Trang 39 — Góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa hai đường thẳng

Bài tập

Bài tập cần giải

Trang này có một ví dụ cần giải: Ví dụ 2. Tính góc giữa hai đường thẳng

Δ1:3x−y+2=0\Delta_1 : \sqrt{3}x - y + 2 = 0 và Δ2:x−3y−2=0 .\Delta_2 : x - \sqrt{3}y - 2 = 0\,.

Lời giải: Vector pháp tuyến của Δ1\Delta_1 là n1⃗=(3;−1)\vec{n_1} = (\sqrt{3};-1), của Δ2\Delta_2 là n2⃗=(1;−3)\vec{n_2} = (1;-\sqrt{3}). Gọi φ\varphi là góc giữa hai đường thẳng Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2. Ta có

cos⁡φ=∣cos⁡(n1⃗,n2⃗)∣=∣n1⃗⋅n2⃗∣∣n1⃗∣⋅∣n2⃗∣=∣3⋅1+(−1)⋅(−3)∣(3)2+(−1)2⋅12+(−3)2=32 .\cos\varphi = \left|\cos (\vec{n_1}, \vec{n_2})\right| = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|\sqrt{3} \cdot 1 + (-1) \cdot (-\sqrt{3})|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,.

Do đó, góc giữa Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 là φ=30∘\varphi = 30^\circ.

Kết quả: 30∘30^\circ

Trang 39 —

Trang 39

Luyện tập 2. Tính góc giữa hai đường thẳng

Đề bài: Tính góc giữa hai đường thẳng Δ1:x+3y+2=0\Delta_1: x + 3y + 2 = 0 và Δ2:y=3x+1.\Delta_2: y = 3x + 1.

Lời giải:

Đường thẳng Δ1\Delta_1 có phương trình x+3y+2=0x + 3y + 2 = 0 nên có vectơ pháp tuyến n1→(1;3)\overrightarrow{n_1}(1; 3). Đường thẳng Δ2\Delta_2 có phương trình y=3x+1y = 3x + 1 nên có vectơ pháp tuyến n2→(3;−1)\overrightarrow{n_2}(3; -1). Gọi φ\varphi là góc giữa hai đường thẳng Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2. Ta có

cos⁡φ=∣cos⁡(n1→,n2→)∣=∣n1→⋅n2→∣∣n1→∣⋅∣n2→∣=∣1⋅3+3⋅(−1)∣12+32⋅32+(−1)2=010⋅10=0.\cos \varphi = \left| \cos (\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}) \right| = \frac{|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|} = \frac{|1 \cdot 3 + 3 \cdot (-1)|}{\sqrt{1^2 + 3^2} \cdot \sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{0}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = 0.

Do đó, góc giữa Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 là φ=90∘\varphi = 90^\circ.

Kết quả: 90∘90^\circ

Ví dụ 3. Tính góc giữa hai đường thẳng

Đề bài: Tính góc giữa hai đường thẳng Δ1:x=3\Delta_1: x = 3 và Δ2:{x=2−ty=3+t\Delta_2: \begin{cases} x = 2 - t \\ y = 3 + t \end{cases}.

Lời giải:

Đường thẳng Δ1\Delta_1 có phương trình x−3=0x - 3 = 0 nên có vectơ pháp tuyến n1→(1;0)\overrightarrow{n_1}(1; 0). Đường thẳng Δ2\Delta_2 có vectơ chỉ phương u2→(−1;1)\overrightarrow{u_2}(-1; 1) nên có vectơ pháp tuyến n2→(1;1)\overrightarrow{n_2}(1; 1). Gọi φ\varphi là góc giữa hai đường thẳng Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2. Ta có

cos⁡φ=∣cos⁡(n1→,n2→)∣=∣n1→⋅n2→∣∣n1→∣⋅∣n2→∣=∣1⋅1+0⋅1∣12+02⋅12+12=12.\cos \varphi = \left| \cos (\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}) \right| = \frac{|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|} = \frac{|1 \cdot 1 + 0 \cdot 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2} \cdot \sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Do đó, góc giữa Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 là φ=45∘\varphi = 45^\circ.

Kết quả: 45∘45^\circ

Luyện tập 3. Tính góc giữa hai đường thẳng

Đề bài: Tính góc giữa hai đường thẳng Δ1:{x=2+ty=1−2t\Delta_1: \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - 2t \end{cases} và Δ2:{x=1+ty=5+3t\Delta_2: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 5 + 3t \end{cases}.

Lời giải:

Đường thẳng Δ1\Delta_1 có vectơ chỉ phương u1→(1;−2)\overrightarrow{u_1}(1; -2) nên có vectơ pháp tuyến n1→(2;1)\overrightarrow{n_1}(2; 1). Đường thẳng Δ2\Delta_2 có vectơ chỉ phương u2→(1;3)\overrightarrow{u_2}(1; 3) nên có vectơ pháp tuyến n2→(3;−1)\overrightarrow{n_2}(3; -1). Gọi φ\varphi là góc giữa hai đường thẳng Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2. Ta có

cos⁡φ=∣cos⁡(n1→,n2→)∣=∣n1→⋅n2→∣∣n1→∣⋅∣n2→∣=∣2⋅3+1⋅(−1)∣22+12⋅32+(−1)2=55⋅10=12.\cos \varphi = \left| \cos (\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}) \right| = \frac{|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|} = \frac{|2 \cdot 3 + 1 \cdot (-1)|}{\sqrt{2^2 + 1^2} \cdot \sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Do đó, góc giữa Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 là φ=45∘\varphi = 45^\circ.

Kết quả: 45∘45^\circ

Luyện tập 4.

a) Chứng minh rằng Δ\Delta cắt trục hoành.

Lời giải:

Đường thẳng Δ:y=ax+b\Delta: y = ax + b.

  • Để Δ\Delta cắt trục hoành, ta tìm giao điểm của Δ\Delta với trục OxOx (có phương trình y=0y = 0).

  • Thay y=0y = 0 vào phương trình của Δ\Delta, ta được:

    0=ax+b.0 = ax + b.

  • Nếu a≠0,a \neq 0, ta có:

    x=−ba.x = -\frac{b}{a}.

  • Vậy đường thẳng Δ\Delta luôn cắt trục hoành tại điểm A(−ba;0).A \left( -\frac{b}{a}; 0 \right).

b) Lập phương trình đường thẳng Δ0\Delta_0 đi qua O(0;0)O(0; 0) và song song (hoặc trùng) với Δ\Delta.

Lời giải:

  • Vì Δ0\Delta_0 song song (hoặc trùng) với Δ,\Delta, Δ0\Delta_0 có hệ số góc bằng Δ,\Delta, tức là Δ0:y=ax.\Delta_0: y = ax.

c) Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa αΔ\alpha_\Delta và αΔ0\alpha_{\Delta_0}.

Lời giải:

  • αΔ\alpha_\Delta là số đo góc tạo bởi Δ\Delta và tia AxAx (nằm phía trên trục hoành).

  • αΔ0\alpha_{\Delta_0} là số đo góc tạo bởi Δ0\Delta_0 và tia OxOx (nằm phía trên trục hoành).

  • Vì Δ\Delta và Δ0\Delta_0 song song (hoặc trùng) nên αΔ=αΔ0.\alpha_\Delta = \alpha_{\Delta_0}.

d) Gọi MM là giao điểm của Δ0\Delta_0 với nửa đường tròn đơn vị và x0x_0 là hoành độ của M.M. Tính tung độ của MM theo x0x_0 và a.a. Từ đó, chứng minh rằng tan⁡αΔ=a.\tan \alpha_\Delta = a.

Lời giải:

  • Điểm MM có hoành độ x0,x_0, thuộc nửa đường tròn đơn vị nên tung độ của MM là 1−x02.\sqrt{1 - x_0^2}.

  • Do MM thuộc Δ0:y=ax\Delta_0: y = ax nên tung độ của MM là ax0.ax_0.

  • Suy ra

    1−x02=ax0⇒1−x02=a2x02⇒x02=11+a2⇒x0=±11+a2.\sqrt{1 - x_0^2} = ax_0 \Rightarrow 1 - x_0^2 = a^2 x_0^2 \Rightarrow x_0^2 = \frac{1}{1 + a^2} \Rightarrow x_0 = \pm \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}.

  • Do MM thuộc nửa đường tròn đơn vị (phía trên trục hoành) nên x0>0,x_0 > 0, suy ra

    x0=11+a2.x_0 = \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}.

  • Khi đó,

    tan⁡αΔ=tan⁡αΔ0=1−x02x0=ax0x0=a.\tan \alpha_\Delta = \tan \alpha_{\Delta_0} = \frac{\sqrt{1 - x_0^2}}{x_0} = \frac{ax_0}{x_0} = a.

Kết quả: tan⁡αΔ=a\tan \alpha_\Delta = a

Trang 41 — Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Luyện tập 5. Tính khoảng cách từ điểm M(1;2)M(1; 2) đến đường thẳng Δ:{x=5+3ty=−5−4t\Delta: \begin{cases} x = 5 + 3t \\ y = -5 - 4t \end{cases}.

Lời giải: Trước tiên, ta cần viết phương trình đường thẳng Δ\Delta dưới dạng tổng quát.

Đường thẳng Δ\Delta có phương trình tham số {x=5+3ty=−5−4t.\begin{cases} x = 5 + 3t \\ y = -5 - 4t \end{cases}.

Suy ra, đường thẳng Δ\Delta đi qua điểm A(5;−5)A(5; -5) và có vectơ chỉ phương u→=(3;−4)\overrightarrow{u} = (3; -4).

Do đó, vectơ pháp tuyến của Δ\Delta là n→=(4;3)\overrightarrow{n} = (4; 3).

Phương trình đường thẳng Δ\Delta có dạng $$ \begin{aligned} 4(x - 5) + 3(y + 5) &= 0 \ \iff 4x + 3y - 5 &= 0. \end{aligned} $$

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm MM đến đường thẳng Δ\Delta, ta có $$ \begin{aligned} d(M, \Delta) &= \frac{|4 \cdot 1 + 3 \cdot 2 - 5|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} \ &= \frac{|4 + 6 - 5|}{\sqrt{16 + 9}} \ &= \frac{5}{\sqrt{25}} \ &= \frac{5}{5} \ &= 1. \end{aligned} $$

Kết quả: 11.

Trang 42 — Bài tập

Bài 7.7. Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) Δ1:32x+2y−3=0\Delta_1: 3\sqrt{2}x + \sqrt{2}y - \sqrt{3} = 0 và Δ2:6x+2y−6=0\Delta_2: 6x + 2y - \sqrt{6} = 0.

b) d1:x−3y+2=0d_1: x - \sqrt{3}y + 2 = 0 và d2:3x−3y+2=0d_2: \sqrt{3}x - 3y + 2 = 0.

c) m1:x−2y+1=0m_1: x - 2y + 1 = 0 và m2:3x+y−2=0m_2: 3x + y - 2 = 0.

Lời giải:

a) Ta có Δ1:32x+2y−3=0\Delta_1: 3\sqrt{2}x + \sqrt{2}y - \sqrt{3} = 0 và Δ2:6x+2y−6=0\Delta_2: 6x + 2y - \sqrt{6} = 0.

Δ2\Delta_2 có thể viết lại là 32x+2y−62=03\sqrt{2}x + \sqrt{2}y - \frac{\sqrt{6}}{2} = 0.

Ta thấy 32:2:−3=6:2:−623\sqrt{2} : \sqrt{2} : -\sqrt{3} = 6 : 2 : -\frac{\sqrt{6}}{2}.

Vậy Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 trùng nhau.

Kết quả: Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 trùng nhau.

b) Ta có d1:x−3y+2=0d_1: x - \sqrt{3}y + 2 = 0 và d2:3x−3y+2=0d_2: \sqrt{3}x - 3y + 2 = 0.

d2d_2 có thể viết lại là x−3y+23=0x - \sqrt{3}y + \frac{2}{\sqrt{3}} = 0.

Ta thấy 1:−3:2≠1:−3:231 : -\sqrt{3} : 2 \ne 1 : -\sqrt{3} : \frac{2}{\sqrt{3}}.

Vậy d1d_1 và d2d_2 song song.

Kết quả: d1d_1 và d2d_2 song song.

c) Ta có m1:x−2y+1=0m_1: x - 2y + 1 = 0 và m2:3x+y−2=0m_2: 3x + y - 2 = 0.

Ta có hệ số góc của m1m_1 là 12\frac{1}{2} và hệ số góc của m2m_2 là −3-3.

Ta thấy 12⋅(−3)≠−1\frac{1}{2} \cdot (-3) \ne -1.

Vậy m1m_1 và m2m_2 cắt nhau.

Kết quả: m1m_1 và m2m_2 cắt nhau.

Bài 7.8. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) Δ1:3x+y−4=0\Delta_1: \sqrt{3}x + y - 4 = 0 và Δ2:x+3y+3=0\Delta_2: x + \sqrt{3}y + 3 = 0.

b) d1:{x=−1+2ty=3+4td_1: \left\{ \begin{aligned} & x = -1 + 2t \\ & y = 3 + 4t \end{aligned} \right. và d2:{x=3+sy=1−3sd_2: \left\{ \begin{aligned} & x = 3 + s \\ & y = 1 - 3s \end{aligned} \right..

Lời giải:

a) Δ1\Delta_1 có vectơ pháp tuyến n1→=(3,1)\overrightarrow{n_1} = (\sqrt{3}, 1).

Δ2\Delta_2 có vectơ pháp tuyến n2→=(1,3)\overrightarrow{n_2} = (1, \sqrt{3}).

Ta có cos⁡(Δ1,Δ2)=∣n1→⋅n2→∣n1→∣⋅∣n2→∣∣=∣3+33+1⋅1+3∣=32\cos \left( \Delta_1, \Delta_2 \right) = \left| \dfrac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{\left| \overrightarrow{n_1} \right| \cdot \left| \overrightarrow{n_2} \right|} \right| = \left| \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{\sqrt{3 + 1} \cdot \sqrt{1 + 3}} \right| = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Vậy (Δ1,Δ2)=30∘\left( \Delta_1, \Delta_2 \right) = 30^\circ.

Kết quả: 30∘30^\circ.

b) d1d_1 có vectơ chỉ phương u1→=(2,4)\overrightarrow{u_1} = (2, 4).

d2d_2 có vectơ chỉ phương u2→=(1,−3)\overrightarrow{u_2} = (1, -3).

Ta có cos⁡(d1,d2)=∣u1→⋅u2→∣u1→∣⋅∣u2→∣∣=∣2−124+16⋅1+9∣=1020⋅10=12\cos \left( d_1, d_2 \right) = \left| \dfrac{\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{u_2}}{\left| \overrightarrow{u_1} \right| \cdot \left| \overrightarrow{u_2} \right|} \right| = \left| \dfrac{2 - 12}{\sqrt{4 + 16} \cdot \sqrt{1 + 9}} \right| = \dfrac{10}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{10}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}.

Vậy (d1,d2)=45∘\left( d_1, d_2 \right) = 45^\circ.

Kết quả: 45∘45^\circ.

Bài 7.9. Trong mặt phẳng tọa độ OxyOxy, cho điểm A(0;−2)A(0; -2) và đường thẳng Δ:x+y−4=0\Delta: x + y - 4 = 0.

a) Tính khoảng cách từ điểm AA đến đường thẳng Δ\Delta.

b) Viết phương trình đường thẳng aa đi qua điểm M(−1;0)M(-1; 0) và song song với Δ\Delta.

c) Viết phương trình đường thẳng bb đi qua điểm N(0;3)N(0; 3) và vuông góc với Δ\Delta.

Lời giải:

a) Ta có d(A,Δ)=∣0−2−4∣1+1=62=32d(A, \Delta) = \dfrac{\left| 0 - 2 - 4 \right|}{\sqrt{1 + 1}} = \dfrac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}.

Kết quả: 323\sqrt{2}.

b) Đường thẳng aa có phương trình x+y+c=0x + y + c = 0.

Ta có −1+0+c=0⇒c=1-1 + 0 + c = 0 \Rightarrow c = 1.

Vậy đường thẳng aa có phương trình x+y+1=0x + y + 1 = 0.

Kết quả: x+y+1=0x + y + 1 = 0.

c) Đường thẳng bb có vectơ chỉ phương u→=(1,−1)\overrightarrow{u} = (1, -1).

Vậy đường thẳng bb có phương trình x1=y−3−1\dfrac{x}{1} = \dfrac{y - 3}{-1}.

Kết quả: x+y−3=0x + y - 3 = 0.

Bài 7.10. Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABCABC có A(1;0),B(3;2)A(1; 0), B(3; 2) và C(−2;−1)C(-2; -1).

a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh AA của tam giác ABCABC.

b) Tính diện tích tam giác ABCABC.

Lời giải:

a) Ta có BC→=(−5,−3)\overrightarrow{BC} = (-5, -3).

Đường thẳng BCBC có vectơ pháp tuyến n→=(3,−5)\overrightarrow{n} = (3, -5).

Đường thẳng BCBC có phương trình 3(x−3)−5(y−2)=03(x - 3) - 5(y - 2) = 0.

Ta có d(A,BC)=∣3−5(−2)∣9+25=1334d(A, BC) = \dfrac{\left| 3 - 5(-2) \right|}{\sqrt{9 + 25}} = \dfrac{13}{\sqrt{34}}.

Kết quả: 1334\dfrac{13}{\sqrt{34}}.

b) Ta có AB→=(2,2)\overrightarrow{AB} = (2, 2) và AC→=(−3,−1)\overrightarrow{AC} = (-3, -1).

Diện tích tam giác ABCABC là S=12∣det⁡(22−3−1)∣=12∣−2+6∣=2S = \dfrac{1}{2} \left| \det \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} \right| = \dfrac{1}{2} \left| -2 + 6 \right| = 2.

Kết quả: 22.

Bài 7.11. Chứng minh rằng hai đường thẳng d:y=ax+bd: y = ax + b (a≠0)(a \ne 0) và d′:y=a′x+b′d': y = a'x + b' (a′≠0)(a' \ne 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa′=−1aa' = -1.

Lời giải:

Đường thẳng dd có vectơ chỉ phương u→=(1,a)\overrightarrow{u} = (1, a).

Đường thẳng d′d' có vectơ chỉ phương u′→=(1,a′)\overrightarrow{u'} = (1, a').

Hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi u→⋅u′→=0\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u'} = 0.

Ta có u→⋅u′→=1+aa′\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u'} = 1 + aa'.

Vậy aa′=−1aa' = -1.

Kết quả: aa′=−1aa' = -1.

Bài 7.12. Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O(0;0)O(0;0), A(1;0)A(1; 0), B(1;3)B(1; 3) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.

Lời giải:

Gọi M(x;y)M(x; y) là vị trí phát tín hiệu.

Ta có OM=x2+y2OM = \sqrt{x^2 + y^2}.

AM=(x−1)2+y2AM = \sqrt{(x - 1)^2 + y^2}.

BM=(x−1)2+(y−3)2BM = \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 3)^2}.

Ta có OM=AM=BMOM = AM = BM.

Ta có hệ phương trình {x2+y2=(x−1)2+y2x2+y2=(x−1)2+(y−3)2\left\{ \begin{aligned} & x^2 + y^2 = (x - 1)^2 + y^2 \\ & x^2 + y^2 = (x - 1)^2 + (y - 3)^2 \end{aligned} \right..

Giải hệ phương trình ta được M(52;−32)M \left( \dfrac{5}{2}; -\dfrac{3}{2} \right).

Kết quả: (52;−32)\left( \dfrac{5}{2}; -\dfrac{3}{2} \right).