Bài 2: Cực trị của hàm số

Lý thuyết

Định nghĩa: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $K$ và $x_0 \in K$.

• $x_0$ là điểm cực đại nếu tồn tại khoảng $(a; b)$ chứa $x_0$ sao cho $f(x_0) > f(x)$ với mọi $x \in (a; b) \setminus \{x_0\}$
• $x_0$ là điểm cực tiểu nếu tồn tại khoảng $(a; b)$ chứa $x_0$ sao cho $f(x_0) < f(x)$ với mọi $x \in (a; b) \setminus \{x_0\}$

Quy tắc xét cực trị

Quy tắc 1 (qua đạo hàm bậc nhất):

1. Tìm tập xác định
2. Tính $f'(x)$, giải $f'(x) = 0$
3. Lập bảng biến thiên
4. Kết luận từ dấu của $f'(x)$

Quy tắc 2 (qua đạo hàm bậc hai):

1. Tìm $f'(x)$, giải $f'(x) = 0$ tìm các nghiệm $x_i$
2. Tính $f''(x_i)$
3. Nếu $f''(x_i) > 0$: $x_i$ là điểm cực tiểu
4. Nếu $f''(x_i) < 0$: $x_i$ là điểm cực đại

Ví dụ minh họa

Tìm cực trị của hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$.

Bước 1: $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$

Bước 2: $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$

Bước 3: Áp dụng Quy tắc 2: $f''(x) = 6x - 6$

• $f''(0) = -6 < 0$ → $x = 0$ là điểm cực đại, $f(0) = 2$
• $f''(2) = 6 > 0$ → $x = 2$ là điểm cực tiểu, $f(2) = -2$

Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại điểm $(0; 2)$ và cực tiểu tại điểm $(2; -2)$.