Giải Toán 10 Tập 2 trang 9 - Kết nối tri thức

Trang 9 — Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

HĐ5. Cho hàm số $y=-x+1$ và $y=x$. Tính giá trị $y$ theo giá trị $x$ để hoàn thành bảng sau:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y=-x+1$	?	?	?	?	?
$y=x$	?	?	?	?	?

Khi giá trị $x$ tăng, giá trị $y$ tương ứng của mỗi hàm số $y=-x+1$ và $y=x$ tăng hay giảm?

Lời giải:

Ta có:

• Hàm số $y=-x+1$:
  • Với $x=-2$ thì $y=-(-2)+1=3$
  • Với $x=-1$ thì $y=-(-1)+1=2$
  • Với $x=0$ thì $y=-0+1=1$
  • Với $x=1$ thì $y=-1+1=0$
  • Với $x=2$ thì $y=-2+1=-1$
• Hàm số $y=x$:
  • Với $x=-2$ thì $y=-2$
  • Với $x=-1$ thì $y=-1$
  • Với $x=0$ thì $y=0$
  • Với $x=1$ thì $y=1$
  • Với $x=2$ thì $y=2$

Hoàn thành bảng:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y=-x+1$	$3$	$2$	$1$	$0$	$-1$
$y=x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$

Khi giá trị $x$ tăng, ta thấy:

• Giá trị $y$ của hàm số $y=-x+1$ giảm.
• Giá trị $y$ của hàm số $y=x$ tăng.

HĐ6. Quan sát đồ thị của hàm số $y=f(x)=-x^2$ trên $\mathbb{R}$ (H.6.5).

Hỏi:

a) Giá trị của $f(x)$ tăng hay giảm khi $x$ tăng trên khoảng $(-\infty; 0)$?

b) Giá trị của $f(x)$ tăng hay giảm khi $x$ tăng trên khoảng $(0; +\infty)$?

Lời giải:

a) Trên khoảng $(-\infty; 0)$:

• Đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải.
• Với $x_1, x_2 \in (-\infty; 0), x_1 < x_2$ thì $f(x_1) > f(x_2)$.
• Như vậy, hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 0)$.

b) Trên khoảng $(0; +\infty)$:

• Đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải.
• Với $x_3, x_4 \in (0; +\infty), x_3 < x_4$ thì $f(x_3) > f(x_4)$.
• Như vậy, hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$.

Ví dụ 5. Hàm số $y=x^2$ đồng biến hay nghịch biến trên mỗi khoảng: $(-\infty; 0)$ và $(0; +\infty)$?

Lời giải:

Vẽ đồ thị hàm số $y = f(x) = x^2$ như Hình 6.6.

• Trên khoảng $(-\infty; 0)$, đồ thị "đi xuống" từ trái sang phải và với $x_1, x_2 \in (-\infty; 0), x_1 < x_2$ thì $f(x_1) > f(x_2)$. Như vậy, hàm số $y=x^2$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 0)$.
• Trên khoảng $(0; +\infty)$, đồ thị "đi lên" từ trái sang phải và với $x_3, x_4 \in (0; +\infty), x_3 < x_4$ thì $f(x_3) < f(x_4)$. Như vậy, hàm số $y=x^2$ đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$.

Kết quả:

• Hàm số $y=-x+1$ nghịch biến trên $(-\infty; +\infty)$.
• Hàm số $y=x$ đồng biến trên $(-\infty; +\infty)$.
• Hàm số $y=-x^2$ nghịch biến trên $(-\infty; 0)$ và đồng biến trên $(0; +\infty)$.
• Hàm số $y=x^2$ nghịch biến trên $(-\infty; 0)$ và đồng biến trên $(0; +\infty)$.