Giải Toán 10 Tập 2 trang 63-66 - Kết nối tri thức

Trang 63 —

Bài tập 1. Có bao nhiêu số tự nhiên từ $1$ đến $30$ mà không nguyên tố cùng nhau với $35$?

Lời giải:

Các số từ $1$ đến $30$ mà không nguyên tố cùng nhau với $35$ là các số chia hết cho một trong các ước nguyên tố của $35$, đó là $5$ và $7$.

• Các số chia hết cho $5$ là: $5, 10, 15, 20, 25, 30$. Có $6$ số.

• Các số chia hết cho $7$ là: $7, 14, 21, 28$. Có $4$ số.

• Các số chia hết cho cả $5$ và $7$ là: $35$ (không thỏa mãn vì $35$ không nằm trong khoảng từ $1$ đến $30$).

Áp dụng quy tắc cộng, số các số tự nhiên từ $1$ đến $30$ mà không nguyên tố cùng nhau với $35$ là: $6 + 4 = 10$ (số).

Kết quả: $10$

Bài 2. Thầy Trung muốn đi từ Hà Nội vào Huế, rồi từ Huế vào Quảng Nam. Biết rằng từ Hà Nội vào Huế có thể đi bằng $3$ cách: ô tô, tàu hỏa hoặc máy bay. Còn từ Huế vào Quảng Nam có thể đi bằng $2$ cách: ô tô hoặc tàu hỏa (H.8.5).

Hỏi thầy Trung có bao nhiêu cách chọn các phương tiện để đi từ Hà Nội vào Quảng Nam?

Lời giải:

Thầy Trung có $3$ cách chọn phương tiện để đi từ Hà Nội vào Huế và có $2$ cách chọn phương tiện để đi từ Huế vào Quảng Nam.

Áp dụng quy tắc nhân, số cách chọn các phương tiện để đi từ Hà Nội vào Quảng Nam là: $3 \cdot 2 = 6$ (cách).

Kết quả: $6$

---

Trang 64 — Quy tắc đếm

Bài tập 4. Để lắp ghế vào một phòng chiếu phim, các ghế được gắn nhãn bằng một chữ cái in hoa (trong bảng 26 chữ cái tiếng Anh từ A đến Z) đứng trước và một số nguyên từ 1 đến 20, chẳng hạn X15, Z2, ...

Hỏi có thể gắn nhãn tối đa được cho bao nhiêu ghế?

Lời giải:

Để gắn nhãn cho một ghế, ta cần thực hiện hai công đoạn:

1. Chọn một chữ cái in hoa từ 26 chữ cái tiếng Anh.
2. Chọn một số nguyên từ 1 đến 20.

Số cách chọn chữ cái in hoa là $26$.

Số cách chọn số nguyên từ 1 đến 20 là $20$.

Áp dụng quy tắc nhân, số cách gắn nhãn cho một ghế là: $26 \cdot 20 = 520$.

Kết quả: 520

---

Ví dụ 3. Một người muốn mua vé tàu ngồi đi từ Hà Nội vào Vinh. Có ba chuyến tàu là SE5, SE7 và SE35. Trên mỗi tàu có 2 loại vé ngồi khác nhau: ngồi cứng hoặc ngồi mềm. Hỏi có bao nhiêu loại vé ngồi khác nhau để người đó lựa chọn?

Lời giải:

Để mua được vé tàu, người đó phải thực hiện hai công đoạn:

1. Chọn chuyến tàu.
2. Chọn loại vé.

Số cách chọn chuyến tàu là $3$.

Số cách chọn loại vé là $2$.

Áp dụng quy tắc nhân, số cách chọn loại vé là: $3 \cdot 2 = 6$.

Kết quả: 6

---

Trang 65 — Tổ hợp

Luyện tập 2. Tại kì World Cup năm 2018, vòng bảng gồm có $32$ đội tham gia, được chia vào $8$ bảng, mỗi bảng $4$ đội thi đấu vòng tròn (mỗi đội chơi một trận với từng đội khác trong cùng bảng). Hỏi tổng cộng vòng bảng có bao nhiêu trận đấu?

Lời giải: Mỗi bảng có $4$ đội, và mỗi đội chơi một trận với từng đội khác trong cùng bảng. Do đó, số trận đấu trong một bảng là số cách chọn $2$ đội từ $4$ đội, được tính bằng công thức tổ hợp:

$$C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6 \text{ (trận đấu)}.$$

Vì có $8$ bảng, nên tổng cộng vòng bảng có:

$$8 \times 6 = 48 \text{ (trận đấu)}.$$

Kết quả: 48

Luyện tập 3. Từ các chữ số $0, 1, 2, 3$ có thể lập được bao nhiêu số thỏa mãn: a) Là số tự nhiên có ba chữ số khác nhau?

b) Là số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác nhau?

Lời giải:

a) Để lập số tự nhiên có ba chữ số khác nhau, ta cần chọn:

• Chữ số hàng trăm: có $3$ cách chọn (vì chữ số hàng trăm không thể là $0$).
• Chữ số hàng chục: có $3$ cách chọn (vì đã chọn một chữ số cho hàng trăm, còn $3$ chữ số khác nhau).
• Chữ số hàng đơn vị: có $2$ cách chọn (vì đã chọn hai chữ số, còn $2$ chữ số khác nhau).

Theo quy tắc nhân, số số tự nhiên có ba chữ số khác nhau là:

$$3 \times 3 \times 2 = 18.$$

b) Để lập số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác nhau, ta cần chọn:

• Chữ số hàng đơn vị: có $2$ cách chọn ($0$ hoặc $2$).
• Nếu chữ số hàng đơn vị là $0$, thì:
  • Chữ số hàng trăm: có $3$ cách chọn.
  • Chữ số hàng chục: có $2$ cách chọn.
  • Theo quy tắc nhân: $3 \times 2 = 6$ cách.
• Nếu chữ số hàng đơn vị là $2$, thì:
  • Chữ số hàng trăm: có $2$ cách chọn (vì hàng trăm không thể là $0$ hoặc $2$).
  • Chữ số hàng chục: có $2$ cách chọn.
  • Theo quy tắc nhân: $2 \times 2 = 4$ cách.

Tổng số số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác nhau là:

$$6 + 4 = 10.$$

Kết quả: a) 18; b) 10

---

Trang 66 — Bài tập

Bài 8.1. Trên giá sách có $8$ cuốn truyện ngắn, $7$ cuốn tiểu thuyết và $5$ tập thơ (tất cả đều khác nhau). Vẽ sơ đồ hình cây minh họa và cho biết bạn Phong có bao nhiêu cách chọn một cuốn để đọc vào ngày cuối tuần.

Lời giải:

Bạn Phong có thể chọn một cuốn sách từ ba loại sách: truyện ngắn, tiểu thuyết hoặc thơ.

• Số cách chọn một cuốn truyện ngắn là $8.$
• Số cách chọn một cuốn tiểu thuyết là $7.$
• Số cách chọn một tập thơ là $5.$

Theo quy tắc cộng, số cách chọn một cuốn sách để đọc vào ngày cuối tuần là: $$ 8 + 7 + 5 = 20 $$

Kết quả: $20$

Bài 8.2. Một người gieo đồng xu hai mặt, sau mỗi lần gieo thì ghi lại kết quả là sấp hay ngửa. Hỏi nếu người đó gieo $2$ lần thì có thể có bao nhiêu khả năng xảy ra?

Lời giải:

Kết quả của mỗi lần gieo có $2$ khả năng: sấp (S) hoặc ngửa (N).

Gieo đồng xu $2$ lần, ta có thể liệt kê các khả năng xảy ra:

• Lần 1 sấp, lần 2 sấp: SS
• Lần 1 sấp, lần 2 ngửa: SN
• Lần 1 ngửa, lần 2 sấp: NS
• Lần 1 ngửa, lần 2 ngửa: NN

Vậy có $4$ khả năng xảy ra.

Kết quả: $4$

Bài 8.3. Ở một loài thực vật, $A$ là gen trội quy định tính trạng hoa kép, $a$ là gen lặn quy định tính trạng hoa đơn.

a) Sự tổ hợp giữa hai gen trên tạo ra mấy kiểu gen? Viết các kiểu gen đó.

b) Khi giao phối ngẫu nhiên, có bao nhiêu kiểu giao phối khác nhau từ các kiểu gen đó?

Lời giải:

a) Các kiểu gen có thể là: $AA, Aa, aA, aa.$

Tuy nhiên, vì $Aa$ và $aA$ quy định cùng một kiểu gen (hoa kép), nên ta chỉ có $3$ kiểu gen:

• Kiểu gen $AA$ và $Aa$ (hoa kép).
• Kiểu gen $aa$ (hoa đơn).

Do đó, có $3$ kiểu gen.

b) Các kiểu giao phối có thể xảy ra:

• $AA \times AA$
• $AA \times Aa$
• $AA \times aa$
• $Aa \times AA$
• $Aa \times Aa$
• $Aa \times aa$
• $aa \times AA$
• $aa \times Aa$
• $aa \times aa$

Vậy có $9$ kiểu giao phối khác nhau.

Kết quả: $3$; $9$

Bài 8.4. Có bao nhiêu số tự nhiên

a) có $3$ chữ số khác nhau?

b) là số lẻ có $3$ chữ số khác nhau?

c) là số có $3$ chữ số và chia hết cho $5$?

d) là số có $3$ chữ số khác nhau và chia hết cho $5$?

Lời giải:

a) Gọi số tự nhiên có $3$ chữ số là $\overline{abc}.$

• Có $9$ cách chọn $a$ ($a \ne 0$).
• Có $9$ cách chọn $b$ ($b \ne a$).
• Có $8$ cách chọn $c$ ($c \ne a, c \ne b$).

Theo quy tắc nhân, số số tự nhiên có $3$ chữ số khác nhau là:

$$ 9 \cdot 9 \cdot 8 = 648 $$

b) Gọi số tự nhiên có $3$ chữ số là $\overline{abc}.$

• Có $5$ cách chọn $c$ ($c \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$).
• Có $8$ cách chọn $a$ ($a \ne 0, a \ne c$).
• Có $8$ cách chọn $b$ ($b \ne a, b \ne c$).

Theo quy tắc nhân, số số tự nhiên là số lẻ có $3$ chữ số khác nhau là:

$$ 5 \cdot 8 \cdot 8 = 320 $$

c) Gọi số tự nhiên có $3$ chữ số là $\overline{abc}.$

• Có $9$ cách chọn $a$ ($a \ne 0$).
• Có $9$ cách chọn $b.$
• Có $1$ cách chọn $c$ ($c \in \{0, 5\}$).

Theo quy tắc nhân, số số tự nhiên có $3$ chữ số và chia hết cho $5$ là:

$$ 9 \cdot 9 \cdot 2 = 162 $$

d) Gọi số tự nhiên có $3$ chữ số là $\overline{abc}.$

• Có $8$ cách chọn $a$ ($a \ne 0, a \ne 5$ nếu $c = 0$).
• Có $8$ cách chọn $b$ ($b \ne a, b \ne c$).
• Có $2$ cách chọn $c$ ($c \in \{0, 5\}$).

Theo quy tắc nhân, số số tự nhiên có $3$ chữ số khác nhau và chia hết cho $5$ là:

$$ 8 \cdot 8 \cdot 2 = 128 $$

Kết quả: $648$; $320$; $162$; $128$

Bài 8.5.

a) Mặt khẩu của chương trình máy tính quy định gồm $3$ kí tự, mỗi kí tự là một chữ số. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu mặt khẩu khác nhau?

b) Nếu chương trình máy tính quy định mới mặt khẩu vẫn gồm $3$ kí tự, nhưng kí tự đầu tiền phải là một chữ cái in hoa trong bảng chữ cái tiếng Anh gồm $26$ chữ (từ A đến Z) và $2$ kí tự sau là các chữ số (từ $0$ đến $9$). Hỏi quy định mới có thể tạo được nhiều hơn quy định cũ bao nhiêu mật khẩu khác nhau?

Lời giải:

a) Số cách chọn kí tự đầu tiên là $10.$

Số cách chọn kí tự thứ hai là $10.$

Số cách chọn kí tự thứ ba là $10.$

Theo quy tắc nhân, số mặt khẩu khác nhau có thể tạo được là:

$$ 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000 $$

b) Số cách chọn kí tự đầu tiên là $26.$

Số cách chọn kí tự thứ hai là $10.$

Số cách chọn kí tự thứ ba là $10.$

Theo quy tắc nhân, số mặt khẩu khác nhau có thể tạo được theo quy định mới là:

$$ 26 \cdot 10 \cdot 10 = 2600 $$

Vậy quy định mới có thể tạo được nhiều hơn quy định cũ:

$$ 2600 - 1000 = 1600 $$

Kết quả: $1000$; $1600$