delta_1 là n1→=(1,2)\overrightarrow{n_1} = (1, 2)
Vectơ pháp tuyến của Δ2\Delta_2 là n2→=(2,4)\overrightarrow{n_2} = (2, 4)

Ta có n2→=2n1→\overrightarrow{n_2} = 2\overrightarrow{n_1}, nên n1→\overrightarrow{n_1} và n2→\overrightarrow{n_2} cùng phương.

Kiểm tra điểm thuộc đường:

  • Điểm (0,52)(0, \frac{\sqrt{5}}{2}) thuộc Δ1\Delta_1.
  • Kiểm tra điểm này trong Δ2\Delta_2:
    2(0)+4(52)−35=02(0) + 4(\frac{\sqrt{5}}{2}) - 3\sqrt{5} = 0
    ⇒25−35=−5≠0\Rightarrow 2\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = -\sqrt{5} \neq 0.
    Điểm này không thuộc Δ2\Delta_2.

Vậy Δ1\Delta_1 song song với Δ2\Delta_2.

Kết quả: Δ1\Delta_1 song song với Δ2\Delta_2.