Giải Toán 10 Tập 2 trang 67-70 - Kết nối tri thức

Trang 67 — Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài 1. Một nhóm gồm bốn bạn Hà, Mai, Nam, Đạt xếp thành một hàng, từ trái sang phải, để tham gia một cuộc phỏng vấn.

a) Hãy liệt kê ba cách sắp xếp bốn bạn trên theo thứ tự.

b) Có bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự bốn bạn trên để tham gia phỏng vấn?

Lời giải:

a) Ba cách sắp xếp bốn bạn trên theo thứ tự là:

Hà - Mai - Nam - Đạt
Hà - Nam - Mai - Đạt
Hà - Đạt - Mai - Nam

b) Số cách sắp xếp thứ tự bốn bạn trên để tham gia phỏng vấn là số hoán vị của 4 phần tử. Công thức tính số hoán vị của $n$ phần tử là $n!$ (n giai thừa), với $n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$ .

Đối với 4 bạn, số cách sắp xếp là:

$4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$

Kết quả: 24.

Trang 68 — Hoán vị, Chỉnh hợp

Bài tập

Luyện tập 1

Trong một cuộc thi điền kinh gồm 6 vận động viên chạy trên 6 đường chạy. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các vận động viên vào các đường chạy đó?

Lời giải: Số cách xếp 6 vận động viên vào 6 đường chạy là một hoán vị của 6 phần tử. Công thức tính số hoán vị: $P_n = n!$ Với $n=6$ , ta có: $P_6 = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$

Kết quả: $720$

H02.

Trong lớp 10T có bốn bạn Tuấn, Hương, Việt, Dung đủ tiêu chuẩn tham gia cuộc thi hùng biện của trường.

a) Giáo viên cần chọn ra hai bạn phụ trách nhóm trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai bạn từ bốn bạn nêu trên?

Lời giải: a) Số cách chọn 2 bạn từ 4 bạn là một chỉnh hợp chập 2 của 4, được tính bằng công thức: $$ A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} = 4 \cdot 3 = 12 $$

Kết quả: $12$

b) Có bao nhiêu cách chọn hai bạn, trong đó một bạn làm nhóm trưởng, một bạn làm nhóm phó?

Lời giải: b) Số cách chọn 2 bạn, trong đó một bạn làm nhóm trưởng và một bạn làm nhóm phó là một chỉnh hợp chập 2 của 4: $$ A_4^2 = 4 \cdot 3 = 12 $$

Kết quả: $12$

Ví dụ 2.

Một lớp có 30 học sinh, giáo viên cần chọn lần lượt 4 học sinh trồng bốn cây khác nhau để tham gia lễ phát động Tết trồng cây của trường. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải: Số cách chọn 4 học sinh từ 30 học sinh là một chỉnh hợp chập 4 của 30: $$ A_{30}^4 = \frac{30!}{(30-4)!} = 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 = 657720 $$

Kết quả: $657720$

Trang 69 — Tổ hợp

Luyện tập 2. Trong một giải đua ngựa gồm $12$ con ngựa, người ta chỉ quan tâm đến $3$ con ngựa: con nhanh nhất, nhanh nhì và nhanh thứ ba. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra?

Lời giải: Ta đang xét chỉnh hợp chập $3$ của $12$ con ngựa.

Số cách chọn là: $$ A_{12}^3 = \frac{12!}{(12-3)!} = \frac{12!}{9!} = 12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320. $$

Kết quả: $1320$ .

Hoạt động 3. Trở lại HĐ2.

a) Hãy cho biết sự khác biệt khi chọn ra hai bạn ở câu HĐ2a và HĐ2b.

b) Từ kết quả tính được ở câu HĐ2b (áp dụng chỉnh hợp), hãy chỉ ra cách tính kết quả ở câu HĐ2a.

Lời giải:

a) Sự khác biệt khi chọn ra hai bạn ở câu HĐ2a và HĐ2b là:

HĐ2a: Chọn $2$ bạn từ $4$ bạn, không cần sắp xếp thứ tự.
HĐ2b: Chọn $2$ bạn từ $4$ bạn, sau đó sắp xếp thứ tự $2$ bạn được chọn.

b) Từ kết quả tính được ở câu HĐ2b (áp dụng chỉnh hợp), ta có:

A_4^2 = 12.

Vì không cần sắp xếp thứ tự hai bạn được chọn nên số cách chọn sẽ giảm đi $2!$ , tức là:

\frac{A_4^2}{2!} = \frac{12}{2} = 6.

Kết quả: a) Khác biệt về việc có sắp xếp thứ tự hay không. b) $\frac{A_4^2}{2!} = 6$ .

Ví dụ 3. Có $7$ bạn học sinh muốn chơi cờ cá ngựa, nhưng mỗi ván chỉ có $4$ người chơi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn $4$ bạn chơi cờ cá ngựa?

Lời giải: Mỗi cách chọn $4$ bạn từ $7$ bạn học sinh là một tổ hợp chập $4$ của $7$ .

Số cách chọn $4$ bạn chơi cờ cá ngựa là: $$ C_7^4 = \frac{7!}{(7-4)! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35. $$

Kết quả: $35$ .

Trang 70 — Tổ hợp

Luyện tập 3. Trong ngân hàng đề kiểm tra cuối học kì II môn Vật lí có $20$ câu lí thuyết và $40$ câu bài tập. Người ta chọn ra $2$ câu lí thuyết và $3$ câu bài tập trong ngân hàng đề để tạo thành một đề thi. Hỏi có bao nhiêu cách lập đề thi gồm $5$ câu hỏi theo cách chọn như trên?

Lời giải:

Số cách chọn $2$ câu lí thuyết trong $20$ câu là: $C_{20}^2 = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20 \cdot 19}{2} = 190$ (cách).

Số cách chọn $3$ câu bài tập trong $40$ câu là: $C_{40}^3 = \frac{40!}{3!(40-3)!} = \frac{40 \cdot 39 \cdot 38}{3 \cdot 2} = 9\,880$ (cách).

Theo quy tắc nhân, số cách lập đề thi gồm $5$ câu hỏi theo cách chọn như trên là: $$ 190 \cdot 9,880 = 1,877,200 $$

Kết quả: 1 877 200.

Ví dụ 4. Một lần anh Hưng đến Hà Nội và dự định từ Hà Nội tham quan Đền Hùng, Ninh Bình, Hạ Long, Đường Lâm và Bát Tràng, mỗi ngày đi tham quan một địa điểm rồi lại về Hà Nội.

$a)$ Hỏi anh Hưng có thể xếp được bao nhiêu lịch trình đi tham quan tất cả các địa điểm (ở đây lịch trình tính cả thứ tự tham quan).

$b)$ Anh Hưng có việc đột xuất phải về sớm, nên anh chỉ có $3$ ngày để đi tham quan $3$ địa điểm. Hỏi anh Hưng có bao nhiêu cách xếp lịch trình đi tham quan?

Lời giải:

$a)$ Anh Hưng đi tham quan $5$ địa điểm. Mỗi cách xếp lịch trình là một cách chọn có thứ tự của $5$ địa điểm trên.

Vậy số cách xếp lịch trình là: $$ P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 $$ (cách).

$b)$ Nếu anh Hưng chỉ có $3$ ngày để đi tham quan $3$ nơi, thì mỗi cách xếp lịch trình của anh chính là một cách chọn có thứ tự $3$ địa điểm từ $5$ địa điểm, tức là một chỉnh hợp chập $3$ của $5$ .

Vậy số cách xếp lịch trình đi tham quan trong trường hợp này là $$ A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 $$ (cách).

Kết quả: $a)$ 120; $b)$ 60.

Ví dụ 5. Giải bài toán trong tình huống mở đầu về đội hình của Đội tuyển bóng đá quốc gia.

Lời giải:

Vì mỗi đội hình gồm có $1$ thủ môn, $3$ hậu vệ, $4$ tiền vệ và $3$ tiền đạo và đã biết trước vị trí thủ môn, nên để chọn đội hình ta cần thực hiện $3$ công đoạn:

$1.$ Chọn hậu vệ là chọn $3$ trong số $7$ hậu vệ: có $C_7^3 = 35$ (cách).

$2.$ Chọn tiền vệ là chọn $4$ trong số $8$ tiền vệ: có $C_8^4 = 70$ (cách).

$3.$ Chọn tiền đạo là chọn $3$ trong số $5$ tiền đạo: có $C_5^3 = 10$ (cách).

Vậy, theo quy tắc nhân, số các đội hình có thể có (khi đã biết vị trí thủ môn) là $$ 35 \cdot 70 \cdot 10 = 24,500. $$

Kết quả: $24\,500$ .