Giải Toán 10 Tập 2 trang 83-86 - Kết nối tri thức

Trang 83 — Xác suất

Bài 9.1. Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 30.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Gọi $A$ là biến cố: "Số được chọn là số nguyên tố". Các biến cố $A$ và $\overline{A}$ là tập con nào của không gian mẫu?

Lời giải:

a) Không gian mẫu là tập hợp các số nguyên dương không lớn hơn 30:

$$\Omega = \{1, 2, 3, \ldots, 30\}$$

b) Biến cố $A$: "Số được chọn là số nguyên tố"

Các số nguyên tố trong không gian mẫu là: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$.

$$A = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29\}$$

Biến cố $\overline{A}$: "Số được chọn không phải là số nguyên tố"

$$\overline{A} = \Omega \setminus A = \{1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30\}$$

Kết quả: $\Omega = \{1, 2, 3, \ldots, 30\}$, $A = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29\}$, $\overline{A} = \{1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30\}$

Bài 9.2. Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 22.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Gọi $B$ là biến cố: "Số được chọn chia hết cho 3". Các biến cố $B$ và $\overline{B}$ là các tập con nào của không gian mẫu?

Lời giải:

a) Không gian mẫu là tập hợp các số nguyên dương không lớn hơn 22:

$$\Omega = \{1, 2, 3, \ldots, 22\}$$

b) Biến cố $B$: "Số được chọn chia hết cho 3"

Các số chia hết cho 3 trong không gian mẫu là: $3, 6, 9, 12, 15, 18, 21$.

$$B = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21\}$$

Biến cố $\overline{B}$: "Số được chọn không chia hết cho 3"

$$\overline{B} = \Omega \setminus B = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22\}$$

Kết quả: $\Omega = \{1, 2, 3, \ldots, 22\}$, $B = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21\}$, $\overline{B} = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22\}$

Bài 9.3. Gieo đồng thời một con xúc xắc và một đồng xu.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xét các biến cố sau:

$C$: "Đồng xu xuất hiện mặt sấp";

$D$: "Đồng xu xuất hiện mặt ngửa hoặc số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 5".

Các biến cố $\overline{C}$, $\overline{C}$, $D$ và $\overline{D}$ là các tập con nào của không gian mẫu?

Lời giải:

a) Không gian mẫu là:

$$\Omega = \{(1, S), (2, S), (3, S), (4, S), (5, S), (6, S), (1, N), (2, N), (3, N), (4, N), (5, N), (6, N)\}$$

b) Biến cố $C$: "Đồng xu xuất hiện mặt sấp"

$$C = \{(1, S), (2, S), (3, S), (4, S), (5, S), (6, S)\}$$

Biến cố $\overline{C}$: "Đồng xu xuất hiện mặt ngửa"

$$\overline{C} = \{(1, N), (2, N), (3, N), (4, N), (5, N), (6, N)\}$$

Biến cố $D$: "Đồng xu xuất hiện mặt ngửa hoặc số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 5"

$$D = \{(1, N), (2, N), (3, N), (4, N), (5, N), (6, N), (5, S)\}$$

Biến cố $\overline{D}$: "Đồng xu xuất hiện mặt sấp và số chấm xuất hiện trên con xúc xắc không là 5"

$$\overline{D} = \{(1, S), (2, S), (3, S), (4, S), (6, S)\}$$

Kết quả: $\Omega = \{(1, S), (2, S), (3, S), (4, S), (5, S), (6, S), (1, N), (2, N), (3, N), (4, N), (5, N), (6, N)\}$, $C = \{(1, S), (2, S), (3, S), (4, S), (5, S), (6, S)\}$, $\overline{C} = \{(1, N), (2, N), (3, N), (4, N), (5, N), (6, N)\}$, $D = \{(1, N), (2, N), (3, N), (4, N), (5, N), (6, N), (5, S)\}$, $\overline{D} = \{(1, S), (2, S), (3, S), (4, S), (6, S)\}$

Bài 9.4. Một túi có chứa một số bi xanh, bi đỏ, bi đen và bi trắng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ trong túi.

a) Gọi $H$ là biến cố: "Bi lấy ra có màu đỏ hoặc trắng". Biến cố: "Bi lấy ra có màu xanh hoặc màu đen hoặc trắng" có phải là biến cố $\overline{H}$ hay không?

b) Gọi $K$ là biến cố: "Bi lấy ra có màu xanh hoặc màu trắng". Biến cố: "Bi lấy ra màu đen" có phải là biến cố $\overline{K}$ hay không?

Lời giải:

a) Gọi $H$ là biến cố: "Bi lấy ra có màu đỏ hoặc trắng"

Biến cố $\overline{H}$: "Bi lấy ra không có màu đỏ hoặc trắng"

$$\overline{H} = \{\text{Bi xanh}, \text{Bi đen}\}$$

Biến cố: "Bi lấy ra có màu xanh hoặc màu đen hoặc trắng" là:

$$\{\text{Bi xanh}, \text{Bi đen}, \text{Bi trắng}\}$$

Do đó biến cố: "Bi lấy ra có màu xanh hoặc màu đen hoặc trắng" không phải là biến cố $\overline{H}$.

b) Gọi $K$ là biến cố: "Bi lấy ra có màu xanh hoặc màu trắng"

Biến cố $\overline{K}$: "Bi lấy ra không có màu xanh hoặc màu trắng"

$$\overline{K} = \{\text{Bi đỏ}, \text{Bi đen}\}$$

Biến cố: "Bi lấy ra màu đen" là:

$$\{\text{Bi đen}\}$$

Do đó biến cố: "Bi lấy ra màu đen" không phải là biến cố $\overline{K}$.

Kết quả: a) Không, b) Không

Bài 9.5. Hai bạn An và Bình mỗi người gieo một con xúc xắc cân đối.

a) Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bé hơn 3;

b) Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc mà An gieo lớn hơn hoặc bằng 5;

c) Tích hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bé hơn 6;

d) Tổng hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số nguyên tố.

Lời giải:

a) Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bé hơn 3

Các kết quả thuận lợi cho biến cố này là: $(1, 1), (1, 2), (2, 1)$

Xác suất: $P(A) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

b) Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc mà An gieo lớn hơn hoặc bằng 5

Các kết quả thuận lợi cho biến cố này là: $(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)$

Xác suất: $P(B) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$

c) Tích hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bé hơn 6

Các kết quả thuận lợi cho biến cố này là: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2)$

Xác suất: $P(C) = \frac{7}{36}$

d) Tổng hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số nguyên tố

Các kết quả thuận lợi cho biến cố này là: $(1, 1), (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 6), (6, 1), (6, 5)$

Xác suất: $P(D) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$

Kết quả: a) $\frac{1}{12}$, b) $\frac{1}{3}$, c) $\frac{7}{36}$, d) $\frac{5}{12}$

---

Trang 83 — Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

Bài 27. Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

1. Sử dụng phương pháp tổ hợp

HĐ1. Theo định nghĩa cổ điển của xác suất, để tính xác suất của biến cố $F$: "Bạn An trúng giải độc đắc" và biến cố $G$: "Bạn An trúng giải nhất" ta cần xác định $n(\Omega)$, $n(F)$ và $n(G)$. Liệu có thể tính $n(\Omega)$, $n(F)$ và $n(G)$ bằng cách liệt kê ra hết các phần tử của $\Omega$, $F$ và $G$ rồi kiểm đếm được không?

Trong nhiều bài toán, để tính số phần tử của không gian mẫu, của các biến cố, ta thường sử dụng các quy tắc đếm, các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

Ví dụ 1. Một tổ trong lớp 10A có 10 học sinh trong đó có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 6 học sinh trong tổ đó để tham gia đội tình nguyện Mùa hè xanh. Tính xác suất của hai biến cố sau:

$C$: "6 học sinh được chọn đều là nam";

$D$: "Trong 6 học sinh được chọn có 4 nam và 2 nữ".

Giải

Không gian mẫu là tập tất cả các tập con gồm 6 học sinh trong 10 học sinh. Vậy

$n(\Omega) = C_10^6 = 210$.

a) Tập $C$ chỉ có một phần tử là tập 6 học sinh nam. Vậy $n(C) = 1$, do đó $P(C) = \frac{1}{210}$.

b) Mỗi phần tử của $D$ được hình thành từ hai công đoạn.

Công đoạn 1. Chọn 4 học sinh nam từ 6 học sinh nam, có $C_6^4 = 15$ (cách chọn).

Công đoạn 2. Chọn 2 học sinh nữ từ 4 học sinh nữ, có $C_4^2 = 6$ (cách chọn).

Theo quy tắc nhân, tập $D$ có $15 \cdot 6 = 90$ (phần tử). Vậy $n(D) = 90$. Từ đó $P(D) = \frac{90}{210} = \frac{3}{7}$.

Kết quả: $\frac{1}{210}, \frac{3}{7}$.

---

Do trên trang không có bài tập/câu hỏi/luyện tập/ ví dụ cần giải, nên:

SKIP

---

Trang 85 — Xác suất

Luyện tập 1. Một tổ trong lớp 10B có 12 học sinh, trong đó có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 6 học sinh trong tổ để kiểm tra vở bài tập Toán. Tính xác suất để trong 6 học sinh được chọn số học sinh nữ bằng số học sinh nam.

Lời giải:

Gọi $A$ là biến cố: "Số học sinh nữ bằng số học sinh nam trong 6 học sinh được chọn".

• Số học sinh trong tổ là $12$, số học sinh được chọn là $6$ nên số phần tử của không gian mẫu là:

  $$\binom{12}{6} = 924.$$

• Để số học sinh nữ bằng số học sinh nam, ta chọn $3$ học sinh nữ và $3$ học sinh nam.

• Số học sinh nữ là $5$, số học sinh nam là $7$ nên số cách chọn là:

  $$\binom{5}{3} \cdot \binom{7}{3} = 10 \cdot 35 = 350.$$

• Xác suất của biến cố $A$ là:

  $$P(A) = \frac{350}{924} = \frac{25}{66}.$$

Kết quả: $\frac{25}{66}$

H02. Trong trò chơi "Vòng quay may mắn", người chơi sẽ quay hai bánh xe. Mũi tên ở bánh xe thứ nhất có thể dừng ở một trong hai vị trí: Loại xe 50 cc và Loại xe 110 cc. Mũi tên ở bánh xe thứ hai có thể dừng ở một trong bốn vị trí: màu đen, màu trắng, màu đỏ và màu xanh. Vị trí của mũi tên trên hai bánh xe sẽ xác định loại xe nào, màu gì.

Phép thử $T$ là quay hai bánh xe. Hãy vẽ sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu.

Lời giải:

• Phép thử $T$ là quay hai bánh xe.

• Bánh xe thứ nhất có 2 kết quả: Loại xe 50 cc và Loại xe 110 cc.

• Bánh xe thứ hai có 4 kết quả: màu đen, màu trắng, màu đỏ và màu xanh.

• Sơ đồ hình cây:

  • Bắt đầu từ một điểm, vẽ hai nhánh:
    • Nhánh 1: Loại xe 50 cc, tiếp tục vẽ 4 nhánh:
      • Màu đen
      • Màu trắng
      • Màu đỏ
      • Màu xanh
    • Nhánh 2: Loại xe 110 cc, tiếp tục vẽ 4 nhánh:
      • Màu đen
      • Màu trắng
      • Màu đỏ
      • Màu xanh

• Không gian mẫu:

  • 50 cc - Đen
  • 50 cc - Trắng
  • 50 cc - Đỏ
  • 50 cc - Xanh
  • 110 cc - Đen
  • 110 cc - Trắng
  • 110 cc - Đỏ
  • 110 cc - Xanh

• Số phần tử của không gian mẫu là $2 \cdot 4 = 8$.

Ví dụ 2. Có ba chiếc hộp. Hộp I có chứa ba viên bi: 1 viên màu đỏ, 1 viên màu xanh và 1 viên màu vàng. Hộp II chứa hai viên bi: 1 viên màu xanh và 1 viên màu vàng. Hộp III chứa hai viên bi: 1 viên màu đỏ và 1 viên màu xanh. Từ mỗi hộp ta lấy ngẫu nhiên một viên bi.

a) Vẽ sơ đồ hình cây để mô tả các phần tử của không gian mẫu.

b) Tính xác suất để trong ba viên bi lấy ra có đúng một viên bi màu xanh.

Lời giải:

a) Ki hiệu Đ, X, V tương ứng là viên bi màu đỏ, màu xanh và màu vàng.

• Sơ đồ hình cây:

  • Bắt đầu từ một điểm, vẽ ba nhánh:
    • Nhánh 1: Hộp I, tiếp tục vẽ:
      • 3 nhánh: Đ, X, V
    • Nhánh 2: Hộp II, tiếp tục vẽ:
      • 2 nhánh: X, V
    • Nhánh 3: Hộp III, tiếp tục vẽ:
      • 2 nhánh: Đ, X

• Không gian mẫu:

  • ĐXĐ
  • ĐXX
  • ĐVĐ
  • ĐVX
  • XXX
  • XXĐ
  • XVD
  • XVX
  • VXD
  • VXX
  • VVĐ
  • VVX

• Số phần tử của không gian mẫu là $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$.

b) Gọi $A$ là biến cố: "Trong ba viên bi lấy ra có đúng một viên bi màu xanh".

• Các kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là:

  • ĐVĐ
  • XVĐ
  • VVX

• Số phần tử của biến cố $A$ là $3$.

• Xác suất của biến cố $A$ là:

  $$P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}.$$

Kết quả: $\frac{1}{4}$

---

Trang 85 — Xác suất của biến cố

Luyện tập 2

Luyện tập 2. Trở lại trò chơi "Vòng quay may mắn" ở HĐ2. Tính xác suất để người chơi nhận được loại xe $110$ cc có màu trắng hoặc màu xanh.

Lời giải:

Không gian mẫu $\Omega$ gồm $6$ phần tử, cụ thể:

$\Omega = \{\text{ĐXĐ}; \text{ĐVX}; \text{XVĐ}; \text{VXĐ}; \text{VVĐ}; \text{ĐXX}\}$.

Gọi $E$ là biến cố: "người chơi nhận được loại xe $110$ cc có màu trắng hoặc màu xanh". Các kết quả thuận lợi cho $E$ là:

$E = \{\text{ĐXĐ}; \text{ĐVX}; \text{XVĐ}; \text{VXĐ}\}$.

Số phần tử của $E$ là: $n(E) = 4$.

Xác suất để người chơi nhận được loại xe $110$ cc có màu trắng hoặc màu xanh là:

$$P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.$$

Kết quả: $\frac{2}{3}$.

Luyện tập 3

Luyện tập 3. Trong một cuộc tổng điều tra dân số, điều tra viên chọn ngẫu nhiên một gia đình có ba người con và quan tâm giới tính của ba người con này.

a) Vẽ sơ đồ hình cây để mô tả các phần tử của không gian mẫu.

b) Giả thiết rằng khả năng sinh con trai và khả năng sinh con gái là như nhau. Tính xác suất để gia đình đó có một con trai và hai con gái.

Lời giải:

a) Sơ đồ hình cây:

• Bắt đầu từ một nút, vẽ hai nhánh: một nhánh có nhãn "con trai" (T) và một nhánh có nhãn "con gái" (G).

• Từ mỗi nhánh trên, tiếp tục vẽ hai nhánh tương ứng với mỗi con.

Không gian mẫu $\Omega$:

$\Omega = \{(T; T; T), (T; T; G), (T; G; T), (T; G; G), (G; T; T), (G; T; G), (G; G; T), (G; G; G)\}$.

b) Gọi $E$ là biến cố: "gia đình đó có một con trai và hai con gái". Các kết quả thuận lợi cho $E$ là:

$E = \{(T; G; G), (G; T; G), (G; G; T)\}$.

Số phần tử của $E$ là: $n(E) = 3$.

Số phần tử của $\Omega$ là: $n(\Omega) = 8$.

Xác suất để gia đình đó có một con trai và hai con gái là:

$$P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)} = \frac{3}{8}.$$

Kết quả: $\frac{3}{8}$.

3. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ ĐỐI

HĐ3

HĐ3. Cho $E$ là một biến cố và $\Omega$ là không gian mẫu. Tính $n(\overline{E})$ theo $n(\Omega)$ và $n(E)$.

Lời giải:

Ta có:

$n(\overline{E}) = n(\Omega) - n(E)$.

Từ đó, ta có công thức:

$$P(\overline{E}) = \frac{n(\overline{E})}{n(\Omega)} = \frac{n(\Omega) - n(E)}{n(\Omega)} = 1 - \frac{n(E)}{n(\Omega)} = 1 - P(E).$$

Do đó:

$$P(\overline{E}) = 1 - P(E).$$

Ví dụ 3

Ví dụ 3. Chọn ngẫu nhiên hai số từ tập $\{1; 2; ...; 9\}$. Gọi $H$ là biến cố: "Trong hai số được chọn có ít nhất một số chẵn".

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Biến cố $\overline{H}$ là tập con nào của không gian mẫu?

c) Tính $P(\overline{H})$ và $P(H)$.

Lời giải:

a) Không gian mẫu $\Omega$ là tập tất cả các tập con có $2$ phần tử của tập $\{1; 2; ...; 8; 9\}$.

b) Biến cố $\overline{H}$: "Cả hai số được chọn đều là số lẻ". Khi đó $\overline{H}$ là tập tất cả các tập con có $2$ phần tử của tập $\{1; 3; 5; 7; 9\}$.

c) Ta có:

$n(\Omega) = C_9^2 = 36$,

$n(\overline{H}) = C_5^2 = 10$.

Vậy:

$$P(\overline{H}) = \frac{n(\overline{H})}{n(\Omega)} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}.$$

Từ đó:

$$P(H) = 1 - P(\overline{H}) = 1 - \frac{5}{18} = \frac{13}{18}.$$

Kết quả: $P(\overline{H}) = \frac{5}{18}; P(H) = \frac{13}{18}$.