Giải Toán 10 Tập 2 trang 79-82 - Kết nối tri thức

Trang 79 — Xác suất

HĐ1. Trở lại Ví dụ 1, xét hai biến cố sau:

$A$: "Học sinh được gọi là một bạn nữ";

$B$: "Học sinh được gọi có tên bắt đầu bằng chữ $H$".

Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố $A$, $B$.

Lời giải:

Theo định nghĩa, ta thấy mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ chính là một phần tử thuộc không gian mẫu $\Omega$. Do đó về mặt toán học, ta có:

Các kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là: {Hương; Hồng; Dung}.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố $B$ là: {Hương; Hồng}.

Kết quả: $\boxed{A = \{Hương; Hồng; Dung\}, B = \{Hương; Hồng\}}$

HĐ2. Nhận xét. Biến cố chắc chắn là tập $\Omega$, biến cố không thể là tập $\emptyset$.

Ví dụ 2. Trở lại tình huống mở đầu về trò chơi bốc thăm trúng thưởng.

$a)$ Phép thử là gì? Mô tả không gian mẫu $\Omega$.

$b)$ Gọi $F$ là biến cố: "Bạn An trúng giải độc đắc". Hỏi $F$ là tập con nào của không gian mẫu?

$c)$ Gọi $G$ là biến cố: "Bạn An trúng giải nhất". Hãy chỉ ra ba phần tử của tập $G$. Từ đó, hãy mô tả tập hợp $G$ bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập $G$.

Lời giải:

$a)$ Phép thử là chọn ngẫu nhiên $6$ số trong $45$ số: $1; 2;...; 45$. Không gian mẫu $\Omega$ là tập hợp tất cả các tập con có sáu phần tử của tập $\{1; 2;...; 44; 45\}$.

$b)$ $F = \{5; 13; 20; 31; 32; 35\}$.

$c)$ Ba phần tử của tập $G$ là: $\{5; 13; 20\}; \{5; 13; 31\}; \{5; 13; 32\}$.

Tập hợp $G$ gồm các tập con có $6$ phần tử trong $45$ số, trong đó có $3$ số trùng với $3$ số của giải nhất.

Kết quả: $\boxed{G = \{ \{a, b, c, d, e, f\} | a, b, c \in \{1, 2, ..., 45\}, a \neq b \neq c \neq d \neq e \neq f\}}$

---

Trang 80 — Tổ hợp

Luyện tập 1. Phần thưởng trong một chương trình khuyến mãi của một siêu thị là: ti vi, bàn ghế, tủ lạnh, máy tính, bếp từ, bộ bát đĩa. Ông Dũng tham gia chương trình được chọn ngẫu nhiên một mặt hàng.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Gọi $D$ là biến cố: "Ông Dũng chọn được mặt hàng là đồ điện". Hỏi $D$ là tập con nào của không gian mẫu?

Lời giải:

a) Không gian mẫu $\Omega$ là tập hợp các mặt hàng trong chương trình khuyến mãi, do đó: $$ \Omega = {\text{ti vi}, \text{bàn ghế}, \text{tủ lạnh}, \text{máy tính}, \text{bếp từ}, \text{bộ bát đĩa}}. $$

b) Biến cố $D$ là: "Ông Dũng chọn được mặt hàng là đồ điện". Các mặt hàng điện trong $\Omega$ là: ti vi, tủ lạnh, máy tính.

Do đó: $$ D = {\text{ti vi}, \text{tủ lạnh}, \text{máy tính}}. $$

Kết quả: a) $\Omega = \{\text{ti vi}, \text{bàn ghế}, \text{tủ lạnh}, \text{máy tính}, \text{bếp từ}, \text{bộ bát đĩa}\};$ b) $D = \{\text{ti vi}, \text{tủ lạnh}, \text{máy tính}\}.$

Hoạt động 2. Trở lại Ví dụ 1, hãy cho biết khi nào biến cố $C$: "Học sinh được gọi là một bạn nam" xảy ra?

Ta thấy biến cố $C$ xảy ra khi và chỉ khi biến cố $A$ không xảy ra.

Ta nói biến cố $C$ là biến cố đối của $A$.

Ví dụ 3. Gieo một con xúc xắc 6 mặt và quan sát số chấm xuất hiện trên con xúc xắc.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Gọi $M$ là biến cố: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số chẵn". Nội dung biến cố đối $\overline{M}$ của $M$ là gì?

c) Biến cố $M$ và $\overline{M}$ là tập con nào của không gian mẫu?

Lời giải:

a) Không gian mẫu $\Omega$ khi gieo một con xúc xắc 6 mặt: $$ \Omega = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. $$

b) Biến cố $M$: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số chẵn". Do đó biến cố đối $\overline{M}$ của $M$ là: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số lẻ".

c) Ta có:

• Biến cố $M$ là tập hợp các số chẵn trong $\Omega$: $$M = \{2; 4; 6\} \subset \Omega.$$
• Biến cố đối $\overline{M}$ của $M$ là tập hợp các số lẻ trong $\Omega$: $$\overline{M} = \{1; 3; 5\} \subset \Omega.$$

Kết quả: a) $\Omega = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\};$ b) Biến cố đối $\overline{M}$ của $M$ là: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số lẻ"; c) $M = \{2; 4; 6\};\ \overline{M} = \{1; 3; 5\}.$

Luyện tập 2. Gieo một con xúc xắc. Gọi $K$ là biến cố: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số nguyên tố".

a) Biến cố: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một hợp số" có là biến cố $\overline{K}$ không?

b) Biến cố $K$ và $\overline{K}$ là tập con nào của không gian mẫu?

Lời giải:

a) Ta có không gian mẫu $\Omega = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$.

Các số nguyên tố trong $\Omega$ là: $2,\ 3,\ 5.$

Do đó: $$ K = {2; 3; 5}. $$

Các hợp số trong $\Omega$ là: $4,\ 6.$

Biến cố: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một hợp số" là: $$ {4; 6} = \overline{K}. $$

Vậy biến cố "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một hợp số" là biến cố $\overline{K}$.

b) Ta có:

• Biến cố $K$ là tập hợp các số nguyên tố trong $\Omega$: $$K = \{2; 3; 5\}.$$
• Biến cố đối $\overline{K}$ của $K$ là tập hợp các hợp số và số $1$ trong $\Omega$: $$\overline{K} = \{1; 4; 6\}.$$

Kết quả: a) Có; b) $K = \{2; 3; 5\};\ \overline{K} = \{1; 4; 6\}.$

---

Trang 81 —

ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT

Bài tập

H03. Một hộp chứa $12$ tấm thẻ được đánh số $1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12$. Rút ngẫu nhiên từ hộp đó một tấm thẻ.

a) Mô tả không gian mẫu $\Omega$. Các kết quả có thể có đồng khả năng không?

b) Xét biến cố $E$: "Rút được thẻ ghi số nguyên tố". Biến cố $E$ là tập con nào của không gian mẫu?

c) Phép thử có bao nhiêu kết quả có thể? Biến cố $E$ có bao nhiêu kết quả thuận lợi? Từ đó, hãy tính xác suất của biến cố $E$.

Lời giải:

a) Không gian mẫu $\Omega$ là tập hợp các số từ $1$ đến $12$:

$$\Omega = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12\}.$$

Các kết quả có thể có đồng khả năng vì mỗi thẻ có cùng khả năng được rút.

b) Biến cố $E$ là tập con chứa các số nguyên tố trong $\Omega$:

$$E = \{2; 3; 5; 7; 11\}.$$

c) Số kết quả có thể của phép thử là $n(\Omega) = 12$.

Số kết quả thuận lợi của biến cố $E$ là $n(E) = 5$.

Xác suất của biến cố $E$ là:

$$P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)} = \frac{5}{12}.$$

Kết quả: $\frac{5}{12}$

---

Trang 82 — Xác suất

Luyện tập 3. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng $4$ hoặc bằng $6$.

Lời giải:

Gieo hai con xúc xắc cân đối, mỗi con có $6$ mặt, nên không gian mẫu là: $$ \Omega = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} $$ Số phần tử của không gian mẫu là: $$ n(\Omega) = 6 \cdot 6 = 36 $$

Gọi biến cố $E$ là biến cố "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng $4$ hoặc bằng $6$".

Các kết quả thuận lợi cho biến cố $E$:

• Tổng bằng $4$: $(1, 3), (2, 2), (3, 1)$.
• Tổng bằng $6$: $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$.

Do đó: $$ E = {(1, 3), (2, 2), (3, 1), (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} $$ Số phần tử của biến cố $E$ là: $$ n(E) = 8 $$

Xác suất của biến cố $E$ là: $$ P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9} $$

Kết quả: $\frac{2}{9}$