Trang 43 —

Không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hay ví dụ cần giải trên trang này. Trang này chủ yếu trình bày phần lý thuyết và hình ảnh minh họa về cơ sở toán học cho các tính toán trong phần mềm GeoGebra.

Kết luận

SKIP

Trang 44 — Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài tập

Bài 1

Không có đề bài tập nào trên trang này.

Vì trên trang chỉ có phần lý thuyết về đường tròn trong mặt phẳng tọa độ, không có bài tập cụ thể nào được liệt kê.

Kết quả: SKIP

Trang 45 — Đường tròn

Luyện tập 2. Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng.

a) x2−y2−2x+4y−1=0x^2 - y^2 - 2x + 4y - 1 = 0

Lời giải:

Phương trình đường tròn có dạng (x−a)2+(y−b)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2, tương đương x2+y2−2ax−2by+a2+b2−R2=0x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - R^2 = 0.

So sánh với phương trình đã cho: x2−y2−2x+4y−1=0x^2 - y^2 - 2x + 4y - 1 = 0, ta thấy đây không phải là phương trình đường tròn vì không có dạng chuẩn.

Kết quả: Không phải phương trình đường tròn.

b) x2+y2−2x+4y+6=0x^2 + y^2 - 2x + 4y + 6 = 0

Lời giải:

Phương trình đường tròn có dạng (x−a)2+(y−b)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2, tương đương x2+y2−2ax−2by+a2+b2−R2=0x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - R^2 = 0.

So sánh với phương trình đã cho: x2+y2−2x+4y+6=0x^2 + y^2 - 2x + 4y + 6 = 0, ta có:

  • a=1a = 1, b=−2b = -2
  • a2+b2−R2=6a^2 + b^2 - R^2 = 6

Ta có a2+b2=1+4=5a^2 + b^2 = 1 + 4 = 5. Để phương trình là đường tròn thì 5−R2=6⇒R2=−1<05 - R^2 = 6 \Rightarrow R^2 = -1 < 0 (vô lý).

Kết quả: Không phải phương trình đường tròn.

c) x2+y2+6x−4y+2=0x^2 + y^2 + 6x - 4y + 2 = 0

Lời giải:

Phương trình đường tròn có dạng (x−a)2+(y−b)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2, tương đương x2+y2−2ax−2by+a2+b2−R2=0x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - R^2 = 0.

So sánh với phương trình đã cho: x2+y2+6x−4y+2=0x^2 + y^2 + 6x - 4y + 2 = 0, ta có:

  • a=−3a = -3, b=2b = 2
  • a2+b2−R2=2a^2 + b^2 - R^2 = 2

Ta có a2+b2=9+4=13a^2 + b^2 = 9 + 4 = 13. Để phương trình là đường tròn thì 13−R2=2⇒R2=11>013 - R^2 = 2 \Rightarrow R^2 = 11 > 0.

Tâm đường tròn là I(−3;2)I(-3; 2) và bán kính R=11R = \sqrt{11}.

Kết quả: Phương trình đường tròn, tâm I(−3;2)I(-3; 2), bán kính R=11R = \sqrt{11}.

Trang 46 — Đường tròn

Luyện tập 3. Viết phương trình đường tròn (C)(C) đi qua ba điểm M(4;−5)M(4; -5), N(2;−1)N(2; -1), P(3;−8)P(3; -8).

Lời giải:

Gọi phương trình đường tròn (C)(C) là x2+y2+2ax+2by+c=0x^2 + y^2 + 2ax + 2by + c = 0.

Vì (C)(C) đi qua ba điểm M(4;−5)M(4; -5), N(2;−1)N(2; -1), P(3;−8)P(3; -8) nên ta có hệ phương trình:

{16−40+8a−10b+c=04−4+4a−2b+c=09+64+6a−16b+c=0\begin{cases} 16 - 40 + 8a - 10b + c = 0 \\ 4 - 4 + 4a - 2b + c = 0 \\ 9 + 64 + 6a - 16b + c = 0 \end{cases}   ⟺  {8a−10b+c=244a−2b+c=46a−16b+c=−73\iff \begin{cases} 8a - 10b + c = 24 \\ 4a - 2b + c = 4 \\ 6a - 16b + c = -73 \end{cases}

Giải hệ phương trình trên:

{8a−10b+c=244a−2b+c=46a−16b+c=−73\begin{cases} 8a - 10b + c = 24 \\ 4a - 2b + c = 4 \\ 6a - 16b + c = -73 \end{cases}

Trừ vế theo vế phương trình thứ nhất và thứ hai:

4a−8b=20  ⟺  a−2b=5(1)4a - 8b = 20 \iff a - 2b = 5 \quad (1)

Trừ vế theo vế phương trình thứ nhất và thứ ba:

2a+6b=97(2)2a + 6b = 97 \quad (2)

Từ (1)(1) và (2)(2), ta có:

{a−2b=52a+6b=97\begin{cases} a - 2b = 5 \\ 2a + 6b = 97 \end{cases}   ⟺  {2a−4b=102a+6b=97\iff \begin{cases} 2a - 4b = 10 \\ 2a + 6b = 97 \end{cases}

Trừ vế theo vế:

−10b=−87  ⟺  b=8710-10b = -87 \iff b = \frac{87}{10}

Thay b=8710b = \frac{87}{10} vào (1)(1):

a−2⋅8710=5  ⟺  a=5+17410=50+17410=22410=1125a - 2 \cdot \frac{87}{10} = 5 \iff a = 5 + \frac{174}{10} = \frac{50 + 174}{10} = \frac{224}{10} = \frac{112}{5}

Thay a=1125a = \frac{112}{5} và b=8710b = \frac{87}{10} vào một trong ba phương trình ban đầu:

4⋅1125−2⋅8710+c=44 \cdot \frac{112}{5} - 2 \cdot \frac{87}{10} + c = 4   ⟺  4485−875+c=4\iff \frac{448}{5} - \frac{87}{5} + c = 4   ⟺  3615+c=4\iff \frac{361}{5} + c = 4   ⟺  c=4−3615=20−3615=−3415\iff c = 4 - \frac{361}{5} = \frac{20 - 361}{5} = -\frac{341}{5}

Do đó, phương trình đường tròn (C)(C) là:

x2+y2+2⋅1125⋅x+2⋅8710⋅y−3415=0x^2 + y^2 + 2 \cdot \frac{112}{5} \cdot x + 2 \cdot \frac{87}{10} \cdot y - \frac{341}{5} = 0   ⟺  x2+y2+2245x+875y−3415=0\iff x^2 + y^2 + \frac{224}{5}x + \frac{87}{5}y - \frac{341}{5} = 0   ⟺  5x2+5y2+224x+87y−341=0\iff 5x^2 + 5y^2 + 224x + 87y - 341 = 0

Kết quả: 5x2+5y2+224x+87y−341=05x^2 + 5y^2 + 224x + 87y - 341 = 0.