Trang 71 — Tổ hợp

Bài 8.6. Một họa sĩ cần trưng bày 10 bức tranh nghệ thuật khác nhau thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách để họa sĩ sắp xếp các bức tranh?

Lời giải: Số cách sắp xếp 10 bức tranh thành một hàng ngang là số hoán vị của 10, được tính bằng công thức: $$ P(10) = 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 3,628,800. $$

Kết quả: 3 628 8003\,628\,800.

Bài 8.7. Từ các chữ số 0,1,2,3,40, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau?

Lời giải: Để lập số tự nhiên có ba chữ số khác nhau từ các chữ số 0,1,2,3,40, 1, 2, 3, 4, ta cần chọn:

  • Chữ số hàng trăm: có 44 cách chọn (trừ 00).
  • Chữ số hàng chục: có 44 cách chọn (trừ chữ số đã chọn ở hàng trăm).
  • Chữ số hàng đơn vị: có 33 cách chọn (trừ hai chữ số đã chọn).

Theo quy tắc nhân, số cách lập số tự nhiên có ba chữ số khác nhau là: $$ 4 \times 4 \times 3 = 48. $$

Kết quả: 4848.

Bài 8.8. Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp gồm hai số nguyên dương nhỏ hơn 100100? Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp gồm ba số nguyên dương nhỏ hơn 100100?

Lời giải:

a) Chọn một tập hợp gồm hai số nguyên dương nhỏ hơn 100100:

  • Số nguyên dương nhỏ hơn 100100: từ 11 đến 9999.
  • Chọn 22 số từ 9999 số: C(99,2)=99!2!(99−2)!=99×982=4851C(99, 2) = \frac{99!}{2!(99-2)!} = \frac{99 \times 98}{2} = 4851.

b) Chọn một tập hợp gồm ba số nguyên dương nhỏ hơn 100100:

  • Chọn 33 số từ 9999 số: C(99,3)=99!3!(99−3)!=99×98×973×2=156 849C(99, 3) = \frac{99!}{3!(99-3)!} = \frac{99 \times 98 \times 97}{3 \times 2} = 156\,849.

Kết quả:

  • Hai số: 48514851.
  • Ba số: 156 849156\,849.

Bài 8.9. Bạn Hà có 55 viên bi xanh và 77 viên bi đỏ. Có bao nhiêu cách để Hà chọn ra đúng 22 viên bi khác màu?

Lời giải:

  • Chọn 11 viên bi xanh từ 55 viên: C(5,1)=5C(5, 1) = 5.
  • Chọn 11 viên bi đỏ từ 77 viên: C(7,1)=7C(7, 1) = 7.

Số cách chọn 22 viên bi khác màu: $$ 5 \times 7 = 35. $$

Kết quả: 3535.

Trang 72 — Tổ hợp

Bài 8.10. Một câu lạc bộ cờ vùa có 1010 bạn nam và 77 bạn nữ. Huấn luyện viên muốn chọn 44 bạn đi thi đấu cờ vua.

a) Có bao nhiêu cách chọn 44 bạn nam?

b) Có bao nhiêu cách chọn 44 bạn không phân biệt nam, nữ?

c) Có bao nhiêu cách chọn 44 bạn, trong đó có 22 bạn nam và 22 bạn nữ?

Lời giải:

a) Số cách chọn 44 bạn nam là số cách chọn 44 bạn từ 1010 bạn nam, tức là số tổ hợp chập 44 của 1010, được tính bởi $$ C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210. $$

Kết quả: 210210.

b) Tổng số thành viên của câu lạc bộ là 10+7=1710 + 7 = 17. Số cách chọn 44 bạn không phân biệt nam, nữ là số cách chọn 44 bạn từ 1717 thành viên, tức là số tổ hợp chập 44 của 1717, được tính bởi $$ C_{17}^4 = \frac{17!}{4!(17-4)!} = \frac{17!}{4!13!} = \frac{17 \times 16 \times 15 \times 14}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2,380. $$

Kết quả: 2 3802\,380.

c) Số cách chọn 22 bạn nam từ 1010 bạn nam là $$ C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45. $$ Số cách chọn 22 bạn nữ từ 77 bạn nữ là $$ C_{7}^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21. $$ Theo nguyên tắc nhân, số cách chọn 44 bạn, trong đó có 22 bạn nam và 22 bạn nữ là $$ 45 \times 21 = 945. $$

Kết quả: 945945.

Bài 8.11. Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 55 mà mỗi số có bốn chữ số khác nhau?

Lời giải:

  • Một số tự nhiên có 44 chữ số có dạng abcd‾\overline{abcd}, trong đó a≠0a \ne 0.
  • Để số đó chia hết cho 55, chữ số dd phải bằng 00 hoặc 55.
  • Trường hợp 11: d=0d = 0
    • Khi đó aa có 99 cách chọn (a≠0a \ne 0), bb có 88 cách chọn và cc có 77 cách chọn.
    • Do đó, số các số có 44 chữ số khác nhau chia hết cho 55 với d=0d=0 là 9×8×7=5049 \times 8 \times 7 = 504.
  • Trường hợp 22: d=5d = 5
    • Khi đó aa có 88 cách chọn (a≠0,a≠5a \ne 0, a \ne 5), bb có 88 cách chọn và cc có 77 cách chọn.
    • Do đó, số các số có 44 chữ số khác nhau chia hết cho 55 với d=5d=5 là 8×8×7=4488 \times 8 \times 7 = 448.
  • Theo nguyên tắc cộng, số các số có 44 chữ số khác nhau chia hết cho 55 là 504+448=952.504 + 448 = 952.

Kết quả: 952952.

Trang 73 — Nhị thức Newton

Bài 25.

Hoạt động 1:

Hãy xây dựng sơ đồ hình cây của tích hai nhị thức (a+b).(c+d)(a + b).(c + d) như sau:

  • Từ một điểm gốc, kẻ các mũi tên, mỗi mũi tên tương ứng với một đơn thức (gọi là nhãn của mũi tên) của nhị thức thứ nhất;
  • Từ ngọn của mỗi mũi tên đã xây dựng, kẻ các mũi tên, mỗi mũi tên tương ứng với một đơn thức của nhị thức thứ hai;
  • Tại ngọn của các mũi tên xây dựng tại bước sau cùng, ghi lại tích của các nhãn của các mũi tên đi từ điểm gốc đến đầu mút đó.

Hãy lấy tổng của các tích nhận được và so sánh kết quả với khai triển của tích (a+b).(c+d)(a + b).(c + d).

Lời giải: Sơ đồ hình cây của (a+b).(c+d)(a + b).(c + d) có dạng:

  • Từ điểm gốc, ta có hai mũi tên: một mũi tên nhãn aa và một mũi tên nhãn bb.
  • Từ mỗi ngọn của các mũi tên aa và bb, ta kẻ hai mũi tên: một mũi tên nhãn cc và một mũi tên nhãn dd.

Các tích nhận được:

  • a⋅c=aca \cdot c = ac
  • a⋅d=ada \cdot d = ad
  • b⋅c=bcb \cdot c = bc
  • b⋅d=bdb \cdot d = bd

Tổng của các tích: ac+ad+bc+bdac + ad + bc + bd.

Khai triển của tích (a+b).(c+d)(a + b).(c + d): $$ (a + b).(c + d) = ac + ad + bc + bd $$

Vậy, tổng của các tích nhận được từ sơ đồ hình cây bằng với khai triển của tích (a+b).(c+d)(a + b).(c + d).

Hoạt động 2:

Hãy cho biết các đơn thức còn thiếu (...) trong sơ đồ hình cây (H.8.7) của tích (a+b).(a+b).(a+b)(a + b).(a + b).(a + b).

Có bao nhiêu tích nhân được lần lượt bằng a3,a2b,ab2,b3a^3, a^2b, ab^2, b^3?

Hãy so sánh chúng với các hệ số nhận được khi khai triển (a+b)3(a + b)^3.

Lời giải: Sơ đồ hình cây của (a+b).(a+b).(a+b)(a + b).(a + b).(a + b):

  • Từ điểm gốc, ta có hai mũi tên: một mũi tên nhãn aa và một mũi tên nhãn bb.
  • Từ mỗi ngọn của các mũi tên aa và bb, ta kẻ hai mũi tên: một mũi tên nhãn aa và một mũi tên nhãn bb.

Các tích nhận được:

  • a⋅a⋅a=a3a \cdot a \cdot a = a^3
  • a⋅a⋅b=a2ba \cdot a \cdot b = a^2b
  • a⋅b⋅a=a2ba \cdot b \cdot a = a^2b
  • a⋅b⋅b=ab2a \cdot b \cdot b = ab^2
  • b⋅a⋅a=a2bb \cdot a \cdot a = a^2b
  • b⋅a⋅b=ab2b \cdot a \cdot b = ab^2
  • b⋅b⋅a=ab2b \cdot b \cdot a = ab^2
  • b⋅b⋅b=b3b \cdot b \cdot b = b^3

Các tích nhân được lần lượt bằng a3,a2b,ab2,b3a^3, a^2b, ab^2, b^3:

  • a3a^3: 1 tích
  • a2ba^2b: 3 tích
  • ab2ab^2: 3 tích
  • b3b^3: 1 tích

Khai triển (a+b)3(a + b)^3: $$ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$

So sánh:

  • Hệ số của a3a^3 là 1
  • Hệ số của a2ba^2b là 3
  • Hệ số của ab2ab^2 là 3
  • Hệ số của b3b^3 là 1

Vậy, các hệ số nhận được từ tích các nhãn của sơ đồ hình cây khớp với hệ số trong khai triển (a+b)3(a + b)^3.

Trang 74 — Khai triển nhị thức Newton

Luyện tập 1. Khai triển (x−2)4(x-2)^4.

Lời giải:

Ta có thể sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton:

(a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbk(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k

với a=xa = x, b=−2b = -2 và n=4n = 4.

(x−2)4=(40)x4+(41)x3(−2)+(42)x2(−2)2+(43)x(−2)3+(44)(−2)4=x4+4x3(−2)+6x2⋅4+4x⋅(−8)+16=x4−8x3+24x2−32x+16\begin{aligned} (x-2)^4 &= \binom{4}{0}x^4 + \binom{4}{1}x^3(-2) + \binom{4}{2}x^2(-2)^2 + \binom{4}{3}x(-2)^3 + \binom{4}{4}(-2)^4 \\ &= x^4 + 4x^3(-2) + 6x^2 \cdot 4 + 4x \cdot (-8) + 16 \\ &= x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16 \end{aligned}

Kết quả: x4−8x3+24x2−32x+16x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16