Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số

Lý thuyết

Định nghĩa: Hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $K$ được gọi là:

• Đồng biến trên $K$ nếu $\forall x_1, x_2 \in K$: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$
• Nghịch biến trên $K$ nếu $\forall x_1, x_2 \in K$: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

Định lí

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $K$:

• Nếu $f'(x) > 0, \forall x \in K$ thì $f(x)$ đồng biến trên $K$
• Nếu $f'(x) < 0, \forall x \in K$ thì $f(x)$ nghịch biến trên $K$

Ví dụ minh họa

Xét tính đơn điệu của hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$.

Bước 1: Tính đạo hàm: $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$

Bước 2: Giải $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$

Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận hàm số đồng biến trên $(-\infty, 0)$ và $(2, +\infty)$, nghịch biến trên $(0, 2)$.